12.3.2等邊三角形〔2〕含30°角的直角三角形的性質(zhì)在Rt△ABC中，∠C=90°若Rt∠A=30°，AB=a,BC=??

ACB復(fù)習(xí)回憶1、等邊三角形的概念：2、等邊三角形的性質(zhì)：3、等邊三角形的判定：等邊三形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每一個(gè)角都等于600.〔1〕定義法；〔2〕三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；〔3〕有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形；ABC三邊都相等的三角形。BACD將兩個(gè)含有30°的三角尺如圖擺放在一起你能借助這個(gè)圖形,找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明探究

結(jié)論

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。假設(shè)AC⊥BC，∠A=30°那么BC=ABACB溫馨提示

在解有關(guān)直角三角形的邊的關(guān)系的問題中，常常會(huì)用到這條性質(zhì)，這是一種常用的方法。直角三角形的性質(zhì)定理：證明：由拼圖可知：△ABC與△ADC關(guān)于AC軸對(duì)稱，∴AB＝AD，又∵∠B=60°∴

△ABD是等邊三角形又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝AB你還能用其他方法證明嗎?BACD證法1：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB．BACD證法2：由拼圖可知：∵△ABC≌△ADC，∴

AB=AD∵

Rt△ABC中，∠ABC=60°∴

∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝AB證明：

分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么∠B=60°．延長BC至D，使CD=BC，連接AD∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC〔SAS〕．∴AB=AD〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕．∴△ABD是等邊三角形〔有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形〕．∴BC=BD=AB證法3：分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么∠B=60°．延長BC至D，使CD=BC，連接AD∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC〔SAS〕．∴AB=AD〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕．∴△ABD是等邊三角形〔有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形〕．∴BC=BD=AB分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，則∠B=60°．延長BC至D，使CD=BC，連接AD∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．∴△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．∴BC=BD=AB例1：如圖，是屋架設(shè)計(jì)圖的一局部，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°,立柱BC、DE要多長？AEDCB解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A＝30°可得2BC＝AB,2DE＝AD∴BC＝×7.4＝3.7m又AD＝AB∴DE＝AD＝×3.7＝1.85m答:立柱BC的長是3.7m,DE的長是1.85m.121212121、如圖，在Rt△ABC中，∠B=2∠A，AB=6cm，那么BC=________.2、如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，那么AB=_______.ACB3cm8cm3、如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，BD平分∠ABC，且BD=16cm，那么AC=.D24cm思考：

AD=2CD成立嗎？4、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分線分別交BC、AB于D、E。求證：DB=2ACBEDAC在Rt△ABC中，假設(shè)

那么∠A為幾度？

BC=ABACBD探究拓展逆定理BC=AB∴∠A=30°

∵AC⊥BC，

在直角三角形中，如果一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角是30°。ACB反過來怎么樣——逆向思維在△ABD中,∵∠ACB=900(),∴AB=AD(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等).又∵BC=AB/2(),BC=BD/2(作圖),∴AB=BD(等量代換).∴AB=BD=AD(等式性質(zhì)〕.∴△ABD是等邊三角形(等邊三角形定義).∴∠B=600(等邊三角形定義).∴∠A=300(直角三角形兩銳角互余).300ABCD證明:如圖,延長BC至D,使CD=BC,連接AD.1、如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分別是D、E，如果AB=8cm，那么BD=________,∠BDE=，BE=_______.AEDCB4cm2cm30°2、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分線交邊CB于D。假設(shè)AB=10，AC=5，那么圖中等于30°的角的個(gè)數(shù)為〔〕A.2B.3C.4D.5AEDCBB3、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F。求證：BF=2CF。

AFECB4、如圖，∠AOB=30°，P是角平分線上的點(diǎn)，PM⊥OB于M，PN//OB交OA于N，假設(shè)PM=1cm，那么PN=________.2cmANMPBOE２.如圖：在△ABC中，∠A=300，C=900，BD平分∠ABC.求證：AD=2DCＤＣＢＡ１.如圖，在△ABC中,∠C=900,∠B=150，DE是AB的中垂線，BE=5,那么AE=______,AC=_____ＥＤＡＣＢ等邊三角形的判定:定義:有三邊相等的三角形是等邊三角形.定理:有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角