專題17.4勾股定理中最短路徑問題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）【人教版】1．如圖，在長為3，寬為2，高為1的長方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著長方體的表面爬行到頂點(diǎn)B，那么它爬行的最短路程是（）A．14 B．18 C．20 D．26【分析】把此長方體的一面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和B點(diǎn)間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于長方體的高，另一條直角邊長等于長方體的長寬之和，利用勾股定理可求得．【解答】解：因?yàn)槠矫嬲归_圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面右面由勾股定理得AB2＝（2+1）2+32＝18；（2）展開前面上面由勾股定理得AB2＝（2+3）2+12＝26；（3）展開左面上面由勾股定理得AB2＝（3+1）2+22＝20．所以最短路徑的長為AB=18（cm故選：B．2．如圖，已知圓柱底面的周長為12cm，圓柱高為8cm，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（）A．10cm B．20cm C．208cm D．100cm【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2AC的長度．∵圓柱底面的周長為12m，圓柱高為8dm，∴AB＝8dm，BC＝BC′＝6cm，∴AC2＝62+82＝100，∴AC＝10，∴這圈金屬絲的周長最小為2AC＝20（cm），故選：B．3．如圖，長方體的長為3，寬為2，高為4，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為1，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短路程是（）A．21 B．5 C．29 D．37【分析】要求長方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解答】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖1：∵長方體的寬為2，高為4，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是1，∴AB=4只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖2：∵長方體的寬為2，高為4，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是1，∴AB=2只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖3：∵長方體的寬為2，高為4，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是1，∴AB=6∵5＜29∴螞蟻爬行的最短距離是5．故選：B．4．如圖，在長方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點(diǎn)B處有一滴糖漿，容器外A點(diǎn)處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長為5cm，寬為3cm，高為4cm，點(diǎn)A距底部1cm，請問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計(jì)）（）A．317cm B．10cm C．55【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：將容器的側(cè)面展開，如圖所示：作A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，由題意得：EC＝4cm，AC＝1cm，BC＝5+3＝8（cm），∴AE＝A′E＝EC﹣AC＝4﹣1＝3（cm），∴A′C＝A′E+EC＝3+4＝7（cm），由勾股定理得：A′BA'C2+B故選：D．5．如圖，一圓柱體的底面圓周長為20cm，高AB為4cm，BC是上底的直徑，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，則爬行的最短路程是（）A．229 B．4ππ2+25 【分析】此題最直接的解法，就是將圓柱展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解答】解：底面周長為20cm，半圓弧長為10cm，畫展開圖形如下：由題意得：AD＝10cm，CD＝4cm，根據(jù)勾股定理得：AB=AD2+BD故選：A．6．如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相對方向有一小蟲P，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖A處的最短距離是（）A．73厘米 B．10厘米 C．82厘米 D．8厘米【分析】由于小蟲從外壁進(jìn)入內(nèi)壁，要先到杯子上沿，再進(jìn)入杯子，故先求出到杯子沿的最短距離即可解答．【解答】解：如圖所示：最短路徑為：P→A'，將圓柱展開，PA'=PE2+最短路程為PA'＝10cm．故選：B．7．國慶節(jié)期間，重慶南開中學(xué)用彩燈帶裝飾了藝術(shù)樓大廳的所有圓柱形柱子．為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從A點(diǎn)沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的B點(diǎn)，如圖所示，若每根柱子的底面周長均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為（）A．7米 B．11米 C．13米 D．