§2.2.1直線與平面平行的判定

（選自人教A版必修②第二章第二節(jié)第一課時(shí)）

一、教材分析

本節(jié)教材選自人教A版數(shù)學(xué)必修②第二章第二節(jié)第一課時(shí)，主要內(nèi)容是直線

與平面平行的判定定理的探究與發(fā)現(xiàn)、歸納概括、練習(xí)與應(yīng)用。它是在前面己學(xué)

空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，結(jié)合有關(guān)的實(shí)物模型，通過直觀感知、操

作確認(rèn)（合情推理，不要求證明）歸納出直線與平面平行的判定定理。學(xué)線面平行

判定是三大平行判定（線線平行、線面平行、面面平行）的核心，也是高考的高

頻考點(diǎn)之一，學(xué)好線面平行對后續(xù)學(xué)習(xí)面面平行及三大垂直的判定與性質(zhì)等內(nèi)

容，具有良好的示范作用，同時(shí)，它在立體幾何學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用，具

有重要的意義與地位。本節(jié)課的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力與邏輯推理能力起

到重要作用。線面平行的判定蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法主要有數(shù)形結(jié)合與化歸與轉(zhuǎn)化

思想。

二、學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對象是高一的學(xué)生，他們具備一定的由形象思維轉(zhuǎn)化為邏輯思

維的能力。學(xué)生在此前已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與直線平行的性質(zhì)及判定、直線與平面平

行的定義，對直線與平面平行有了一定的認(rèn)識，這些都為學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課做了準(zhǔn)

備。同時(shí)，由于本節(jié)課與生活實(shí)際相結(jié)合，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、參與度會比較大。

但是由于學(xué)生處于學(xué)習(xí)空間立體幾何的初始階段，學(xué)習(xí)立體幾何所具備的語言表

達(dá)及空間感與空間想象能力不夠，特別是對線面平行（空間立體）轉(zhuǎn)化為線線平

行（平面）的化歸與轉(zhuǎn)化思想，這是學(xué)生首次接觸的思想方法，應(yīng)加以必要的強(qiáng)

化與引導(dǎo)。

三、教學(xué)目標(biāo)

（-）知識技能目標(biāo)

（1）理解直線與平面平行的判定定理并能進(jìn)行簡單應(yīng)用；

（2）培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象能力。

（二）過程方法目標(biāo)

（1）啟發(fā)式：以實(shí)物（門、書、直角梯形卡紙）為媒介，啟發(fā)、誘導(dǎo)

學(xué)生逐步經(jīng)歷定理的直觀感知過程;

(2)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理。對于立體幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生已初步入門，

讓學(xué)生自己主動地去獲取知識、發(fā)現(xiàn)問題，教師予以指導(dǎo)，幫助學(xué)生合情推

理、澄清概念、加深認(rèn)識。

(三)情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)

(1)讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，享受成功的

喜悅，感受數(shù)學(xué)的魅力；

(2)在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的同時(shí)，幫助學(xué)生養(yǎng)成辦事認(rèn)真仔細(xì)的

習(xí)慣。

四、教學(xué)重點(diǎn)

通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出判定定理。

五、教學(xué)難點(diǎn)

靈活運(yùn)用判定定理解決問題。

六、教學(xué)方法與手段

啟發(fā)式與探究式教學(xué)相結(jié)合，多媒體投影、計(jì)算機(jī)、實(shí)物(門、書、直角梯

形卡紙)輔助教學(xué)。

七、教學(xué)設(shè)計(jì)思想

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)指出，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、

運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程

的基本要求。在判定定理得出的過程中，注重對典型實(shí)例的觀察，分析，給學(xué)生

提供動手操作的機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納概括活動。另外，通過觀察、思考、探

究向?qū)W生提出問題，以問題引導(dǎo)學(xué)生的思維活動，經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)

模型，從現(xiàn)實(shí)生活空間抽象出幾何圖形和幾何問題的過程。

八、教學(xué)過程

(一)知識回顧(5min)

