試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【初中數(shù)學(xué)競賽】專題03方程與恒等變換競賽綜合-50題真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國競賽專用）一、單選題1．（2021·全國·九年級(jí)競賽）把三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)a，b，c按任意次序（次序不同視為不同組）填入的三個(gè)方框中，作為一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．使所得方程至少有一個(gè)整數(shù)根的a，b，c（

）．A．不存在 B．有一組 C．有兩組 D．多于兩組【答案】C【詳解】設(shè)三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)分別為，n，（n為大于1的整數(shù)）．當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)是或n時(shí)，均小于零，方程無實(shí)數(shù)根；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)是1時(shí)，．因?yàn)閚為大于1的整數(shù)，所以，要使，n只能取2．當(dāng)時(shí)，方程均有整數(shù)根，故滿足要求的（a，b，c）只有兩組：、．2．（2021·全國·九年級(jí)競賽）在方程組中，x，y，z是互不相等的整數(shù)，那么此方程組的解的組數(shù)為（）A．6 B．3 C．多于6 D．少于3【答案】A【詳解】利用，把原方程組轉(zhuǎn)化為解不定方程．因?yàn)?，所以，從而得，即．因此x，y，z中一定是兩正一負(fù)，且．又，則上述兩種組合中，只有符合條件．所以或或或或或共有6個(gè)解．故選A．二、填空題3．（2021·全國·九年級(jí)競賽）已知，則________．【答案】10【詳解】解

因，由知，所以，于是，因此，．故填10．4．（2021·全國·九年級(jí)競賽）若，且方程的兩根均為奇數(shù)，則此方程的根為_________．【答案】【詳解】填．理由：設(shè)是方程的兩個(gè)根，則．因?yàn)榫鶠槠鏀?shù)，故為偶數(shù)，為奇數(shù)．又，則．故．由，解得．從而，．所以，或4，即或．當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，與均為無理數(shù)，不合題意，舍去．故原方程的根為．5．（2021·全國·九年級(jí)競賽）以下算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字．已知“神舟”，“號(hào)”，那么六位數(shù)“飛天神舟六號(hào)”=_______．【答案】102564．【詳解】設(shè)“飛天”，“六號(hào)”，則題設(shè)算式可化為，化簡得即，即．兩邊約去13得，即，64與41互質(zhì)，64整除y．故．“號(hào)”與題設(shè)符合．代入得．于是“飛天神舟六號(hào)”．6．（2021·全國·九年級(jí)競賽）已知一個(gè)矩形的長、寬分別為正整數(shù)a，b，其面積的數(shù)值等于它的周長的數(shù)值的2倍，則______或________．【答案】

