第2課整式及其運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)題型分類要點(diǎn)梳理題型一整式的加減運(yùn)算

助學(xué)微博基礎(chǔ)自測(cè)題型二同類項(xiàng)的概念及合并同類項(xiàng)

題型三冪的運(yùn)算

題型四整式的混合運(yùn)算及求值

題型五乘法公式

易錯(cuò)警示2.冪運(yùn)算易出現(xiàn)的錯(cuò)誤題型六用代數(shù)式表示變化規(guī)律

答題模板1.用代數(shù)式表示多位數(shù)1．單項(xiàng)式：由________或____________相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做____________，數(shù)字因數(shù)叫做____________．2．多項(xiàng)式：由幾個(gè)____________組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)______________，其中不含字母的項(xiàng)叫做________．3．整式：_________________統(tǒng)稱為整式．要點(diǎn)梳理數(shù)與字母字母與字母單項(xiàng)式的次數(shù)單項(xiàng)式的系數(shù)單項(xiàng)式相加多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式次數(shù)首頁(yè)要點(diǎn)梳理4．合并同類項(xiàng)：同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含________相同并且相同字母的

________也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)，它與單項(xiàng)式的系數(shù)無(wú)關(guān)．合并同類項(xiàng)就是把同類項(xiàng)的________相加作為結(jié)果的系數(shù)，而字母與字母的________不變，即把多個(gè)同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)．特別地，當(dāng)兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)其和為0.

整式的加減，其一般步驟是：如果遇到括號(hào)，按去括號(hào)法則先________，再____________．合并同類項(xiàng)字母指數(shù)系數(shù)指數(shù)去括號(hào)首頁(yè)5．冪運(yùn)算法則：

(1)同底數(shù)冪相乘：

am·an＝_____________________________(2)冪的乘方：

(am)n＝______________________________(3)積的乘方：

(ab)n＝______________________________(4)同底數(shù)冪相除：

am÷an＝_____________________________要點(diǎn)梳理am＋n(m，n都是整數(shù)，a≠0)amn(m，n都是整數(shù)，a≠0)an·bn(n是整數(shù)，a≠0，b≠0)am－n(m，n都是整數(shù)，a≠0)首頁(yè)6．整式乘法：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：m(a＋b)＝_______________

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：(a＋b)(c＋d)＝__________________ma＋mb

ac＋ad＋bc＋bd

要點(diǎn)梳理首頁(yè)要點(diǎn)梳理7．乘法公式：

(1)平方差公式：

________________________(2)完全平方公式：

________________________

理解公式(x＋a)(x＋b)＝__________________與以上乘法公式之間的關(guān)系：即當(dāng)a＝b時(shí)，上式變形為完全平方公式；當(dāng)a＝－b時(shí)，上式變形為平方差公式．(a＋b)(a－b)＝a2－b2

(a±b)2＝a2±2ab＋b2

x2＋(a＋b)x＋ab

首頁(yè)要點(diǎn)梳理8．整式除法：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相

______，作為商的因子，對(duì)于只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，將這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)_____

這個(gè)單項(xiàng)式，然后把所得的商相______．除除以加首頁(yè)助學(xué)微博一座“橋梁”用字母表示數(shù)是從算術(shù)過(guò)渡到代數(shù)的橋梁，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．用字母表示數(shù)能夠簡(jiǎn)明地表示出事物的規(guī)律及本質(zhì)特征．只有借助用字母表示數(shù)，才能把一些數(shù)量規(guī)律及數(shù)量更簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表示出來(lái)．用字母表示數(shù)，應(yīng)該：(1)注意字母的任意性；(2)注意字母的確定性；(3)注意字母的限制性．首頁(yè)助學(xué)微博一種思維方法

法則公式既可正向應(yīng)用，也可逆向運(yùn)用．逆用和靈活變式應(yīng)用既可簡(jiǎn)化計(jì)算，又能進(jìn)行較復(fù)雜的代數(shù)式的大小比較．當(dāng)直接計(jì)算有較大困難時(shí)，考慮逆向運(yùn)用，可起到化難為易的功效．逆向思維可以培養(yǎng)同學(xué)們思維的多樣性．首頁(yè)助學(xué)微博三種數(shù)學(xué)思想

(1)整體思想在進(jìn)行整式運(yùn)算或求代數(shù)式值時(shí)，若將注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上，把一些緊密聯(lián)系的代數(shù)式作為一個(gè)整體來(lái)處理．借助“整體思想”，可以拓寬解題思路，收到事半功倍之效．整體思想最典型的是應(yīng)用于乘法公式中，公式中的字母a和b

