2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)業(yè)水平考試試題（卷）（四）九年級·數(shù)學(xué)（北師大版）（考查范圍：上冊完）（滿分：120分答題時間：120分鐘）第Ⅰ卷選擇題（共30分）一、單項選擇題（每小題3分，共30分）1.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列各點中也在該函數(shù)圖象上的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用待定系數(shù)法求出的值，再分別計算出四個選項中的點的橫縱坐標(biāo)的積，等于的值的就在反比例函數(shù)圖象上，反之則不在．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，A、，故此點不在此函數(shù)圖象上；B、，故此點在此函數(shù)圖象上；C、，故此點不在此函數(shù)圖象上；D、，故此點不在此函數(shù)圖象上．故選：B．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是掌握圖象上的點的橫縱坐標(biāo)的積是定值，即．2.如圖，是葉脈的黃金分割點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)黃金分割數(shù)的性質(zhì)（如果把一條線段分為兩部分，使其中較長一段與整個線段的比是黃金分割數(shù)，那么較短一段與較長一段的比也是黃金分割數(shù)）求解即可．【詳解】根據(jù)黃金分割數(shù)的性質(zhì)可知．故選：A．【點睛】本題主要考查黃金分割數(shù)，牢記黃金分割數(shù)的性質(zhì)（如果把一條線段分為兩部分，使其中較長一段與整個線段的比是黃金分割數(shù)，那么較短一段與較長一段的比也是黃金分割數(shù)）是解題的關(guān)鍵．3.一元二次方程的根情況是（）A.沒有實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根【答案】C【解析】【分析】本題主要考查根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．計算出即可得到答案．【詳解】解：，，，，故有兩個不相等的實數(shù)根，故選C．4.如圖，的對角線和相交于點O，下列說法正確的是（）A.若，則是菱形 B.若，則是矩形C.若，則是菱形 D.若，則是矩形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形和矩形的判定方法逐項判斷即得答案.【詳解】解：A、若，不能判定是菱形，故本選項說法錯誤；B、若，則是矩形，故本選項說法正確；C、若，由于，則，所以是矩形，故本選項說法錯誤；D、若，則是菱形，故本選項說法錯誤；故選：B【點睛】本題考查了矩形和菱形的判定，熟知矩形和菱形常見的判定方法是解題的關(guān)鍵.5.在“雙減政策”的推動下，我區(qū)某中學(xué)學(xué)生每天書面作業(yè)時長明顯減少，2022年上學(xué)期每天書面作業(yè)平均時長為，經(jīng)過2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長為．設(shè)該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時長每期的下降率為，則可列方程為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】利用2023年上學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長年上學(xué)期每天書面作業(yè)平均時長該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時長每期的下降率，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)根據(jù)題意得：．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6.若點，，是反比例函數(shù)圖像上的三個點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號可得反比例函數(shù)所在象限為二、四，其中在第四象限的點的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)的增減性，進而判斷在同一象限內(nèi)的點和點的縱坐標(biāo)的大小即可．【詳解】解：反比例函數(shù)的系數(shù)為，圖像的兩個分支在二、四象限，該函數(shù)隨的增大而增大，第四象限的點縱坐標(biāo)總小于第二象限的縱坐標(biāo)，點在第二象限，，在第四象限，最大，該函數(shù)隨的增大而增大，，，，故選：．【點睛】考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像上的點的特征，用到的知識點為，反比例函數(shù)的比例系數(shù)小于，圖像的個分支在二、四象限；第四象限的點的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo)；在同一象限內(nèi)，隨的增大而增大．7.在我國古代建筑中經(jīng)常使用榫卯構(gòu)件，如圖是某種榫卯構(gòu)件的示意圖，其中，卯的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)俯視圖的定義（從上面觀察物體所得到的視圖是俯視圖）即可得．【詳解】解：卯的俯視圖是，故選：C．【點睛】本題考查了俯視圖，熟記俯視圖的概念是解題關(guān)鍵．8.如圖，位似圖形由三角尺與其在燈光照射下的中心投影組成，相似比為，且三角尺一邊長為，則投影三角形的對應(yīng)邊長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)邊長為的投影三角形的對應(yīng)邊長為，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后利用比例的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：設(shè)邊長為的投影三角形的對應(yīng)邊長為，根據(jù)題意得，解得．