5米【分析】要求彩帶的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時，借助于勾股定理．【解答】解：將圓柱表面切開展開呈長方形，則彩燈帶長為2個長方形的對角線長，∵圓柱高3米，底面周長2米，∴AC2＝22+1.52＝6.25，∴AC＝2.5（米），∴每根柱子所用彩燈帶的最短長度為5m．故選：D．8．如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5m的半圓，其邊緣AB＝CD＝20m．小明要在AB上選取一點(diǎn)E，能夠使他從點(diǎn)D滑到點(diǎn)E再滑到點(diǎn)C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約為（）（π取3）m．A．30 B．28 C．25 D．22【分析】要求滑行的最短距離，需將該U型池的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【解答】解：其側(cè)面展開圖如圖：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接DF，∵中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5m的半圓，∴BC＝πR＝2.5π≈7.5m，AB＝CD＝20m，∴CF＝15m，在Rt△CDF中，DF=CF2故他滑行的最短距離約為25m．故選：C．9．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個臺階兩個相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程是（）A．18 B．15 C．12 D．8【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從B點(diǎn)到A點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【解答】解：將臺階展開，如圖，因?yàn)锳C＝3×3+1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2+BC2＝225，所以AB＝15，所以螞蟻爬行的最短線路為15．故選：B．10．某校“光學(xué)節(jié)”的紀(jì)念品是一個底面為等邊三角形的三棱鏡（如圖）．在三棱鏡的側(cè)面上，從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)A′鑲有一圈金屬絲，已知此三棱鏡的高為9cm，底面邊長為4cm，則這圈金屬絲的長度至少為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm【分析】畫出三棱柱的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解即可．【解答】解：將三棱柱沿AA′展開，其展開圖如圖，則AA′=92+1故選：D．二．填空題（共10小題）11．如圖所示，ABCD是長方形地面，長AB＝16m，寬AD＝9m，中間豎有一堵磚墻高M(jìn)N＝1m．一只螞蚱從B點(diǎn)爬到D點(diǎn)，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走95m的路程．【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC的長，再把中間的墻平面展開，使原來的矩形長度增加而寬度不變，求出新矩形的對角線長即可．【解答】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加2個MN的長度，即原圖長度增加2米，∴AB＝16+2＝18（米），連接AC，∵四邊形ABCD是長方形，AB＝18米，寬AD＝9米，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2∴螞蟻從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它至少要走95米的路程．故答案為：95．12．在一個長6+22米，寬為4米的長方形草地上，如圖堆放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬AD，木塊的主視圖的高是2米的等腰直角三角形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到C處需要走的最短路程是229米．【分析】解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解答】解：由題意可知，將木塊展開，相當(dāng)于是AB+等腰直角三角形的兩腰，∴長為6+22+2+2﹣22于是最短路徑為102+故答案為：229．13．如圖，若圓柱的底面周長是30cm，高是120cm，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞幾圈絲線到頂部B處做裝飾，則按圖中此方式纏繞的這條絲線的最小長度是150cm．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：如圖所示，在如圖所示的直角三角形中，∵BC＝120cm，AC＝30×3＝90（cm），∴AB=1202答：按圖中此方式纏繞的這條絲線的最小長度是150cm．故答案為：150．14．愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：已知，如圖一個棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁BC的中點(diǎn)M，甲蟲所走的最短路程是16cm．