不僅可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，如(x－2y＋z)(x＋2y－z)＝[x－(2y－z)][x＋(2y—z)]＝x2－(2y－z)2＝x2－4y2＋4yz－z2.首頁(yè)助學(xué)微博

(2)數(shù)形結(jié)合思想在列代數(shù)式時(shí)，常常能遇到另外一種類型的題：給你提供一定的圖形，通過(guò)對(duì)圖形的觀察探索，搜集圖形透露的信息，并根據(jù)相關(guān)的知識(shí)去列出相應(yīng)的代數(shù)式，也能用圖形驗(yàn)證整式的乘法和乘法公式．

(3)觀察、比較、歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想觀察才能獲取大量信息，成為智慧的源泉，比較才能發(fā)現(xiàn)信息的異同；通過(guò)歸納使共同點(diǎn)浮出水面，總結(jié)歸納的結(jié)果獲得猜想、有所發(fā)現(xiàn)，這就是歸納的思想，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法．首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)1．(2013·達(dá)州)甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價(jià)相同的商品，甲超市先降價(jià)20%，后又降價(jià)10%；乙超市連續(xù)兩次降價(jià)15%；丙超市一次降價(jià)30%.那么顧客到哪家超市購(gòu)買這種商品更合算(

)A．甲B．乙C．丙D．一樣

解析

設(shè)原價(jià)a元，則降價(jià)后，甲為：a(1－20%)(1－10%)＝0.72a元，乙為：(1－15%)2a＝0.7225a元，丙為：(1－30%)a＝0.7a元，所以，丙最便宜．故選C.C首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)2．(2013·佛山)多項(xiàng)式1＋2xy－3xy2的次數(shù)及最高次項(xiàng)的系數(shù)分別是(

)A．3,－3

B．2,－3C．5,－3

D．2,3

解析

根據(jù)多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù)可得此多項(xiàng)式為3次，最高次項(xiàng)是－3xy2，系數(shù)是數(shù)字因數(shù)－3.故選A.A首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)3．(2013·涼山)如果單項(xiàng)式是同類項(xiàng)，那么a、b的值分別為(

)A．a(chǎn)＝2，b＝3

B．a(chǎn)＝1，b＝2C．a(chǎn)＝1，b＝3

D．a(chǎn)＝2，b＝2

解析

根據(jù)同類項(xiàng)的定義(所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同)列出方程，求出a，b的值．C首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)4.(2013·棗莊)圖(1)是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b(a＞b)的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線(對(duì)稱軸)剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖(2)那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空的部分的面積是(

)A．a(chǎn)b

B．(a＋b)2C．(a－b)2

D．a(chǎn)2－b2

解析

大正方形面積為：(a＋b)2，矩形面積為：4ab，所以，中間空的部分的面積為：

(a＋b)2－4ab＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.故選C.C首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)5．(2013·江西)下列計(jì)算正確的是(

)A．a(chǎn)3＋a2＝a5

B．(3a－b)2＝9a2－b2C．a(chǎn)6b÷a2＝a3b

D．(－ab3)2＝a2b6

解析本題考查了代數(shù)式的有關(guān)運(yùn)算，涉及單項(xiàng)式的加法、除法、完全平方公式、冪的運(yùn)算性質(zhì)中的同底數(shù)冪相除、積的乘方和冪的乘方等運(yùn)算性質(zhì)，正確掌握相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)、法則是解題的前提．首頁(yè)A．a(chǎn)3與a2不是同類項(xiàng)，不能相加(合并)，a3與a2相乘才得a5；B．是完全平方公式的應(yīng)用，結(jié)果應(yīng)含有三項(xiàng)，這里結(jié)果只有兩項(xiàng)，一看便知是錯(cuò)的，正確的為(3a－b)2＝9a2－6ab＋b2；C．兩個(gè)單項(xiàng)式相除，系數(shù)與系數(shù)相除，相同的字母相除(同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減)，正確的結(jié)果為a6b÷a2＝a4b；D．考查冪的運(yùn)算性質(zhì)(積的乘方等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘)，正確．故選D.首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)5．(2013·江西)下列計(jì)算正確的是(

)A．a(chǎn)3＋a2＝a5

B．(3a－b)2＝9a2－b2C．a(chǎn)6b÷a2＝a3b

D．(－ab3)2＝a2b6

D首頁(yè)題型分類

題型一整式的加減運(yùn)算【例1】

(2013·聊城)把地球看成一個(gè)表面光滑的球體，假設(shè)沿地球赤道繞緊一圈鋼絲，然后把鋼絲加長(zhǎng)，使鋼絲圈沿赤道處處高出球面16cm，那么鋼絲大約需要加長(zhǎng)

