輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)算法案例第一課時(shí)2024/1/271.回憶算法的三種表示方法：〔1〕、自然語言〔算法步驟〕〔2〕、程序框圖〔3〕、程序語言〔三種邏輯結(jié)構(gòu)〕〔五種根本語句〕復(fù)習(xí)引入2024/1/272.思考：

小學(xué)學(xué)過的求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法？先用兩個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來.2024/1/27例：求下面兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)：〔1〕求25和35的最大公約數(shù)〔2〕求49和63的最大公約數(shù)25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公約數(shù)為5所以，49和63的最大公約數(shù)為7思考：除了用這種方法外還有沒有其它方法？例：如何算出8251和6105的最大公約數(shù)？2024/1/27新課講解：一、輾轉(zhuǎn)相除法〔歐幾里得算法〕1、定義：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。假設(shè)余數(shù)不為零，那么將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，那么這時(shí)較小的數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。2024/1/27完整的過程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例：用輾轉(zhuǎn)相除法求225和135的最大公約數(shù)225=135×1+90135=90×1+4590=45×2顯然37是148和37的最大公約數(shù)，也就是8251和6105的最大公約數(shù)顯然45是90和45的最大公約數(shù)，也就是225和135的最大公約數(shù)思考1：從上面的兩個(gè)例子中可以看出計(jì)算的規(guī)律是什么？S1：用大數(shù)除以小數(shù)S2：除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)S3：重復(fù)S1，直到余數(shù)為02024/1/27

輾轉(zhuǎn)相除法是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行直到余數(shù)等于0才停止的步驟，這實(shí)際上是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框圖表示出右邊的過程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：輾轉(zhuǎn)相除法中的關(guān)鍵步驟是哪種邏輯結(jié)構(gòu)？2024/1/27思考：你能把輾轉(zhuǎn)相除法編成一個(gè)計(jì)算機(jī)程序嗎？(1)、算法步驟：第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)m,n(m>n).第二步：計(jì)算m除以n所得的余數(shù)r.第三步：m=n,n=r.第四步：假設(shè)r＝0,那么m,n的最大公約數(shù)等于m；否那么轉(zhuǎn)到第二步.第五步：輸出最大公約數(shù)m.2024/1/27(2)、程序框圖：開始輸入m,n

r=mMODn

m=nr=0?是否

n=r輸出m結(jié)束2024/1/27(3)、程序：INPUT“m,n=“;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND2024/1/27二、更相減損術(shù)

可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。第一步：任意給定兩個(gè)正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。假設(shè)是，那么用2約簡(jiǎn)；假設(shè)不是那么執(zhí)行第二步。第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，那么這個(gè)等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。〔1〕、《九章算術(shù)》中的更相減損術(shù)：1、背景介紹：〔2〕、現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的更相減損術(shù)：2024/1/272、定義：

所謂更相減損術(shù)，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差數(shù)和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)便為原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。2024/1/27例:用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝2121－7＝2114－7＝7所以，98和63的最大公約數(shù)等于73、方法：2024/1/271、用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)84與72的最大公約數(shù)．

練習(xí)：思路分析：先約簡(jiǎn)，再求21與18的最大公約數(shù),然后乘以兩次約簡(jiǎn)的質(zhì)因數(shù)4。2、求324、243、135這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。思路分析：求三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，第三個(gè)數(shù)與前兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)即為所求。2024/1/27(1)、算法步驟第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)a,b(a>b);第二步：假設(shè)a不等于b,那么執(zhí)行第三步；否那么轉(zhuǎn)到第五步；第三步：把a(bǔ)-b的差賦予r;第四步：如果b>r,那么把b賦給a,把r賦給b;否那么把r賦給a，執(zhí)行第二步；第五步：輸出最大公約數(shù)b.***思考：你能根據(jù)更相減損術(shù)設(shè)計(jì)程序，求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？2024/1/27(2)、程序框圖開始輸入a,ba≠b?是否輸出b結(jié)束

b=ra=br=a-br<b?a=r否是2024/1/27(3)、程序INPUT“a,b=“;a,bWHILEa<>br=a-bIFb>rTHENa=bb=rELSEa=rENDIFWENDPRINTbEND2024/1/27比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別〔1〕都是求最大公約數(shù)的方法，