故選：D．【點睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．位似圖形必須是相似形，對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點；對應(yīng)邊平行或共線．9.小晶和小紅玩擲骰子游戲，每人將一個各面分別標(biāo)有數(shù)字、、、、、的正方體骰子擲一次，把兩人擲得的點數(shù)相加，并約定：若點數(shù)之和等于，則小晶贏；若點數(shù)之和等于，則小紅贏；若點數(shù)之和是其他數(shù)，則兩人不分勝負，那么（）A.小晶贏的機會大 B.小紅贏的機會大C.小晶、小紅贏的機會一樣大 D.不能確定【答案】B【解析】【分析】先通過列表得到共有36種等可能的結(jié)果，其中點數(shù)之和等于6的占5種，點數(shù)之和等于7的占6種，再根據(jù)概率的定義得到P（小晶贏）=；P（小紅贏）==，即可得到答案．【詳解】列表如下：共有36種等可能的結(jié)果，其中點數(shù)之和等于6的占5種，點數(shù)之和等于7的占6種，∴P（小晶贏）=；P（小紅贏）==，即P（小晶贏）＜P（小紅贏），所以小紅贏的機會大．故選B．【點睛】本題考查了游戲公平性問題：先利用列表或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果數(shù)，然后找出兩個事件所發(fā)生的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率的定義計算出它們的概率，然后通過概率的大小判斷游戲是否公平．10.如圖1，已知A，B是反比例函數(shù)（，）圖像上的兩點，軸，交y軸于點C，動點P從坐標(biāo)原點O出發(fā)，沿（圖中“”所示路線）勻速運動，終點為C，過P作軸，垂足為M．設(shè)三角形的面積為S，P點運動時間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖像大致如圖2，則k的值為（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】當(dāng)點P在上運動時，此時S隨t的增大而增大，當(dāng)點P從點A到點B的過程中，三角形的面積S是定值，再根據(jù)此時的面積為4，列式計算，即可求解．【詳解】解：由圖1可知，點P從點A到點B過程中，三角形的面積S是定值，由圖2可知：點P從點A到點B的過程中，，，解得：，，，故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義及反比例函數(shù)的性質(zhì)，動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是從函數(shù)圖象獲取相關(guān)信息．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.已知是方程的一個根，則的值是________．【答案】【解析】【分析】把代入方程即可求解．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴把代入方程得，，解得，，故答案為：．【點睛】本題主要考查根據(jù)方程的根求參數(shù)，掌握一元二次方程的計算方法是解題的關(guān)鍵．12.如圖，點O是的中點，將周長為的菱形沿對角線方向平移長度得到菱形，則四邊形的周長是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，通過繼而可得，繼而證明四邊形為菱形，即可求解．【詳解】將菱形沿對角線方向平移長度得到菱形，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴∵點O是的中點，∴，∴，同理可得，，∴，∴四邊形為菱形，∵菱形的周長為，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和判定及平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為______．【答案】2【解析】【分析】首先由三視圖可知此幾何體為三棱柱，進而得出底面三角形的底和高及棱柱的高，再根據(jù)三棱柱的體積公式計算，即可求得．【詳解】解：根據(jù)三視圖可知該幾何體是三棱柱，底面為底邊長為2，高為1的三角形，棱柱的高為2，故底面正三角形的面積為：，故該三棱柱的體積為：故答案為：2．【點睛】本題考查了由三視圖確定幾何體及求三棱柱的體積，由該三視圖中的數(shù)據(jù)確定三棱柱的底面面積和高是解本題的關(guān)鍵；本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．14.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點,兩點，當(dāng)時，則自變量的取值范圍是______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)圖象中一次函數(shù)與反比例函數(shù)的分布即可求出取值范圍．【詳解】由圖像知，當(dāng)或時，一次函數(shù)在反比例函數(shù)上方，即，故答案為：或【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象問題，解題的關(guān)鍵是不要被題目中的無關(guān)字母干擾．15.如圖，已知菱形的邊長為4，E是的中點，平分交于點F，交于點G，若，則的長是______．【答案】##【解析】【分析】延長，相交于點M，通過證明得出，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得出，進而得出，最后證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可進行解答．