第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題.1.直線與平面垂直(1)定義：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角.(2)當直線與平面垂直和平行(或直線在平面內)時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.(3)范圍：[0,eq\f(π,2)].3.二面角的有關概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.(3)范圍：[0，π].4.平面與平面垂直(1)定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥αeq\a\vs4\al([常用結論])直線與平面垂直的五個結論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直.(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)垂直于同一個平面的兩平面平行.()(2)若α⊥β，a⊥β?a∥α.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.()(4)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1.設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β.()A.若l⊥β，則α⊥βB.若α⊥β，則l⊥mC.若l∥β，則α∥βD.若α∥β，則l∥m答案為：A.解析：∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確.]2.下列命題中不正確的是()A.如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案為：A.解析：A錯誤，l與β可能平行或相交，其余選項均正確.]3.如圖所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數為________.4[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形.]4.在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心.(1)外(2)垂[(1)如圖，∵PO⊥平面ABC，連接OA，OB，OC，在Rt△POA中，OA2＝PA2﹣PO2，同理OB2＝PB2﹣PO2，OC2＝PC2﹣PO2.又PA＝PB＝PC，故OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心.(2)由PA⊥PB，PA⊥PC可知PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，又PO⊥BC，∴BC⊥平面PAO，∴AO⊥BC，同理BO⊥AC，CO⊥AB.故O是△ABC的垂心.]考點1直線與平面垂直的判定與性質1.證明線面垂直的常用方法(1)判定定理.(2)垂直于平面的傳遞性.(3)面面垂直的性質.2.證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[證明](1)在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，∴PD⊥平面ABE.通過本例的訓練我們發(fā)現：判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想；另外，在解題中要重視平面幾何知識，特別是正余弦定理及勾股定理的應用.如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD＝eq\f(1,3)DB，點C為圓O上一點，且BC＝eq\r(3)AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求證：PA⊥CD.[證明]因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB，在Rt△ACB中，由eq\r(3)AC＝BC，得∠ABC＝30°.設AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2eq\r(3)，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2﹣2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因為PD⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D，得CD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥CD.考點2平面與平面垂直的判定與性質(1)利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法是：先尋找平面的垂線，若圖中存在這樣的直線，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，作輔助線應有理論根據并有利于證明.(2)證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現.(3)兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據，運用時要注意“平面內的直線”這一條件.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1.(1)證明：平面PAB⊥平面PBC；(2)求四棱錐P-ABCD的體積.[解](1)證明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝eq\r(3)，因為PC＝2，BC＝1，PB＝eq\r(3)，所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB；因為∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，又PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.(2)在平面PAB內，過點P作PE⊥AB，交BA的延長線于點E，如圖所示.由(1)知BC⊥平面PAB，因為BC?平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.又平面PAB∩平面ABCD＝AB,PE⊥AB，所以PE⊥平面ABCD，因為在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝eq\f(\r(3),2).因為底面ABCD是直角梯形，所以四棱錐P-ABCD的體積為VP-ABCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).本例第(2)問在求四棱錐P-ABCD的高時，充分利用了三種垂直關系的轉化：[備選例題]如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.(1)證明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為eq\f(\r(6),3)，求該三棱錐的側面積.[解](1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥B D.因為BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)設AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因為AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x.由已知得，三棱錐E-ACD的體積VE-ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·GD·BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3)，故x＝2.從而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6).所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為eq\r(5).故三棱錐E-ACD的側面積為3＋2eq\r(5).如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點.(1)求證：平面MOC⊥平面VAB；(2)求三棱錐B-VAC的高.[解](1)證明：∵AC＝BC，O為AB的中點，∴OC⊥AB.∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC?平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.