25

18【詳解】根據(jù)題意，得，即，則．因?yàn)閍，b均為正整數(shù)，且，所以一定是16的正約數(shù)．當(dāng)分別取1，2，4，8，16時(shí)，代入上式得：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，（舍去）；時(shí)，（舍去）；時(shí)，（舍去）．因此或18．故應(yīng)填25，18．7．（2021·全國·九年級(jí)競賽）一個(gè)布袋中裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的大小相同的木球，紅球上標(biāo)有數(shù)字1，黃球上標(biāo)有數(shù)字2，藍(lán)球上標(biāo)有數(shù)字3，小明從布袋中摸出10個(gè)球，它們上面所標(biāo)數(shù)字的和等于21，則小明摸出的球中紅球的個(gè)數(shù)最多不超過___________．【答案】4【詳解】設(shè)小明摸出的10個(gè)球中有x個(gè)紅球，y個(gè)黃球，則藍(lán)球有個(gè)．根據(jù)題意，得，即．易知，x的最大值是4，即小明摸出的10個(gè)球中至多有4個(gè)紅球．8．（2021·全國·九年級(jí)競賽）籃、排、足球放在一堆共25個(gè)，其中籃球個(gè)數(shù)是足球個(gè)數(shù)的7倍，那么其中排球的個(gè)數(shù)是__________．【答案】17或9或1【詳解】設(shè)足球有x個(gè)，排球有y個(gè)，則，即．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以排球的個(gè)數(shù)是17或9或1個(gè)．9．（2021·全國·九年級(jí)競賽）某一次考試共需做20個(gè)小題，做對(duì)一個(gè)得8分，做錯(cuò)一個(gè)扣5分，不做的得0分．某學(xué)生共得13分，那么這個(gè)學(xué)生沒做的題有_______個(gè)．【答案】7【詳解】設(shè)該生做對(duì)x個(gè)題，做錯(cuò)y個(gè)題，沒做的題目有z個(gè)，則所以．又8與13互質(zhì)，則被13整除．而，所以，從而．所以這個(gè)學(xué)生沒做的題有7個(gè)．10．（2021·全國·九年級(jí)競賽）兩個(gè)正整數(shù)的和比積小1997，并且其中一個(gè)是完全平方數(shù)，則較大數(shù)與較小數(shù)的差是___________．【答案】663【詳解】設(shè)這兩個(gè)正整數(shù)為．根據(jù)題意，可得，則，即．因?yàn)?，即，且a，b中有一個(gè)是完全平方數(shù)，故，所以則．11．（2021·全國·九年級(jí)競賽）某自然數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字和的11倍，則這個(gè)自然數(shù)是__________．【答案】198【詳解】所求數(shù)不可能是一位數(shù)，四位數(shù)及四位以上的數(shù)．故只考慮兩位數(shù)及三位數(shù)．（1）設(shè)所求自然數(shù)是，則，即，此方程無滿足條件的解．（2）設(shè)所求自然數(shù)是，則，即．顯然x只可能是1，因此，只有一組解：．故所求的數(shù)是198．12．（2021·全國·九年級(jí)競賽）邊長為整數(shù)，周長為12的三角形的面積的最大值是_________．【答案】【詳解】設(shè)三角形的三邊長分別為a，b，c，且，則．可得，即．又因?yàn)?，所以，即．故，c可取4或5．當(dāng)時(shí)，，所以．此時(shí)三角形面積為；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．此時(shí)，不合題意．當(dāng)時(shí)，．此時(shí)三角形面積為；當(dāng)時(shí)，．此時(shí)三角形為直角三角形，三角形面積為．顯然，所以所求最大面積為．13．（2021·全國·九年級(jí)競賽）一個(gè)兩位數(shù)除以它的反序數(shù)所得的商數(shù)恰等于余數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是__________．【答案】52【詳解】設(shè)這個(gè)數(shù)為，它除以它的反序數(shù)的商數(shù)是q，則其反序數(shù)為．于是，q為自然數(shù)，即．當(dāng)時(shí)，，此方程無整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，有．可知y是偶數(shù)．當(dāng)時(shí)，．而當(dāng)或6或8時(shí)，x無整數(shù)解．所以當(dāng)時(shí)，．進(jìn)一步，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，x無整數(shù)解；而當(dāng)時(shí)，，即x無滿足條件的解．當(dāng)時(shí)，有．因?yàn)榇朔匠逃疫?不被3整除，所以無解．最后，當(dāng)時(shí)，有．所以，不可能有解．綜上所述，所求數(shù)等于52．14．（2021·全國·九年級(jí)競賽）某個(gè)兩位自然數(shù)，它能被其各位數(shù)字之和整除，且除得的商恰好是7的倍數(shù)，寫出符合條件的所有兩位數(shù)是_________．【答案】21，42，63，84【詳解】設(shè)所有兩位數(shù)是，則．其中k是正整數(shù)，且為7的倍數(shù)．當(dāng)時(shí)，，即．當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，即．此方程無正整數(shù)解．當(dāng)，方程均無正整數(shù)解．所以滿足條件的兩位數(shù)是：21，42，63，84．15．（2021·全國·九年級(jí)競賽）小孩將玻璃彈子裝進(jìn)兩種盒子，每個(gè)大盒子裝12顆，每個(gè)小盒子裝5顆，若彈子共有99顆，所用大、小盒子多于10個(gè)，則大盒子數(shù)為________，盒子數(shù)為__________．【答案】