【詳解】解：延長、，相交于點M，∵四邊形為菱形，，∴，∴，∵E是的中點，∴，在和中，，∴，∴，則，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意呼出輔助線，構(gòu)造相似三角形求解．三、解答題（共75分）16.（1）（2）小明與小亮兩位同學(xué)解方程的過程如下框：小明：兩邊同除以，得，則．小亮：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．任務(wù)一：你認為他們的解法是否正確？若正確請在括號內(nèi)打“√”；若錯誤請在括號內(nèi)打“×”：小明（），小亮（）任務(wù)二：寫出你的解答過程．【答案】（1），；（2）任務(wù)一：×，×；任務(wù)二：，【解析】【分析】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)公式法解一元二次方程即可；（2）任務(wù)一：觀察解法，發(fā)現(xiàn)小明忽視的情況，小亮提公因式時沒有添加括號而出錯；任務(wù)二：按照正確思路解題即可．【詳解】（1）解：由題意得，，，，則，，即，；（2）解：任務(wù)一：×，×；任務(wù)二：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．17.人工智能是數(shù)字經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展的引擎，也是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動．人工智能市場分為決策類人工智能，人工智能機器人，語音類人工智能，視覺類人工智能四大類型，將四個類型的圖標(biāo)依次制成A，B，C，D四張卡片（卡片背面完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻放置在桌面上．A．決策類人工智能B．人工智能機器人C．語音類人工智能D．視覺類人工智能（1）隨機抽取一張，抽到?jīng)Q策類人工智能的卡片的概率為______；（2）從中隨機抽取一張，記錄卡片內(nèi)容后放回洗勻，再隨機抽取一張，請用列表或樹狀圖的方法求抽取到的兩張卡片內(nèi)容一致的概率．【答案】（1）（2）抽取到的兩張卡片內(nèi)容一致的概率為．【解析】【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【小問1詳解】解：∵共有4張卡片，∴從中隨機抽取一張，抽到?jīng)Q策類人工智能的卡片的概率為；故答案為：；【小問2詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下：

共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽取到的兩張卡片內(nèi)容一致的結(jié)果數(shù)為4，所以抽取到的兩張卡片內(nèi)容一致的概率為．【點睛】此題考查是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．18.如圖，在中，已知，，與交于點，且．（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由．（2）若，且，，求的長．【答案】（1）菱形，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）四邊形是菱形，由，，，得出，加上，得出四邊形是平行四邊形，由得出四邊形是菱形；（2）由四邊形是菱形，得出，，利用勾股定理得出，由得出，加上得出平行四邊形，即可求出．【小問1詳解】解：四邊形是菱形；，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，是菱形；【小問2詳解】解：菱形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，菱形，，，，，．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19.某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y（℃）與時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段AB．BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）求線段AB和雙曲線CD的函數(shù)關(guān)系式；（2）求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度；（3）若大棚內(nèi)的溫度低于10℃時，蔬菜會受到傷害．問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？【答案】（1），（2）20°C（3）恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時，蔬菜才能避免受到傷害【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法分別求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式即可；（2）將代入線段AB解析式，即可求恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫；（3）將y=10代入（1）中相應(yīng)的函數(shù)解析式，然后即可得到這天內(nèi)恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多長時間，才能避免蔬菜受到傷害．【小問1詳解】解：設(shè)線段AB解析式為∵線段AB過點，代入得解得∴AB解析式為：設(shè)雙曲線CD解析式為：∵∴∴雙曲線CD解析式為：【小問2詳解】解：∵B在線段AB上當(dāng)時，∴恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20°C【小問3詳解】解：把代入中，解得：∴答：恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時，蔬菜才能避免受到傷害．