小學(xué)五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第13課《面積計(jì)算》試題附答案

第十四講面積計(jì)算

在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的各種平面圖形之間有著密切的聯(lián)系,我們把平面圖形之間

的轉(zhuǎn)化方法及它們的面積、周長(zhǎng)公式歸納如下圖：

計(jì)算圖形的面積要用面積公式，對(duì)于一些復(fù)雜的圖形有意識(shí)地運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變

化的觀點(diǎn)，將平面圖形簡(jiǎn)單地變動(dòng)位置，可以化警為簡(jiǎn)，化難為易，從而獲得

最佳解法。

例1已知三角形ABC的面積為1,BE=2AB,BC=CD,求三角形BDE的面積?

（下頁(yè)圖）

例2求右圖中陰影部分的面積大圓直徑為2,單位：厘米）。

例3如下圖.在圖中三角形ABE、ADF和四邊形AECF的面積相等，求三角形AEF

的面積。

例4如下頁(yè)圖.等腰直角三角形ABC的腰為10厘米；以A為圓心，EF為圓弧，組

成扇形AEF；陰影部分甲與乙的面積相等.求扇形所在的圓面積.

例5如右圖.從一個(gè)正方形的木板上鋸下寬為;米的一塊長(zhǎng)方形木條

以后，剩下的面積是與平方米.問鋸下木條的面積是多少平方米？

1O

例6一塊長(zhǎng)方形鋼板，長(zhǎng)截下4分米，寬截下1分米后，成了一塊正方形鋼板,

如右圖，面積比原來減少了49平方米原來長(zhǎng)方形鋼板的面積是多少平方米？

999

例7ABCD為任意四邊形，其中AE=gAB,BF=-BC,CG=j-CD,

2

DH=yDA,連結(jié)E、F,C、H求四邊形EFGH的面積與四邊形ABCD的面積

之比（如右圖）。

例8如右圖，已知三角形ABC的三條高必定交于一點(diǎn)，如記成P點(diǎn),

請(qǐng)你講明?+望+第=1為什么成立？

答案

例1已知三角形ABC的面積為1,BE=2AB,BC=CD,求三角形BDE的面積？

（下頁(yè)圖）

分析利用己給的線段間的比例關(guān)系、己給的三角形的面積以及三角形的面積

公式，設(shè)法把三角形BDE劃分成一些與三角形ABC的面積成相應(yīng)比例的三角形.

這樣，三角形BDE的面積就能求得了。

解：見右圖，連結(jié)CE對(duì)于三角形ABC與三角形BEC,分別把AB和BE

看成底，那么它們的高相等此外，BE=2AB.根據(jù)三角形面積公式S=gah

可知，

S_iEEc=2S二祝=2一

顯然，三角形BEC和三角形CED

是兩個(gè)等底（BC=CD）、等高的三角形，因此

S_B=SABEC_2。

這樣，SUQE=S_15K+S

例2求右圖中陰影部分的面積.（大圓直徑為2,單位：厘米）。

MIL

分析：解題時(shí)可以先將圖形下半部分翻轉(zhuǎn)拼接為右圖.然后將圖中的小圓移至

中心從圖中不難看出求原圖中陰影部分的面積就是求一個(gè)圓環(huán)的面積。

解：大圓半徑：2+2=1（厘米）

小圓半徑：52=0.5（厘米）

陰影面積：3.14X（No。

=2.355（平方厘米）

答：陰影部分的面積是2.355平方厘米.

例3如下圖.在圖中三角形ABE、ADF和四邊形AECF的面積相等，求三角形AEF

的面積。

分析三角形AEF的面積等于四邊形AECF的面積減去三角形ECF的面積.因?yàn)殚L(zhǎng)

方形ABCD的面積等于三角形ABE、ADF和四邊形AECF的面積和，

而這三者的面積又相等，所以四邊形AECF的面積等于長(zhǎng)方形面積的；由于

長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)、寬分別為9厘米和6厘米，因此很容易求出它的面積.所以解

題關(guān)鍵在于求出三角形ECF的面積。

根據(jù)三角形面積公式S=：ah,已知三角形ABE的面積等于長(zhǎng)方形面積

的;，又知道AB=6厘米，可以求出BE的長(zhǎng)度.知道BE的長(zhǎng)度就可以求出

EC的長(zhǎng)度同理可以求出FC的長(zhǎng)度.這樣三角形ECF的面積可以求出，使問題得

解。

解：長(zhǎng)方形ABCD的面積：9X6=54（平方厘米）；

四邊形AECF及三角形ABE、AFD的面積相等，是：

54X1=18（平方厘米）；

EC的長(zhǎng)度：9-18X2+6=3（厘米）；

FC的長(zhǎng)度：6-18X2+9=2（厘米）j

三角形AEF的面積：

18-3X2*2=15（平方厘米）。

答：三角形AEF的面積是15平方厘米。

例4如下頁(yè)圖.等腰直角三角形ABC的腰為10厘米；以A為圓心，EF為圓弧，組

成扇形AEF；陰影部分甲與乙的面積相等.求扇形所在的圓面積.

