PAGE北理工《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》FAQ（一）【古典概型】把4個不同的球任意投入4個不同的盒子內(nèi)（每盒裝球數(shù)不限），計算：（1）無空盒的概率；（2）恰有一個空盒的概率.解：4個球任意投入4個不同的盒子內(nèi)有44種等可能的結果.（1）其中無空盒的結果有A種，所求概率P==.答：無空盒的概率是.（2）先求恰有一空盒的結果數(shù)：選定一個空盒有C種，選兩個球放入一盒有CA種，其余兩球放入兩盒有A種.故恰有一個空盒的結果數(shù)為CCAA,所求概率P（A）==.答：恰有一個空盒的概率是.【條件概型】盒中有3個紅球，2個白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解設Ai為第i次取球時取到白球，則 求得：3/70【條件概型＋全概型】市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。解 設B買到一件次品，A1為買到甲廠一件產(chǎn)品A2為買到乙廠一件產(chǎn)品A3為買到丙廠一件產(chǎn)品可得：＝0.00225【貝葉斯公式】商店論箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？解設A:從一箱中任取4只檢查,結果都是好的.B0,B1,B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品 已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:【伯努利概型】在體育比賽中，若甲選手對乙選手的勝率是0.6，那么甲在五局三勝與三局兩勝這兩種賽制中，選擇哪個對自己更有利解：在五局三勝賽制中，甲獲勝的概率為P5(3)+P5(4)+P5(5) =0.6826在三局兩勝賽制中，甲獲勝的概率為P3(2)+P3(3)=0.648甲應選擇五局三勝制。設隨機變量的分布密度為：試求：（1）；（2）分布函數(shù)解：(1)P(-1/2<<1/2)=當x<-1時F(x)=當時F(x)=當x時F(x)=（2）故分布函數(shù)為F(x)=已知隨機變量X的所有可能取值是0,1,2,3,取這些值的概率依次為0.1,0.2,0.3,0.4,試寫出X的分布函數(shù).解答：由分布函數(shù)的定義可得三、一工廠生產(chǎn)的電子管壽命服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，，若要求，問最大允許為多少？解：，從而，，即允許最大為31.25。一、設隨機變量服從參數(shù)為的0-1分布，求.解：依題意，的分布律為011-由，有二、袋中有張卡片，記有號碼.現(xiàn)從中有放回地抽出張卡片來，求號碼之和的數(shù)學期望.解：設表示第次取得的號碼，則，且，其中，，故，，從而.三、設隨機變量的分布律為-2020.40.30.3求，，.解：，，.四、設隨機變量的概率密度為，求.解：概率密度可轉(zhuǎn)化為，五、設隨機變量的概率密度為，求：（1）的數(shù)學期望；（2）的數(shù)學期望.解：（1）（2）六、設隨機變量服從泊松分布，且，求的期望與方差.解：的分布律為，于是由已知條件得，即，解之得（舍去），，故七、設隨機變量，，相互獨立，且有，，設，求.解：八、設服從參數(shù)為2的泊松分布，，試求，，，.解：，，，九、設隨機變量的方差，隨機變量的方差，又與的相關系數(shù)，求與.解：十、設隨機變量的分布律為-101-1001試驗證和是不相關的，且和不相互獨立.解：先求，的邊緣分布律-101，-101因為，所以與不相互獨立，又.于是，即，因此，與是不相關的.某工廠每天用水量保持正常的概率為，求最近6天內(nèi)用水量正常的天數(shù)的分布。解:

設最近6天內(nèi)用水量保持正常的天數(shù)為。它服從二項分布，其中，，用公式(4.1)計算其概率值，得到：…列成分布表如表4-1：表4-1二、10部機器各自獨立工作，因修理調(diào)整等原因，每部機器停車的概率為0.2。求同時停車數(shù)目的分布。解:

服從二項分布，可用貝努里公式計算?，F(xiàn)將計算結果列成分布表如表4-2：表4－2三、一批產(chǎn)品的廢品率，進行20次重復抽樣（每次抽一個，觀察后放回去再抽下一個），求出現(xiàn)廢品的頻率為0．l的概率。解：令表示20次重復抽取中廢品出現(xiàn)的次數(shù)，它服從二項分布。四、某批產(chǎn)品有的一等品，對它們進行重復抽樣檢驗，共取出4個樣品，求其中一等品數(shù)的最可能值，并用貝努里公式驗證。