(2)在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，∴AB＝2，OC＝1，∴等邊△VAB的面積為S△VAB＝eq\f(1,2)×22×sin60°＝eq\r(3)，又∵OC⊥平面VAB，∴OC⊥OM，△AMC中，AM＝1，AC＝eq\r(2)，MC＝eq\r(2)，∴S△AMC＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(7),2)＝eq\f(\r(7),4)，∴S△VAC＝2S△MAC＝eq\f(\r(7),2)，由三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，即eq\f(1,3)S△VAC·h＝eq\f(1,3)S△VAB·OC,∴h＝eq\f(\r(3)×1,\f(\r(7),2))＝eq\f(2\r(21),7)，即三棱錐B-VAC的高為eq\f(2\r(21),7).考點3平行與垂直的綜合問題探索性問題中的平行與垂直關系處理空間中平行或垂直的探索性問題，一般先根據條件猜測點的位置，再給出證明.探索點存在問題，點多為中點或n等分點中的某一個，需根據相關的知識確定點的位置.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.[解](1)證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因為底面ABCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)證明：因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.因為底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，且E為CD的中點，所以AE⊥CD，所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因為AE?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上存在點F，使得CF∥平面PAE.取F為PB的中點，取G為PA的中點，連接CF，FG，EG.則FG∥AB，且FG＝eq\f(1,2)AB.因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，所以CE∥AB，且CE＝eq\f(1,2)AB.所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四邊形CEGF為平行四邊形.所以CF∥EG.因為CF?平面PAE，EG?平面PAE，所以CF∥平面PAE.對命題條件的探索的三種途徑途徑一：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明.途徑二：先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.途徑三：將幾何問題轉化為代數問題.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點，點F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.(1)求證：C1E∥平面ADF；(2)設點M在棱BB1上，當BM為何值時，平面CAM⊥平面ADF.[解](1)證明：連接CE交AD于O，連接OF.因為CE，AD為△ABC的中線，則O為△ABC的重心，故eq\f(CF,CC1)＝eq\f(CO,CE)＝eq\f(2,3)，故OF∥C1E，因為OF?平面ADF，C1E?平面ADF，所以C1E∥平面ADF.(2)當BM＝1時，平面CAM⊥平面ADF.證明如下：因為AB＝AC，D為BC的中點，故AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，BB1?平面B1BCC1，故平面B1BCC1⊥平面ABC.又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD?平面ABC，所以AD⊥平面B1BCC1，又CM?平面B1BCC1，故AD⊥CM.又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2，故Rt△CBM≌Rt△FCD.易證CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD?平面ADF，故CM⊥平面ADF.又CM?平面CAM，故平面CAM⊥平面ADF.折疊問題中的平行與垂直關系解決平面圖形翻折問題的關鍵是抓住“折痕”，準確把握平面圖形翻折前后的兩個“不變”.(1)與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關系不改變；(2)與折痕平行的線段，翻折前后平行關系不改變.如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q-ABP的體積.[解](1)證明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC?平面ACD，所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3eq\r(2).又BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，所以BP＝2eq\r(2).如圖，過點Q作QE⊥AC，垂足為E，則QE∥DC且QE＝eq\f(1,3)DC.由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱錐Q-ABP的體積為VQ-ABP＝eq\f(1,3)×S△ABP×QE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)sin45°×1＝1.本例第(1)問是垂直關系證明問題，求解的關鍵是抓住“BA⊥AC”折疊過程中始終不變；本例第(2)問是計算問題，求解的關鍵是抓住“∠ACM＝90°”折疊過程中始終不變.即折疊問題的處理可采用：不變的關系可在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決.[備選例題]如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[證明](1)在平面ABD內，因為AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.又因為EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因為AD?平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因為AC?平面ABC，所以AD⊥AC.如圖(1)，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD＝AE，F是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖(2)所示的三棱錐A-BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)(2)(1)證明：DE∥平面BCF；(2)證明：CF⊥平面ABF.[證明](1)在折疊后的圖形中，因為AB＝AC，AD＝AE，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，所以DE∥BC.因為DE?平面BCF，BC?平面BCF，所以DE∥平面BCF.(2)在折疊前的圖形中，因為△ABC為等邊三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，則在折疊后的圖形中，AF⊥BF，AF⊥CF.又BF＝CF＝eq\f(1,2)，BC＝eq\f(\r(2),2)，所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.又BF∩AF＝F，BF?平面ABF，AF?平面ABF，所以CF⊥平面ABF.直線、平面垂直的判定與性質一、選擇題1.己知直線l⊥平面α，直線m∥平面β，若α⊥β，則下列結論正確的是()A.l∥β或l?β B.l∥mC.m⊥α D.l⊥m答案為：A.解析：直線l⊥平面α，α⊥β，則l∥β或l?β，A正確，故選A.]2.已知直線m，n和平面α，β，則下列四個命題中正確的是()A.若α⊥β，m?β，則m⊥αB.若m⊥α，n∥α，則m⊥nC.若m∥α，n∥m，則n∥αD.若m∥α，m∥β，則α∥β答案為：B.解析：對于A，若α⊥β，m?β，則當m與α，β的交線垂直時才有m⊥α，故A錯；對于B，若n∥α，則α內存在直線a，使得a∥n，∵m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故B正確；對于C，當n?α時，顯然結論錯誤，故C錯；對于D，若α∩β＝l，則當m∥l時，顯然當條件成立時，結論不成立，故D錯.故選B.]3.如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結論正確的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案為：C.解析：因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC在平面ABC內，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]4.