分析.?.△ABC是等腰直角三角形，.?.AC=BC,NA=NB=45。。S==S二，

即S_b的面積等于以AE為半徑，圓心角是45°的扇形面積根據(jù)已知條件，可

求打三角形ABC的面積從而可求出圓面積。

解：三角形ABC的面積：與史=50（平方厘米）；

周角是45°圓心角的幾倍？360X45=8；

圓面積：50X8=400（平方厘米）o

答：扇形所在的圓面積是40評(píng)方厘米。

例5如右圖.從一個(gè)正方形的木板上鋸下寬為;米的一塊長(zhǎng)方形木條

以后，剩下的面積是粵平方米.問鋸下木條的面積是多少平方米？

lo

分析利用一種稱之為“弦圖”的求面積的方法.用“弦圖”計(jì)算面積最主要的

是掌握“弦圖”的特點(diǎn).其一：大正方形邊長(zhǎng)張方形長(zhǎng)X土方形寬”

其二：小正方形的邊長(zhǎng)土方形的長(zhǎng)x-長(zhǎng)方形的寬y.解題時(shí)先把四個(gè)面積為

形邊長(zhǎng)是9米，從而可求出拼成后正方形的總面積，進(jìn)而確定正方形的邊長(zhǎng)。

解：拼成后大正方形的面積：

梟+那=槳（平方米）。

loN/30

大正方形的邊長(zhǎng)：

V第=（1）2。.?.大正方形的長(zhǎng)為胃米.

3666

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（即長(zhǎng)方形木條的長(zhǎng)）：

...長(zhǎng)+寬=§（米），長(zhǎng)-寬=1（米），

02

A長(zhǎng)=（等+9+2=］（米）。

626

鋸下木條的面積：平方米）。

6212

答：鋸下木條的面積是15平方米。

例6一塊長(zhǎng)方形鋼板，長(zhǎng)截下4分米，寬截下1分米后，成了一塊正方形鋼板,

如右圖，面積比原來減少了49平方米原來長(zhǎng)方形鋼板的面積是多少平方米？

14分*T

1分和訓(xùn)皿皿皿珊Ml

分析初看起來，圖中長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬，正方形的邊長(zhǎng)都不知道，無法求出長(zhǎng)方

形的面積，能否用特殊的方法思考呢？審題后發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬和面積都和

正方形有關(guān)系.圖中陰影部分，如果添一條“輔助線”，如下頁(yè)圖（1）或下頁(yè)

圖（2）,把它分解成兩個(gè)長(zhǎng)方形.以下頁(yè)圖（2）為例.記正方形的邊長(zhǎng)為x分米

帶陰影的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)為（x+4）分米，寬為1分米，帶陰影的大長(zhǎng)方形長(zhǎng)為冷

米，寬為4分米.“面積比原來（長(zhǎng)方形）減少了49平方米”，也就是大長(zhǎng)方形

陰影部分面積+小長(zhǎng)方形陰影部分面積=陰影部分總面積=49平方分米，用方程

解.

淋T

Q分

i

分分$

T

。

X分米

長(zhǎng)為

形邊

正方

解：設(shè)

=49,

+4x

）X1

（x+4

9,

4x=4

x+4+

,

5x=45

x=9o

）

分米

（平方

130

49=

9X9+

。

分米

0平方

為13

面積

鋼板

方形

答：長(zhǎng)

2

2

2

CD,

G=-

,C

jBC

F=

,B

?AB

AE=

，其中

邊形

意四

D為任

ABC

例7

面積

CD的

形AB

與四邊

的面積

FGH

邊形E

H求四

,C、

E、F

,連結(jié)

yDA

DH=

。

圖）

（如右

之比

S△?,

S_4=

得知

和BD

結(jié)ED

解：連

2

S

=

所以

DB'

TAA

s=lx2g=2

Q&AEH_33Q&ABD_qQ&ABD

2

印里S&CGF=§SABCD

22

因此S&AEH+S&CGF=g(S△妞D+S&BCD)=勺$口題口

2

同理^ABFE+S&DHG=口他CD，

4

所以S&AEH+S&CGF+S&BFE+=^"^nABCD

(l-g)ScLABCD

所以S皿GH2『s口ABCD

即四邊形EFGH的面積：四邊形ABCD面積=5:9。

例8如右圖，己知三角形ABC的三條高必定交于一點(diǎn)，如記成P點(diǎn),

請(qǐng)你講明M+要+黑=1為什么成立？

ADJ5匕Ur

分析與解答從右圖中可以看出APBC和AABC是同底的兩個(gè)三角形,

它們的面積之比等于它們對(duì)應(yīng)高的比，所以步巴=黑.同理可得：

'△ABC

S&PCA=PES&PABPF

,△ABCBECF

q