【分析】如圖，將正方形ABCD沿著CD翻折得到正方形A′B′CD，過點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)部作MM′⊥BC，使MM′＝3cm，連接A′M′交CD于點(diǎn)P，在PC上取點(diǎn)Q，使PQ＝3cm，連接QM，過點(diǎn)M′作M′N⊥A′B′于點(diǎn)N，則四邊形MM′NB′是矩形，四邊形PQMM′是平行四邊形，此時AP+PQ+QM＝A′P+PQ+PM′＝A′M′+PQ最小，運(yùn)用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如圖，將正方形ABCD沿著CD翻折得到正方形A′B′CD，過點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)部作MM′⊥BC，使MM′＝3cm，連接A′M′交CD于點(diǎn)P，在PC上取點(diǎn)Q，使PQ＝3cm，連接QM，過點(diǎn)M′作M′N⊥A′B′于點(diǎn)N，則四邊形MM′NB′是矩形，四邊形PQMM′是平行四邊形，∴M′N＝MB′，PM′＝QM，B′N＝MM′，∠A′NM′＝90°，此時AP+PQ+QM＝A′P+PQ+PM′＝A′M′+PQ最小，∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴CM=12BC＝4∴M′N＝MB′＝12cm，A′N＝A′B′﹣B′N＝5cm，在Rt△A′M′N中，A′M′=A'N2∴A′M′+PQ＝16cm，故答案為：16．15．我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上．（1）若繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問題中葛藤的最短長度是25尺．（2）若繞n周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問題中葛藤的最短長度是9n2【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，在Rt△ABC中，再根據(jù)勾股定理求解即可；（2）在Rt△ABC中，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：（1）如圖所示，在Rt△ABC中，BC＝20，AC＝5×3＝15，∴AB=A答：葛藤長為25尺，故答案為：25；（2）在Rt△ABC中，BC＝20，AC＝3n，∴AB=A答：葛藤長為9n故答案為：9n16．如圖，長方體盒子的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B距離C點(diǎn)5cm，一只螞蟻如果要沿著盒子的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)B．（1）螞蟻爬行的最短距離是25cm；（2）若從C處想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管應(yīng)不少于529cm．【分析】（1）要求長方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答；（2）當(dāng)吸管、長方體的高及底面對角線的長正好構(gòu)成直角三角形時，插入盒子內(nèi)的吸管長度最大，用勾股定理即可解答．【解答】解：（1）只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖：∵長方體的寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5cm，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15（cm），AD＝20（cm），在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=BD2只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：∵長方體的寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5cm，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25（cm），AD＝10cm，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=BD2+AD只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖：∵長方體的寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5cm，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30（cm），在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=AC2+BC∵25＜529＜537∴螞蟻爬行的最短距離是25（cm）．故答案為：25；（2）盒子底面對角長為15當(dāng)吸管、長方體的高及底面對角線的長正好構(gòu)成直角三角形時，插入盒子內(nèi)的吸管長度最長，則吸管長度為：(325)2+20∴吸管應(yīng)不少于529cm．故答案為：529．17．如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為32πm的半圓，其邊緣AB＝CD＝15m，點(diǎn)E在CD上，CE＝3m，一滑板愛好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離約為20m【分析】要求滑行的最短距離，需將該U型池的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【解答】解：如圖是其側(cè)面展開圖：AD=12×π×32π=16m，AB＝CD＝15m．DE＝在Rt△ADE中，AE=AD2故他滑行的最短距離約為20m．故答案為：20．18．如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長AD＝80cm，高AB＝60cm，水深A(yù)E＝40cm．