如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC的四個面中，直角三角形的個數有()A.4個 B.3個C.2個 D.1個答案為：A.解析：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，△ABC是直角三角形.又PA⊥⊙O所在平面，∴△PAC，△PAB是直角三角形.且PA⊥BC，因此BC垂直于平面PAC中兩條相交直線，∴BC⊥平面PAC,∴△PBC是直角三角形.從而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的個數是4.故選A.]5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC答案為：C.解析：如圖，∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴選項B，D錯誤；∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故選項C正確；(證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故選項A錯誤.故選C.]二、填空題6.已知l，m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：________.如果l⊥α，m∥α，則l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，則m∥α)[將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：(1)如果l⊥α，m∥α，則l⊥m，正確；(2)如果l⊥α，l⊥m，則m∥α，正確；(3)如果l⊥m，m∥α，則l⊥α，錯誤，有可能l與α斜交或l∥α.]7.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為________.eq\f(1,3)[連接A1C1，則∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角.因為AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2eq\r(2)，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝eq\f(AA1,AC1)＝eq\f(1,3).]8.四面體P-ABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，O為AB中點，請從以下平面中選出兩個相互垂直的平面________.(只填序號)①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.②⑤(答案不唯一)[∵四面體P-ABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，O為AB中點，∴CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩PO＝O，∴AB⊥平面POC.∵AB?平面ABC,∴平面POC⊥平面ABC，∴兩個相互垂直的平面為②⑤.]三、解答題9.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB＝BC.求證：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.[證明](1)因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因為ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因為AB＝BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因為BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.10.如圖，三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)若PA＝PC，求三棱錐P-ABC的體積.[解](1)證明：如圖，取AC的中點O，連接BO，PO，因為△ABC是邊長為2的正三角形，所以BO⊥AC，BO＝eq\r(3).因為PA⊥PC，所以PO＝eq\f(1,2)AC＝1.因為PB＝2，所以OP2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.因為AC∩OP＝O，AC，OP?平面PAC，所以BO⊥平面PAC.又OB?平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)因為PA＝PC，PA⊥PC，AC＝2，所以PA＝PC＝eq\r(2).由(1)知BO⊥平面PAC，所以VP-ABC＝VB-APC＝eq\f(1,3)S△PAC·BO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).1.)如圖所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在平面ABC上的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.△ABC的內部答案為：A.解析：連接AC1(圖略)，因為AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1，又AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以點C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上，故選A.]2.如圖所示，在正方形ABCD中，AC為對角線，E，F分別是BC，CD的中點，G是EF的中點.現在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H.下列說法錯誤的是________.(將符合題意的序號填到橫線上)①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面.①③④[根據折疊前AB⊥BE，AD⊥DF可得折疊后AH⊥HE，AH⊥HF，可得AH⊥平面EFH，即②正確；∵過點A只有一條直線與平面EFH垂直，∴①不正確；∵AG⊥EF，AH⊥EF，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF，過H作直線垂直于平面AEF，該直線一定在平面HAG內，∴③不正確；∵HG不垂直AG，∴HG⊥平面AEF不正確，④不正確，綜上，說法錯誤的是①③④.]3.已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為________.eq\r(2)[如圖，過點P作PO⊥平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離.再過O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接PC，PE，PF，則PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝eq\r(3)，所以OE＝OF，所以CO為∠ACB的平分線，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(（\r(3)）2－12)＝eq\r(2).]4.在如圖所示的五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M為BC的中點.(1)求證：FM∥平面BDE；(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求點F到平面BDE的距離.[解](1)證明：取BD的中點O，連接OM，OE，因為O，M分別為BD，BC的中點，所以OM∥CD，且OM＝eq\f(1,2)CD.因為四邊形ABCD為菱形，所以CD∥AB，又EF∥AB，所以CD∥EF，又AB＝CD＝2EF，所以EF＝eq\f(1,2)CD，所以OM∥EF，且OM＝EF，所以四邊形OMFE為平行四邊形，所以MF∥OE.又OE?平面BDE，MF?平面BDE，所以MF∥平面BDE.(2)由(1)得FM∥平面BDE，所以點F到平面BDE的距離等于點M到平面BDE的距離.取AD的中點H，連接EH，BH，因為EA＝ED，四邊形ABCD為菱形，且∠DAB＝60°，所以EH⊥AD，BH⊥AD.因為平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH?平面ADE，所以EH⊥平面ABCD，所以EH⊥BH，易得EH＝BH＝eq\r(3)，所以BE＝eq\r(6)，所以S△BDE＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up8(2))＝eq\f(\r(15),2).設點F到平面BDE的距離為h，連接DM，則S△BDM＝eq\f(1,2)S△BCD＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),4)×4＝eq\f(\r(3),