2

15【詳解】設(shè)大盒子有x個(gè)，小盒子有y個(gè)．根據(jù)題意，得，從而．因?yàn)閤，y都為整數(shù)，所以x可取2或7．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以?6．（2021·全國·九年級(jí)競賽）設(shè)平方數(shù)是11個(gè)相繼整數(shù)的平方和，則y的最小值是__________．【答案】－11【詳解】理由：設(shè)11個(gè)相繼整數(shù)為，則，即．顯然，y最小時(shí)，只能是．所以y取最小值．17．（2021·全國·九年級(jí)競賽）一個(gè)三位數(shù)，它等于它的各位數(shù)碼之和的12倍．試寫出所有這樣的三位數(shù)_________．【答案】108【詳解】設(shè)這樣的三位數(shù)為，則，即．因?yàn)閍，b，c均為整數(shù)，且，所以，得．又因?yàn)?，所以只能?8．（2021·全國·九年級(jí)競賽）一個(gè)四位數(shù)與它的四個(gè)數(shù)字之和等于1991，這個(gè)四位數(shù)是___________．【答案】1972【詳解】設(shè)這個(gè)四位數(shù)為，根據(jù)題意，得，即．（1）若，則，所以．從而．（2）因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，即，從而．?）由于，則．所以或7．當(dāng)時(shí)，，得（舍去）；當(dāng)時(shí)，，得．故這個(gè)四位數(shù)是1972．19．（2021·全國·九年級(jí)競賽）n是一個(gè)非立方的四位數(shù)，且它僅有4個(gè)正約數(shù)，除了它本身之外其他三個(gè)約數(shù)的和等于1000，那么這個(gè)四位數(shù)n是___________．【答案】1994【詳解】由題意，，且p，q均為質(zhì)數(shù)，則，即．以p，q中必有一個(gè)為偶質(zhì)數(shù)2，另一個(gè)為997．從而有．20．（2021·全國·九年級(jí)競賽）方程在正整數(shù)范圍內(nèi)的解是_________．【答案】或【詳解】由，得，所以x只能取1，2，3．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，y無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，．所以所求方程的解為或21．（2021·全國·九年級(jí)競賽）方程有_________組正整數(shù)解．【答案】5【詳解】理由：因?yàn)?，所以，則，即．原方程可化為，則．所以42能被y整除．所以y可取6，7，14，21，42．相應(yīng)地得到五組解：22．（2021·全國·九年級(jí)競賽）已知三角形的三個(gè)角的度數(shù)都是小于120的質(zhì)數(shù)，則這個(gè)三角形三個(gè)角的度數(shù)分別是__________．【答案】【詳解】設(shè)三角形的三個(gè)角的度數(shù)分別是x，y，z，且，則．所以x，y，z中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2，得，y，z必為奇數(shù)．若，則，與矛盾．所以，得．因此，三角形三個(gè)角的度數(shù)分別是．23．（2021·全國·九年級(jí)競賽）若質(zhì)數(shù)m，n滿足，則的值為_________．【答案】19或25【詳解】因?yàn)閙，n為質(zhì)數(shù)，且，所以m，n中必有一個(gè)是偶質(zhì)數(shù)．若，則；若，則．所以的值為19或25．三、解答題24．（2021·全國·九年級(jí)競賽）（1）設(shè)x是實(shí)數(shù)，證明：，（2）求之值【答案】（1）見解析；（2）【詳解】解

（1）設(shè)，則．若，則，于是，所以若，則，于是，所綜上所述，對(duì)任何實(shí)數(shù)x，成立．（2）由（1）知令，再將各式相加得．注：從以上各例看出，求解有關(guān)及的問題的關(guān)鍵是：及的定義和基本不等式．只要將及的定義與不等式結(jié)合起來進(jìn)行計(jì)算和討論，就能找到解決問題的途徑．25．（2021·全國·九年級(jí)競賽）3設(shè)a，b，c是正數(shù)，且，證明：．【答案】見解析【詳解】證明

注意到，設(shè)（x，y，z為正實(shí)數(shù)），則原不等式．①設(shè)，則．于是①．②不妨設(shè)，則．如果，那么，不等式②成立；如果，又，那么即②成立．26．（2021·全國·九年級(jí)競賽）若，證明：．等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)．【答案】見解析．【詳解】解

原不等式．①而故①成立．等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)．注：稱為三個(gè)正數(shù)a，b，c的調(diào)和平均值．故本例的結(jié)論可寫為3個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的調(diào)和平均值，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)這3個(gè)正數(shù)都相等．②本題可直接用算術(shù)平均值不小于幾何平均值來證明：又故．27．（2021·全國·九年級(jí)競賽）若，則，等號(hào)成立當(dāng)．【答案】見解析【詳解】證明

經(jīng)去括號(hào)，移項(xiàng)整理知，要證不等式等價(jià)于：．而由3個(gè)正數(shù)的平均值不等式得．故原不等式成立．等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)28．（2021·全國·九年級(jí)競賽）已知為實(shí)數(shù)且，證明：．【答案】見解析【詳解】證明