在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一塊面包屑，G在水面線EF上，且EG＝60cm，一只螞蟻想從魚缸外的A點(diǎn)沿魚缸壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)的G處吃面包屑．則螞蟻爬行的最短路線為100cm．【分析】作出A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A′，連接A′G，與BC交于點(diǎn)Q，此時AQ+QG最短；A′G為直角△A′EG的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：如圖所示作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A′，連接A′G交BC與點(diǎn)Q，小蟲沿著A→Q→G的路線爬行時路程最短．在直角△A′EG中，A′E＝80cm，EG＝60cm，∴AQ+QG＝A′Q+QG＝A′G=A'E2∴最短路線長為100cm．故答案為：100．19．邊長分別為4cm，3cm兩正方體如圖放置，點(diǎn)P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P【分析】求出兩種展開圖PA的值，比較即可判斷；【解答】解：如圖，有兩種展開方法：方法一：PA=72方法二：PA=82故需要爬行的最短距離是65cm．20．在一個長為8分米，寬為5分米，高為7分米的長方體上，截去一個長為6分米，寬為5分米，深為2分米的長方體后，得到一個如圖所示的幾何體．一只螞蟻要從該幾何體的頂點(diǎn)A處，沿著幾何體的表面到幾何體上和A相對的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是149分米．【分析】根據(jù)題意把圖形的側(cè)面展開，利用勾股定理求解即可．【解答】解：情形1：平面展開圖所示，AB=(1+2+6+2+1情形2：平面展開圖如圖所示：AB=1∵149＜答：它需要爬行的最短路徑的長是149分米．三．解答題（共10小題）21．如圖是一個玻璃容器，在ABCD面的外面一點(diǎn)E處有一個螞蟻，里面F點(diǎn)處有一小塊食物，螞蟻要想爬到里面去吃食物，請你幫它選擇一條最近的爬行路線．（保留作圖痕跡）【分析】作點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E′，再連接E′F與AD交于點(diǎn)P，從E到點(diǎn)P再到F，就是最短路徑．【解答】解：如圖所示：22．在立方體紙盒的頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，在另一頂點(diǎn)E處有一粒糖，你能為這只螞蟻設(shè)計(jì)一條最短路線，使它沿著立方體表面上的這一條路線爬行，最快捷吃到糖嗎？以下提供三個方案：①A→B→C→E；②A→C→E；③A→D→E．（1）三種方案①、②、③中爬行路線最短的方案是③；最長的方案是①．（2）請根據(jù)數(shù)學(xué)知識說明理由．【分析】（1）根據(jù)“化曲面為平面”，且利用“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，爬行路線最短的方案是③；最長的方案是①；（2）分別求出三種方案螞蟻爬行的路程，比較即可求解．【解答】解：（1）三種方案①、②、③中爬行路線最短的方案是③；最長的方案是①．故答案為：③；①；（2）爬行路線最短的方案是③；最長的方案是①．理由如下：‘’設(shè)立方體紙盒的棱長為a，則a＞0．方案：①A→B→C→E螞蟻爬行的路程為：AB+BC+CE＝a+a+a＝3a；方案；②A→C→E螞蟻爬行的路程為：AC+CE=a2+a2+方案；③A→D→E螞蟻爬行的路程為：a2+(2a∵5a＜（2+1）a＜3a∴爬行路線最短的方案是③；最長的方案是①．23．如圖1，長方體的底面邊長分別為3m和2m，高為1m，在盒子里，可以放入最長為14m的木棒；（2）如圖2，在與（1）相同的長方體中，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)C，那么所用細(xì)線最短需要101m；（3）如圖3，長方體的棱長分別為AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)C1以2厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱C1C向下爬行，同時昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以相同的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉昆蟲甲？【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知所用細(xì)線最短長度；（3）利用昆蟲是在側(cè)面上爬行，兩種爬行路線的最短路徑相等，利用勾股定理求出即可．【解答】解：（1）可以放入最長為32+2故答案為：14；（2）如圖所示：將長方體展開，連接AC，∴AC=(3+2+3+2)2故答案為：101；（3）因?yàn)槔ハx是在側(cè)面上爬行，可以看出，下面兩圖的最短路徑相等，設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)C1沿棱C1C向頂點(diǎn)C爬行的同時，昆蟲乙從頂點(diǎn)A按路徑A→E→F，爬行捕捉到昆蟲甲需x秒鐘，如圖1在Rt△ACF中，（2x）2＝122+（14﹣2x）2，解得：x=85答：昆蟲乙至少需要851424．如圖，已知圓柱底面的直徑BC＝8，圓柱的高AB＝10，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A，C嵌有一圈長度最短的金屬絲．（1）現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AB剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖是A．（2）求該長度最短的金屬絲的長．