師：在上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線與平面的位置關(guān)系。那么，直線與平面的位置

關(guān)系有幾種呢？是以什么作為劃分的標(biāo)準(zhǔn)的呢？

生：二種。

(學(xué)生回答完之后用多媒體幻燈片陸續(xù)出現(xiàn)如下表格的內(nèi)容)

位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行

公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)

符號表示acQaCa二Aa|Ia

a\

/a//a

圖形表示/Z7/7

ZJ/

（二）新課引入（20min）

師：今天我們針對上節(jié)課直線與平面平行的位置關(guān)系進(jìn)行探究。那么怎么樣判定

直線與平面平行呢？從上節(jié)課我們學(xué)過的知識中，我們知道，根據(jù)定義，判

定直線與平面是否平行，只需要判定直線與平面有沒有公共點(diǎn)。但是，直線

無限延長，平面無限延展，怎么樣才能保證直線與平面沒有公共點(diǎn)呢？（拋

出疑問讓學(xué)生思考，引起學(xué)生注意力。）

（1）實(shí)例感受

師：生活中門的兩邊是平行的，現(xiàn)在我們把教室門打開，當(dāng)門繞著一邊轉(zhuǎn)動時(shí)，

門上靠近把手的邊與門框所在的平面沒有公共點(diǎn)，這時(shí)門扇轉(zhuǎn)動的一邊與門

框所在的平面讓大家覺得是平行的。（教師一邊解說，一邊實(shí)踐演示）

師：現(xiàn)在大家動手操作，將課本平放在桌面上，慢慢地翻開課本的封面。我們觀

察一下封面的上邊緣與桌面的關(guān)系是怎么樣的呢？（學(xué)生親自動手實(shí)踐，增

強(qiáng)學(xué)生動手能力。）

生：封面的上邊緣與桌面也是平行的呢！

師：好的，我們再來看看這個(gè)。（取出預(yù)先準(zhǔn)備好的直角梯形卡紙演示。）老師

把下底邊放在桌面上并轉(zhuǎn)動。同學(xué)們，你們覺得上底邊與桌面的位置關(guān)系是

怎樣的呀？

生：也是平行的。

師：對，類似剛才書的那個(gè)例子，上底邊與桌面的位置給人以平行的感覺。那如

果我們把直角腰放在桌面上并轉(zhuǎn)動，這時(shí)這條腰還與桌面平行嗎？（老師用

手指著非直角腰問學(xué)生）

生：不平行。

師：是的，這個(gè)時(shí)候這條腰與桌面給人的印象就不平行了。

（設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置這樣動手實(shí)踐的情境，通過對比讓學(xué)生更清楚地看到線面平行

與否的關(guān)鍵因素是什么，使學(xué)生學(xué)在情境中，思在情理中，感悟在內(nèi)心中，學(xué)自

己身邊的數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟空間觀念與空間圖形性質(zhì)。）

（2）探究思考

師：好，現(xiàn)在大家思考一下，剛才演示的直線與平面位置關(guān)系為什么會有這么大

的不同呢？是什么關(guān)鍵因素起了作用呢？

生1：平面內(nèi)的一條直線。

生2：平面外的一條直線。

生3：這兩條直線平行。

（3）得出結(jié)論

師：根據(jù)上面的三個(gè)條件，我們能判斷這個(gè)圖中的直線a與平面a平行嗎？

生：不能。

b

a

師:如果平面內(nèi)有直線b與直線a平行，直線a與平面a的位置關(guān)系又怎么樣呢？

可以保證直線a與平面a平行嗎？

（給出教材圖2.2-3,引導(dǎo)學(xué)生從生活的實(shí)例回到書本的實(shí)例，從而讓學(xué)生根

據(jù)平面外與平面內(nèi)對應(yīng)線段，直接判斷出線面平行。）

師：再看這個(gè)圖，（給出教材圖2.2-4）如果平面a外的直線a與平面a內(nèi)的一

條直線b平行，那么，直線a、b共面嗎？直線a與平面a相交嗎？

（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)a、b共面（共面直線包括相交直線和平行直線），直線a與平