因?yàn)?，設(shè)，于是，由已知條件中第二個(gè)不等式得，即，所以．由對(duì)稱性得．注：①本題也可以用不等式來證明：因?yàn)椋谑?，下面解法與前述相同．②例12和例13中的代換稱為平均值代換．29．（2021·全國·九年級(jí)競賽）設(shè)且，證明：．【答案】見解析【詳解】證明注意到，原不等式等價(jià)于①故要證①成立，只要證而由平均值不等式有．同理，故①成立，從而原不等式成立．30．（2021·全國·九年級(jí)競賽）是否存在質(zhì)數(shù)p，q，使得關(guān)于x的一元二次方程有有理數(shù)根？【答案】存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù)，理由見解析【詳解】設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)．令，其中，n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，則．由于，且與同奇偶，故同為偶數(shù)．因此，有如下幾種可能情形：（1）；（2）；（3）；（4）（5）．對(duì)于情形（1）、（3），，從而，；對(duì)于情形（2）、（5），，從而（不合題意，舍去）；對(duì)于情形（4），q是合數(shù)（不合題意，舍去）又當(dāng)時(shí)，方程為，它的根為，它們都是有理數(shù)．綜上所述，存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù)．31．（2021·全國·九年級(jí)競賽）已知b，c為整數(shù)，方程的兩根都大于且小于0．求b和c的值．【答案】【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和題設(shè)條件知：當(dāng)時(shí)，，有；

①當(dāng)時(shí)，，有．

②因拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足，則．

③又因，即，故．

④由①、③、④得．若，則由②、④得且，得；若，則且，無整數(shù)解；若，則且，無整數(shù)解；若，則且，無整數(shù)解．故所求b，c的值為．32．（2021·全國·九年級(jí)競賽）試求兩個(gè)不同的自然數(shù)，它們的算術(shù)平均數(shù)A和幾何平均數(shù)G都是兩位數(shù)，其中A，G中一個(gè)可由另一個(gè)交換個(gè)位和十位數(shù)字得到．【答案】98和32【詳解】設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)為，則即是方程的兩個(gè)根，所以應(yīng)為自然數(shù)，即為完全平方數(shù)．設(shè)，則，可得．因此，11整除或，但，故11整除．由，得，則必須是完全平方數(shù)．由，知是一個(gè)奇數(shù)，但，所以．由得所以．故．因此，所求兩數(shù)為98和32．33．（2021·全國·九年級(jí)競賽）已知方程的根都是整數(shù)，求整數(shù)n的值．【答案】整數(shù)n的值為，，0，10【詳解】解得．因?yàn)榉匠痰母际钦麛?shù)，所以，是完全平方數(shù)．設(shè)，，則有．因?yàn)?，分別解得．所以，整數(shù)n的值為，，0，10．34．（2021·全國·九年級(jí)競賽）已知，且，求的最小值．【答案】4【詳解】由已知得，即．又，則，即，故，．因，則，即，故的最小值為4．35．（2021·全國·九年級(jí)競賽）已知p為質(zhì)數(shù)，使二次方程的兩根都是整數(shù)，求出p的所有可能值．【答案】或7【詳解】為完全平方數(shù)，從而為完全平方數(shù)．令，注意到，故，且n為整數(shù)，于是，則中至少有一個(gè)是5的倍數(shù)，即（k為整數(shù)）．則．由p為質(zhì)數(shù)，知或7．當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，得；?dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，得．所以，?．36．（2021·全國·九年級(jí)競賽）已知n為正整數(shù)，且能被整除，試求n的值．【答案】【詳解】設(shè)（k為整數(shù)），則關(guān)于n的一元二次方程的判別式一定是完全平方數(shù)．解