(

)A．102cm

B．104cm

C．106cm

D．108cm首頁(yè)解析設(shè)地球半徑為rcm，則地球的周長(zhǎng)為2πrcm，假設(shè)沿地球赤道繞緊一圈鋼絲，然后把鋼絲加長(zhǎng)，使鋼絲圈沿赤道處處高出球面16cm，故此時(shí)鋼絲圍成的圓形的周長(zhǎng)變?yōu)?π(r＋16)cm，所以，鋼絲大約需要加長(zhǎng)：2π(r＋16)－2πr＝32π≈100(cm)＝102(cm)．故選A.首頁(yè)題型分類

題型一整式的加減運(yùn)算【例1】

(2013·聊城)把地球看成一個(gè)表面光滑的球體，假設(shè)沿地球赤道繞緊一圈鋼絲，然后把鋼絲加長(zhǎng)，使鋼絲圈沿赤道處處高出球面16cm，那么鋼絲大約需要加長(zhǎng)

(

)A．102cm

B．104cm

C．106cm

D．108cmA首頁(yè)探究提高整式的加減，實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)，有括號(hào)的，先去括號(hào)．只要算式中沒有同類項(xiàng)，就是最后的結(jié)果．此題根據(jù)已知得出圖形變化前后的周長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．首頁(yè)題型分類題型一整式的加減運(yùn)算知能遷移1

(2013·蘇州)計(jì)算－2x2＋3x2的結(jié)果為

(

)A．－5x2

B．5x2

C．－x2

D．x2

解析原式＝(－2＋3)x2＝x2.故選D.D首頁(yè)題型分類題型二同類項(xiàng)的概念及合并同類項(xiàng)【例2】若－4xay＋x2yb＝－3x2y，則a＋b＝______．

解析－4xay＋x2yb＝－3x2y，可知－4xay，x2yb，－3x2y是同類項(xiàng)，則a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.故答案為3.3首頁(yè)探究提高

(1)判斷同類項(xiàng)時(shí)，看字母和相應(yīng)字母的指數(shù)，與系數(shù)無(wú)關(guān)，也與字母的相關(guān)位置無(wú)關(guān)，兩個(gè)只含數(shù)字的單項(xiàng)式也是同類項(xiàng)；

(2)只有同類項(xiàng)才可以合并．首頁(yè)題型分類題型二同類項(xiàng)的概念及合并同類項(xiàng)知能遷移2

(2013·廣安)是同類項(xiàng)，則(

)首頁(yè)解析根據(jù)同類項(xiàng)的定義(所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同)，首頁(yè)題型分類題型二同類項(xiàng)的概念及合并同類項(xiàng)知能遷移2

(2013·廣安)是同類項(xiàng)，則(

)D首頁(yè)題型分類題型三冪的運(yùn)算故選A.首頁(yè)探究提高

(1)冪的運(yùn)算法則是進(jìn)行整式乘除法的基礎(chǔ)，要熟練掌握，解題時(shí)要明確運(yùn)算的類型，正確運(yùn)用法則；

(2)在運(yùn)算的過(guò)程中，一定要注意指數(shù)、系數(shù)和符號(hào)的處理．首頁(yè)題型分類題型三冪的運(yùn)算知能遷移3

(1)(2013·常州)下列計(jì)算中，正確的是(

)A．(a3b)2＝a6b2

B．a(chǎn)·a4＝a4C．a(chǎn)6÷a2＝a3

D．3a＋2b＝5ab

解析

A．(a3b)2＝a6b2，故本選項(xiàng)正確；B．a(chǎn)·a4＝a5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C．a(chǎn)6÷a2＝a6－2＝a4，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D．3a與2b不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A.A首頁(yè)題型分類題型三冪的運(yùn)算之值與下列何者相同？(

)B首頁(yè)題型分類題型四整式的混合運(yùn)算及求值【例4】

(2013·河南)先化簡(jiǎn)，再求值：

(x＋2)2＋(2x＋1)(2x－1)－4x(x＋1)，其中x＝解原式＝(x2＋4x＋4)＋(4x2－1)－(4x2＋4x)

＝x2＋4x＋4＋4x2－1－4x2－4x＝x2＋3.首頁(yè)探究提高注意多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算中要做到不重不漏，應(yīng)用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．另外去括號(hào)時(shí)，要注意符號(hào)的變化，最后把所得式子化簡(jiǎn)，即合并同類項(xiàng)，再代值計(jì)算．首頁(yè)題型分類題型四整式的混合運(yùn)算及求值知能遷移4

(2013·北京)已知x2－4x－1＝0，求代數(shù)式

(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2的值．解

(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2

＝4x2－12x＋9－x2＋y2－y2

＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3)．∵x2－4x－1＝0，∴x2－4x＝1，代入得，原式＝3×(1＋3)＝12.首頁(yè)題型分類題型五乘法公式【例5】

(1)(2012·麗水)已知：A＝2x＋y，B＝2x－y.