面a不可能相交，亦即直線a與平面a平行。）于是我們可以得出

直線與平面平行的判定定理：

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

用數(shù)學(xué)符號表示直線與平面平行的判定定理：

a<Za

b（za>=>a\\a

a\\b

（三）鞏固新知（lOmin）

（1）選擇題（提問學(xué)生）

下列說法正確的是（）

A.若直線a在平面a外，則a//

B.若直線a〃b,bua,則a〃a；

C.若直線a//b,aUa,buc,則a//a；

D.若直線a平行于平面。內(nèi)的無數(shù)條直線，則a//。。

解析：A直線與平面相交也屬于在平面外，即不符合a//b；

B少了條件a^a；

C正確，三個(gè)條件都具備；

D同B,當(dāng)a在平面內(nèi)時(shí)，也符合。

（2）典型例題（例1）

求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線，平行于經(jīng)過另外兩

邊的平面。

（先講文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號語言）

已知：如圖空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的

A

中點(diǎn)。求證：EF〃平面BCD。/

證明：連接BD,匚乙一F

AE=EB

=EF〃BD

AF=FDEF0平面BCDmEF〃平面BCD

BDu平面BCD

師：要證EF〃平面BCD,關(guān)鍵是在平面BCD中找到和EF

平行的直線，將證明線面平行的問題轉(zhuǎn)化為證明線線平

行的問題。這就是轉(zhuǎn)化的思想。我們現(xiàn)在來復(fù)習(xí)一下可

以判定線線平行的方法。

生：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。三角形中位線定理：三角

形的中位線平行于第三邊并且等于第三遍的一半。梯形

中位線定理；梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底

和的一半。公理4：平行于同一條直線的兩直線平行。

（2）隨堂練習(xí)

①下列命題正確的是（）o

A.平行于同一平面的兩條直線平行。

B.若直線a〃a,則平面a內(nèi)有且僅有一條直線與a平行。

C.若直線a〃a,則平面a內(nèi)任一條直線都與a平行。

D.若直線a〃a，則平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行。

答案：Do

②如圖所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，且SA=SB=SC,SG

為4SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)，試判斷SG與平面DEF

的位置關(guān)系，并給予證明。s

解：SG〃平面DEF,

證明如下：//

連接CG交DE于點(diǎn)H,Af:安立

如圖所示。

VDE是4ABC的中位線，V

，DE〃AB。

在4ACG中，D是AC的中點(diǎn)，木

且DH〃AG,

H為CG的中點(diǎn)，y/k^t\c

???FH是aSCG的中位線，出吊鏟

，F(xiàn)H〃SG。

又SG0平面DEF,FHu平面DEF,b

，SG〃平面DEF。

（四）課堂小結(jié)（5min）

（1）直線與平面平行的判定方法

定義法：證明直線與平面無公共點(diǎn)；

判定定理：證明平面外直線與平面內(nèi)直線平行。

（2）直線與平面平行的判定定理

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

數(shù)學(xué)符號表示直線與平面平行判定：h^a（三個(gè)條件缺一不可）

a\\b

（3）數(shù)學(xué)思想方法：空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。

（五）課后作業(yè)

P551、P562

（六）課后反思

立體幾何比較抽象，所以要盡可能找生活中的實(shí)例進(jìn)行分析。多媒體可以代

替我們抄題，并且展示一些比較難想像的過程，節(jié)省教學(xué)的時(shí)間，所以在今后的

教學(xué)中可以適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)。另外，要注意培養(yǎng)學(xué)生的動手能力,

引導(dǎo)學(xué)生自主分析、找出規(guī)律。同時(shí)，要注重對過去所學(xué)的知識進(jìn)行及時(shí)的復(fù)習(xí)。

九、板書設(shè)計(jì)

§2.2.1直線與平面平行的判定

一、直線與平面平行的例i

判定定理〃/證明：

平面外一條直線與迤