設(shè)（k是整數(shù)），則，且應(yīng)為完全平方數(shù)．因?yàn)?，所以，從而．于是，，有，解得（不合題意）或57．所以．37．（2021·全國·九年級(jí)競賽）試求出這樣的四位數(shù)，它的前四位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個(gè)四位數(shù)．【答案】四位數(shù)為2025或3025【詳解】設(shè)這個(gè)四位數(shù)前后兩個(gè)兩位數(shù)，分別是x，y，則，且，展開得關(guān)于x的二次方程：．當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解．即當(dāng)時(shí)，方程有解．因?yàn)閤為整數(shù)，故必為完全平方數(shù)，而完全平方數(shù)的末位數(shù)字僅可能為0，1，4，5，6，9．故僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)或20．故此四位數(shù)為2025或3025．38．（2021·全國·九年級(jí)競賽）已知m，n為整數(shù)，n為整數(shù)，且滿足，求m，n的值．【答案】或【詳解】以m為主元，得關(guān)于m的一元二次方程．因?yàn)閙有整數(shù)解，所以，解得．又n為整數(shù)，所以．又方程有整數(shù)解，則必為完全平方數(shù)，從而．當(dāng)或時(shí)，代入原方程均有，解得（舍去）．故或．39．（2021·全國·九年級(jí)競賽）a為整數(shù)，若存在整數(shù)b和c使，求整數(shù)a的值．【答案】a的值為9，，【詳解】依題意知方程有兩整數(shù)根．而，則有解得由此可以看出每一個(gè)a對(duì)應(yīng)兩個(gè)整數(shù)，因此所求的整數(shù)a的值為9，，．40．（2021·全國·九年級(jí)競賽）b都是大于1的整數(shù)，a，b為何值，方程有兩個(gè)整數(shù)根．【答案】當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)整數(shù)根【詳解】，所以方程的兩根是．（?。┤簦瑒t．所以被b整除，得b整除5．故（ⅱ）若，因是奇數(shù)，所以是奇數(shù)，，即，則．可知．又因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以是奇數(shù)．下面分兩種情況討論：①如果，則．所以a整除，可得a整除3．所以．②如果，則．因?yàn)閍整除，所以整除．當(dāng)時(shí)，不能整除；當(dāng)時(shí)，整除；當(dāng)時(shí)，，則不能整除．綜上，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)整數(shù)根．41．（2021·全國·九年級(jí)競賽）m，n為正整數(shù)，關(guān)于x的方程有正整數(shù)解．求m，n的值．【答案】【詳解】設(shè)方程的兩個(gè)根為，則由m，n，，均為正整數(shù)，不妨設(shè)．于是，，即．則或或解得或或所以．42．（2021·全國·九年級(jí)競賽）所有的整數(shù)a，使得關(guān)于x的一元二次方程的兩根皆為整數(shù)．【答案】6【詳解】設(shè)方程的兩根為，于是，整數(shù)，即方程①為整系數(shù)一元二次方程，其根為整數(shù)，則其判別式必為完全平方數(shù)．設(shè)，即，故．又，則或或或分別解得．因a為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，無意義，所以，只有，此時(shí)，方程①變?yōu)?，它有兩個(gè)整數(shù)根7和．因此，所求的整數(shù)為．43．（2021·全國·九年級(jí)競賽）a，b都是正整數(shù)．試問：關(guān)于x的方程是否有兩個(gè)整數(shù)解？如果有，請把它們求出來；如果沒有，請給出證明．【答案】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，題設(shè)方程有整數(shù)解，且它的兩個(gè)整數(shù)解為【詳解】不妨設(shè)，且方程的兩個(gè)整數(shù)根為，則有．所以，．故．因?yàn)閍，b都是正整數(shù)，所以，均是正整數(shù)．于是，．故

①或

②（1）對(duì)于方程組①，由于a，b都是正整數(shù)，且，可得．此時(shí)，一元二次方程為，它的兩個(gè)根為．（2）對(duì)于方程組②，可得．此時(shí)，一元二次方程為，它無整數(shù)解．綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，題設(shè)方程有整數(shù)解，且它的兩個(gè)整數(shù)解為．44．（2021·全國·九年級(jí)競賽）有三個(gè)都不為0且互不相同的數(shù)碼，用它們組成各個(gè)可能的三位數(shù)（不重復(fù)使用數(shù)碼），其和為2886，如果把這三個(gè)數(shù)碼從小到大排成一個(gè)三位數(shù)，又從大到小排列成一個(gè)三位數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的差是495，這三個(gè)數(shù)碼是什么？【答案】，．【詳解】根據(jù)題意，用不同的字母表示三個(gè)數(shù)碼可以列出一些方程．設(shè)這三個(gè)數(shù)碼從小到大順次為x，y，z，用它們排成的三位數(shù)有：，

①，

②，

③，

④，

⑤．

⑥根據(jù)題意，將6個(gè)數(shù)相加，得，即．

⑦又由⑥減去①得，即．

⑧將⑧代入⑦得．若，不合題意．若，也導(dǎo)出矛盾．若，則y非正數(shù)．故只能，從而．45．（2021·全國·九年級(jí)競賽）設(shè)a，b，c都是奇數(shù)，證明方程沒有有理根．【答案】見解析．【詳解】由題意，為完全平方數(shù)．由于為奇數(shù)，所以可設(shè)，或．由于b，d都為奇數(shù)，所以，但為奇數(shù)，即．因此，不是平方數(shù)，從而原方程沒有有理根．46．（2021·全國·九年級(jí)競賽）一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和是1999，求這個(gè)四位數(shù)，并說明理由．【答案】1976【詳解】設(shè)這個(gè)數(shù)為，依題意，得，即．（?。╋@然．否則，．兩邊減去1001，得．（ⅱ）因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，即，則．（ⅲ）由于，則．所以或．當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則（舍去）．故這個(gè)四位數(shù)是1976．47．（2021·全國·九年級(jí)競賽）有一個(gè)四位