【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．20.臨潼石榴是一種歷史悠久的石榴品種，因其籽肥汁多、口感香甜、色澤鮮艷、清香宜人，深受大家的喜愛．一水果商以每斤2元的價格購進了一批臨潼石榴，然后以每斤6元的價格進行銷售，平均每天可以銷售150斤．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果石榴每斤的售價每降價0.5元，那么平均每天的銷售量會增加50斤．為了盡快減少庫存，該水果商決定降價銷售．（1）若將石榴每斤降低x元，則每天的銷售量是斤；（用含x的代數(shù)式表示）（2）如果該水果商銷售的石榴要每天保證盈利750元，每斤石榴應(yīng)降至多少元？【答案】（1）（2）元【解析】【分析】（1）根據(jù)降價后，每天的銷售量=降價前銷售量+降價增加的銷售量，列式即可；（2）根據(jù)利潤=(降價后的售價-進價)×數(shù)量，列方程求解即可．【小問1詳解】解：若將石榴每斤降低x元，則每天的銷售量是斤，故答案為：；【小問2詳解】解：根據(jù)題意，得：，整理，得：，解得，，∵要盡快減少庫存，∴，∴，答：每斤石榴應(yīng)降至元．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)利潤=(降價后的售價-進價)×數(shù)量，列出方程是解題的關(guān)鍵．21.學(xué)習(xí)了相似三角形相關(guān)知識后，小明和同學(xué)們想利用“標(biāo)桿”測量大樓的高度．如圖，小明站立在地面點F處，他的同學(xué)在點B處豎立“標(biāo)桿”AB，使得小明的頭頂E、標(biāo)桿頂端A、大樓頂端C在一條直線上（點F、B、D也在一條直線上）．已知小明的身高EF=1.5米，“標(biāo)桿”AB=2.5米，BD=23米，F(xiàn)B=2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大樓的高度CD．【答案】大樓的高度CD為14米．【解析】【分析】過點E作EH⊥CD于點H，交AB于點J．則四邊形EFBJ，四邊形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性質(zhì)求出CH，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點E作EH⊥CD于點H，交AB于點J．則四邊形EFBJ，四邊形EFDH都是矩形．∴EF=BJ=DH=1.5米，BF=EJ=2米，DB=JH=23米，∵AB=2.5米．∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1（米），∵AJ∥CH，∴△EAJ∽△ECH，∴，∴，∴CH=12.5（米），∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14（米）．答：大樓的高度CD為14米．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．22.綜合與實踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，王老師讓同學(xué)們用兩張矩形紙片進行探究活動．陽光小組準(zhǔn)備了兩張矩形紙片和，其中，，將它們按如圖1所示的方式放置，當(dāng)點與點重合，點，分別落在，邊上時，點，恰好為邊，的中點．然后將矩形紙片繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，連接與．觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖2，當(dāng)時，小組成員發(fā)現(xiàn)與存在一定的關(guān)系，其數(shù)量關(guān)系是________；位置關(guān)系是________．探索猜想：（2）如圖3，當(dāng)時，（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．拓展延伸：（3）在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)，，三點共線時，請直接寫出線段的長．【答案】（1）；垂直（2）仍然成立，理由見詳解（3）或【解析】【分析】（1）延長，交于點I，根據(jù)題意，證明，即可得，再根據(jù)相似的性質(zhì)得到，通過等量轉(zhuǎn)換，證明，即可解答．（2）設(shè)與的交點為I，與的交點為M,根據(jù)（1）中的思路，同理證明，即可得，再根據(jù)相似的性質(zhì)得到，通過等量轉(zhuǎn)換，證明，即可解答．（3）考慮兩種情況，即：點F在的延長線上或點F在線段的延長線上，作對應(yīng)的輔助線，通過相似三角形的性質(zhì)，即可解答．【小問1詳解】解：如圖，延長，交于點I，

四邊形是矩形，，根據(jù)圖1中，點，分別落在，邊上時，點，恰好為邊，的中點，，，,，，即，，,，，即．故答案為：，【小問2詳解】解：如圖，設(shè)與的交點為I,與的交點為M,

四邊形和四邊形是矩形，,,即，根據(jù)圖1中，點，分別落在，邊上時，點，恰好為邊，的中點，，，,，，即，，，,，．【小問3詳解】解：①當(dāng)點F在的延長線上時，如圖所示，作交的延長線于點K，求得，，，三點共線，，,，，，，，，，，，；①當(dāng)點F在線段上時，如圖所示，過點H作的垂線，交于點N，，，，，，，，，，，，綜上所述，當(dāng)，，三點共線時，線段的長為或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，計算較復(fù)雜，做出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．23.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點C、A分別在x軸和y軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象與、分別交于點D、E，且頂點B的坐標(biāo)為，．（1）求反比例函數(shù)的表達式及E點坐標(biāo)；（2