解

服從二項分布，是整數(shù)，所以和時為最大。即取出4個樣品時，一等品個數(shù)最可能是3或4。

用貝努里公式計算多的分布律如表4-3：表4-3可見，具體計算出的概率也正好在及時為最大。五、某班有學生20名，其中有5名女同學，今從班上任選4名學生去參觀展覽，被選到的女同學數(shù)是一個隨機變量，求的分布。

解：可以取0，l，2，3，4這5個值，相應概率應按下式計算：

計算結果列成概率分布表如表4－4。表4－4六、若一班有學生20名，其中有3名女同學，從班上任選4名去參觀，求被選到的女同學人數(shù)這一隨機變量的分布律。

解

可以取0，1，2，3這4個值。與例1同樣的方法計算可得：列成概率分布表如表4－5：表4－5七、一大批產(chǎn)品的廢品率為，求任取一箱（有100個產(chǎn)品），箱中恰有一個廢品的概率。解所取一箱中的廢品個數(shù)服從超幾何分布，由于產(chǎn)品數(shù)量很大，可按二項分布公式計算，其中。但由于較大而很小，可用普哇松分布公式近似代替二項分布公式計算。其中，查表得：誤差不超過1％。八、檢查了100個零件上的疵點數(shù)，結果如表4-6：表4-6試用普哇松分布公式計算疵點數(shù)的分布，并與實際檢查結果比較。解

查附表一并與頻率比較，列表如表4-7：表4-7九、,求及解：因為，所以

附表三中表示。十、求及。解

查表可得

解此方程組，得到：一、設是相互獨立的隨機變量，且它們都服從參數(shù)為的泊松分布。記，試用中心極限定理計算。解：由中心極限定理可認為，則?？偨Y：先求出隨機變量函數(shù)的分布，然后按照中心極限定理的規(guī)定計算。二、一部件包括10部分。每部分的長度是一個隨機變量，它們相互獨立且具有同一分布。其數(shù)學期望為2mm，均方差為0.05mm，規(guī)定總長度為200.1mm時產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。解：由中心極限定理可認為總長度，則?？偨Y：根據(jù)中心極限定理得到要衡量的變量的隨機分布，然后求解概率。三、一個加法器同時收到20個噪聲電壓。設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間上服從均勻分布。為加法器上受到的總噪聲電壓，求解：由中心極限定理可知，則總結：根據(jù)中心極限定理得到要衡量的變量的隨機分布，然后求解概率。四、計算機在進行加法時，對每個加數(shù)取整（取為最接近它的整數(shù)），設所有的取整誤差是相互獨立的，且它們都在上服從均勻分布。（1）若將1500個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？（2）問幾個數(shù)加在一起可使得誤差總和的絕對值小于10的概率為0.90？解：（1）由中心極限定理：誤差總和，因此。（2）由題意得：，即，即?？偨Y：將文字語言轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學問題，然后根據(jù)相應的定義求解。一、隨機地觀察總體，得10個數(shù)據(jù)如下：將它們由小到大排列為