【分析】（1）由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點(diǎn)解題；（2）要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：（1）因圓柱的側(cè)面展開面為長方形，AC展開應(yīng)該是兩線段，且有公共點(diǎn)C．故選：A；（2）解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2AC的長度．∵圓柱底面的直徑BC＝8，圓柱的高AB＝10，∴該長度最短的金屬絲的長為2AC＝2102+(4π25．如圖，長方體的長BE＝30cm，寬AB＝20cm，高AD＝40cm，點(diǎn)M在CH上，且CM＝10cm．一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M，需要爬行的最短距離是多少？【分析】分三種情況討論：如圖①，在Rt△ADM中，如圖②，在Rt△ABM中，如圖③中，在Rt△AMC中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖①，在Rt△ADM中，AM=AD2如圖②，在Rt△ABM中，AM=AB2如圖③中，在Rt△AMC中，AM=AC2∵50＜1029∴螞蟻要沿長方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M，需要進(jìn)行的最短距離為50cm．26．如圖，長方體的長AB＝5cm，寬BC＝4cm，高AE＝6cm，三只螞蟻沿長方體的表面同時以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)G處．螞蟻甲的行走路徑S甲為：翻過棱EH后到達(dá)G處（即A→P→G），螞蟻乙的行走路徑S乙為：翻過棱EF后到達(dá)G處（即A→M→G），螞蟻丙的行走路徑S丙為：翻過棱BF后到達(dá)G處（即A→N→G）．（1）求三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙，S丙的最小值分別是多少？（2）三只螞蟻都走自己的最短路徑，請判斷哪只最先到達(dá)？哪只最后到達(dá)？【分析】（1）將長方體展開，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，比較三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙，S丙的大小，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵長AB＝5cm，寬BC＝4cm，高AE＝6cm，∴EF＝AB＝5cm，CF＝BC＝EH＝4cm，AE＝BF＝CG＝6cm，∴S甲=(AE+EF)2S乙=(AE+EH)2+GHS丙=(AB+BC)2答：三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙，S丙的最小值分別是137cm，55cm，117cm；（2）由（1）知，S甲=137（cm），S乙＝55（cm），S丙=117（∵137＞∴螞蟻丙最先到達(dá)，螞蟻甲最后到達(dá)．27．如圖①所示，一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點(diǎn)C1處，要想使路程較短，有三種不同的方式：①沿面ABB1A1和面A1B1C1D1；②沿面和ABB1A1和面BCC1B1；③沿面AA1D1D和面A1B1C1D1．（1）圖②為第一種方式展成的平面圖形，請你畫出另兩種方式展成的平面圖形；（2）若AB＝4，BC＝2，BB1＝1，請通過計(jì)算，判斷第幾種方式所走路線最短？最短路線長為多少？（3）若長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且a＞b＞c，請直接寫出最短路線的長（用a，b，c的代數(shù)式表示）．【分析】（1）根據(jù)要求畫出平面展開圖即可；（2）分別利用勾股定理求出AC1的長，然后比較大小即可判斷；（3）根據(jù)（2）中結(jié)果，利用勾股定理即可解決問題；【解答】解：（1）示意圖如下：（2）①在Rt△ABC1中，AC2＝AB2+BC2＝42+32＝52，∴AC1=25②在Rt△ACC1中，AC2＝AC2+CC2＝62+12＝37，∴AC1=37③在Rt△AB1C1中，AC2＝AB2+B1C2＝52+22＝29，∴AC1=29∵5＜29∴沿第①種方式爬行路線最短，最短路線長是5．（3）最短路線長是a228．吳老師在與同學(xué)們進(jìn)行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設(shè)計(jì)了以下問題，請你根據(jù)下列所給的條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長．（1）如圖1，正方體的棱長為5cm，一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn)A沿正方體表面爬到點(diǎn)C1處；（2）如圖2，長方體底面是邊長為5cm的正方形，高為6cm，一只螞蟻欲從長方體底面上的點(diǎn)A沿長方體表面爬到點(diǎn)C1處．【分析】（1）將正方體展開，連接AC1，即可求得最短路徑的長；（2）將長方體展開，得到兩個結(jié)果，取其值最小者；【解答】解：（1）如圖，AC1=D1A2∴一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn)A沿正方體表面爬到點(diǎn)C1處，最短路程的長為55cm．（2）分兩種情況：①如圖，AC1=(5+5)2②如圖，AC1=(6+5，因?yàn)?46＞234所以最短路程為234cm．29．圖（1）為一個無蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其展開成平面圖，如圖（2）．已知展開圖中每個正方形的邊長為1．（1）求該展開圖中可畫出最長線段的長度，并求出這樣的線段可畫幾條．（2）試比較立體圖中∠ABC與平面展開圖中∠A′B′C′的大小關(guān)系．【分析】（1）由長方形中最長的