計(jì)算：A2－B2.

解

A2－B2＝(2x＋y)2－(2x－y)2

＝(4x2＋4xy＋y2)－(4x2－4xy＋y2)

＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋4xy－y2＝8xy.首頁(yè)題型分類題型五乘法公式(2)已知x2＋y2＝25，x＋y＝7，且x>y，求x－y的值．解∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，∴2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)＝72－25＝24，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝25－24＝1.首頁(yè)探究提高首頁(yè)題型分類題型五乘法公式知能遷移5已知(2000－m)(1998－m)＝1999，那么(2000

－m)2＋(1998－m)2＝________．

解析設(shè)2000－m＝a，1998－m＝b，則ab＝1999，a－b＝2，∴(2000－m)2＋(1998－m)2＝a2＋b2＝(a－b)2＋2ab

＝22＋2×1999＝4002.4002首頁(yè)題型分類題型六用代數(shù)式表示變化規(guī)律【例6】

(2013·煙臺(tái))將正方形(圖1)作如下操作：第1次：分別連接各邊中點(diǎn)(如圖2)，得到5個(gè)正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割(如圖3)，得到9個(gè)正方形…以此類推，根據(jù)以上操作，若要得到2013個(gè)正方形，則需要操作的次數(shù)是(

)A．502

B．503

C．504

D．505

首頁(yè)解析此題主要考查了圖形的變化，根據(jù)已知得出正方形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．第1次：分別連接各邊中點(diǎn)(如圖2)，得到4＋1＝5個(gè)正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割(如圖3)，得到4×2＋1＝9個(gè)正方形；……以此類推，根據(jù)以上操作，若第n次得到2013個(gè)正方形，則4n＋1＝2013，解得：n＝503.故選B.首頁(yè)題型分類題型六用代數(shù)式表示變化規(guī)律【例6】

(2013·煙臺(tái))將正方形(圖1)作如下操作：第1次：分別連接各邊中點(diǎn)(如圖2)，得到5個(gè)正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割(如圖3)，得到9個(gè)正方形…以此類推，根據(jù)以上操作，若要得到2013個(gè)正方形，則需要操作的次數(shù)是(

)A．502

B．503

C．504

D．505

B首頁(yè)探究提高本題考查學(xué)生的觀察概括能力，由圖形的變化轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，列代數(shù)式．首頁(yè)題型分類題型六用代數(shù)式表示變化規(guī)律知能遷移6

(2013·江西)觀察下列圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個(gè)圖形中所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________(用含n的代數(shù)式表示)．首頁(yè)解析找出點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，先用具體的數(shù)字等式表示，再用含字母的式子表示．圖1：1＋3＝4＝22，圖2：1＋3＋5＝9＝32，圖3：1＋3＋5＋7＝16＝42，圖4：1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，……圖n：1＋3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2.首頁(yè)題型分類題型六用代數(shù)式表示變化規(guī)律知能遷移6

(2013·江西)觀察下列圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個(gè)圖形中所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________(用含n的代數(shù)式表示)．(n＋1)2

首頁(yè)答題模板1、用代數(shù)式表示多位數(shù)試題一個(gè)兩位數(shù)，將它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，證明所得的數(shù)與原來(lái)的兩位數(shù)之差是9的倍數(shù)．審題視角

為理解題意，不妨隨便寫一個(gè)兩位數(shù)，例如37，將它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，得73，它與原來(lái)的二位數(shù)之差為36，是9的倍數(shù)．但是，兩位數(shù)很多，要一個(gè)一個(gè)去驗(yàn)證，顯然很麻煩．為此想到利用字母去表示這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，用式子表示這個(gè)兩位數(shù)和對(duì)調(diào)數(shù)字所得的新兩位數(shù)，通過(guò)計(jì)算來(lái)證明一般的結(jié)論．首頁(yè)規(guī)范答題證明：設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是a，個(gè)位數(shù)字是b，那么這個(gè)兩位數(shù)就等于10a＋b.

將十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，所得的新數(shù)的十位數(shù)字是

b，個(gè)位數(shù)字是a，它等于10b＋a.

于是，所得的新數(shù)與原來(lái)的兩位數(shù)之差為：

(10b＋a)－(10a＋b)＝10b＋a－10a－b

＝9b－9a＝9(b－a)．因?yàn)閎－a是一個(gè)整數(shù)，所以9(b－a)是9的倍數(shù)，即所得的新數(shù)與原來(lái)的兩位數(shù)之差是9的倍數(shù)．首頁(yè)答題模板第一步：先考慮特殊的情形，