其樣本分布函數(shù)是：二、設總體～，是取自總體的樣本，是樣本均值，問樣本容量n至少應取多大，才能使？解：，三、設是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，已知E＝（k=1,2,3,4），證明：當n充分大時，隨機變量近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù)。證明：因為；所以，所以五、從正態(tài)總體中抽取容量為ｎ的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間（1.4，5.4）內(nèi)的概率不小于0.95，問樣本容量ｎ至少應取多大？解：，，六、設總體服從（），從該總體中抽取簡單隨機樣本（ｎ２），其樣本均值為＝，求統(tǒng)計量＝的數(shù)學期望E。解：，即，一、隨機測定8包大米的重量（單位：千克）20.520.320.019.320.020.420.2，試求總體均值及方差的矩估計值，并求樣本方差。解：總結：樣本均值，方差的定義。二、設是取自參數(shù)為的泊松分布總體的一個樣本，試求的矩估計量和極大似然估計量。解：⑴矩估計：⑵極大似然估計：總結：矩估計，極大似然估計的定義，計算步驟。三、設總體，為其樣本，與是樣本均值與樣本方差。對任意實數(shù)，求證：是的無偏估計。證明：總結：無偏性的定義。四、設總體，（，常數(shù)），為其樣本，求證：是的無偏估計。證明：總結：無偏性的定義。五、設為總體的一個樣本，未知，⑴求證：是的無偏估計；⑵問與作為的估計哪一個更有效？證明：⑴解：⑵而，更有效總結：無偏性，有效性的定義。一、某化學日用品有限責任公司用包裝機包裝洗衣粉,洗衣粉包裝機在正常工作時,裝包量(單位:),每天開工后,需先檢驗包裝機工作是否正常.某天開工后,在樁號的洗衣粉中任取9袋,其重量如下:假設總體標準差不變,即試問這天包裝機工作是否正常?解 (1)提出假設檢驗:(2)以成立為前提,確定檢驗的統(tǒng)計量及其分布,(3)對給定顯著性水平確定的接受域或拒絕,取臨界點為使故被接受與拒絕的區(qū)域分別為(4)由樣本計算統(tǒng)計量的值(5)對假設作出推斷因為(拒絕域),故認為這天洗衣粉包裝機工作不正常.二、某廠生產(chǎn)的一種螺釘,標準要求長度是68mm.實際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度服從正態(tài)分布考慮設檢驗問題設為樣本均值，按下列方式進行假設檢驗:當時，拒絕假設當時，接受假設（1）當樣本容量求犯第一類錯誤的概率;（2）當時，求犯第一類錯誤的概率（3）當不成立（設，又時，按上述檢驗法，求犯第二類錯誤的概率.解 當時,有所以(2)當時,有注:隨著樣本容量的增大,得到關于總體的信息更多,從而犯棄真錯誤的概率越小.(3)當時,這時,犯第二類錯誤的概率進一步,當時,同樣可計算得當時,注:由(3)中可知,在樣本容量確定的第件下,的真值越接近犯取偽錯誤的概率越大.總體均值的假設檢驗1．方差已知情形三、某車間生產(chǎn)鋼絲,用X表示鋼絲的折斷力,由經(jīng)驗判斷其中;今換了一批材料,從性能上看估計折斷力的方差不會有什么變化(即仍有),但不知折斷力的均值和原先有無差別.現(xiàn)抽得樣本,測得其折斷力為:578572570568572570570572596584取試檢驗折斷力均值有無變化?解 (1)建立假設(2)選擇統(tǒng)計量(3)對于給定的顯著性水平確定使查正態(tài)分布表得從而拒絕域為(4)由于所以故應拒絕即認為折斷力的均值發(fā)生了變化.四、一工廠生產(chǎn)一種燈管,已知燈管的壽命X服從正態(tài)分布根據(jù)以往的生產(chǎn)經(jīng)驗,知道燈管的平均壽命不會超過1500小時.為了提高燈管的平均壽命,工廠采用了新的工藝.為了弄清楚新工藝是否真的能提高燈管的平均壽命,他們測試了采用新工藝生產(chǎn)的25只燈管的壽命,其平均值是1575小時.盡管樣本的平均值大于1500小時,試問:可否由此判定這恰是新工藝的效應,而非偶然的原因使得抽出的這25只燈管的平均壽命較長呢?解 把上述問題歸納為下述假設檢驗問題:從而可利用右側檢驗法來檢驗,相應于取顯著水平為查附表得因已測出從而由于從而否定原假設接受備擇假設即認為新工藝事實上提高了燈管的平均壽命.2．方差未知情形五、水泥廠用自動包裝機包裝水泥,每袋額定重量是50kg,某日開工后隨機抽查了9袋,稱得重量如下:49.649.350.150.049.249.949.851.050.2設每袋重量服從正態(tài)分布,問包裝機工作是否正常解 (1)建立假設(2)選擇統(tǒng)計量(3)對于給定的顯著性水平確定使查分布表得從而拒絕域為(4)由于所以故應接受即認為包裝機工作正常.六、一公司聲稱某種類型的電池的平均壽命至少為2.15小時.有一實驗室檢驗了該公司制造的6套電池,得到如下的壽命小時數(shù):19,18,22,20,16,25試問:這些結果是否表明,這種類型的電池低于該公司所聲稱的壽命?(顯著性水平).解 可把上述問題歸納為下述假設檢驗問題:這可利用檢驗法的左