第8講直線形計(jì)算二內(nèi)容概述進(jìn)一步學(xué)習(xí)直線形面積公式酌運(yùn)用；學(xué)會(huì)將線段倍數(shù)關(guān)系與面積倍數(shù)關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)T七；初步學(xué)習(xí)添加輔助線酌分析方法．典型問(wèn)題興趣篇1．如圖8-1，四邊形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC=15（厘米），且三角形ADE、四邊形DEBF、三角形CDF的面積相等，陰影三角形DEF的面積是多少平方厘米？解析：四邊形ABCD的面積是（12+15）×8÷2=108（平方厘米），108÷3=36（平方厘米）。CF=36×2÷8=9(厘米)，F(xiàn)B=15-9=6(厘米)，AE=36×2÷12=6（厘米），EB=8-6=2（厘米）。陰影三角形DEF的面積是36-2×6÷2=30（平方厘米）2．一塊長(zhǎng)方形的土地被分割成4個(gè)小長(zhǎng)方形，其中三塊的面積如圖8-2所示（單位：平方米），剩下一塊的面積應(yīng)該是多少平方米？解析：40×15÷30=20（平方米）3．如圖8-3，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三角形DEC的面積是3平方厘米．請(qǐng)問(wèn)：三角形ABC的面積是多少平方厘米？解析：三角形ADC的面積是3×3=9（平方厘米），三角形ABC的面積是3×9=27（平方厘米）4．如圖8-4，E是BC上靠近C的三等分點(diǎn)，且ED是AD的2倍，三角形ABC的面積為36平方厘水．三角形BDE的面積是多少平方厘米？解析：三角形BAE的面積是36÷3×2=24（平方厘米），三角形BDE的面積24÷3×2=16（平方厘米）5．如圖8-5所示，已知三角形BEC的面積等于20平方厘米，E是AB邊上靠近日點(diǎn)的四等分點(diǎn)，三角形AED的面積是多少平方厘米？平行四邊形DECF的面積是多少平方厘米？解析：（1）三角形AED的面積是20×3=60（平方厘米）（2）三角形DEC的面積是20+60=80（平方厘米），三角形DEC的面積是平行四邊形DECF的面積的一半，也是平行四邊形ABCD的面積的一半，所以平行四邊形DECF的面積是80×2=160（平方厘米）6．如圖8-6，已知平行四邊形ABCD的面積為36，三角形AOD的面積為8．三角形BOC的面積為多少？解析：根據(jù)一半模型可知，三角形AOD的面積和三角形BOC的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半，所以三角形BOC的面積是36÷2-8=107．如圖8-7，長(zhǎng)方形ABCD的面積是96平方厘米，E是AD邊上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，F(xiàn)是CD上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn)．陰影部分的面積是多少平方厘米？解析：鏈接BD，可知三角形ABD的面積和三角形BDC都是96÷2=48（平方厘米），三角形ABE的面積是48×=32（平方厘米）。同理可知三角形BFC的面積是48×=12（平方厘米）。鏈接AC，根據(jù)鳥頭定理可知48××=24（平方厘米），陰影部分的面積是96-24-32-12=28（平方厘米）.8．如圖8-8，將一個(gè)長(zhǎng)為18的長(zhǎng)方形，分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，而且梯形的面積是三角形的5倍．三角形ABE的邊BE的長(zhǎng)是多少？解析：鏈接AC，而且梯形的面積是三角形的5倍，所以可知三角形ACE的面積是三角ABE的2倍且CE=2BE。BE=18÷3=69．如圖8-9，把一個(gè)正方形的相鄰兩邊分別增加3和5厘米，結(jié)果面積增加了71平方厘米（陰影部分）．原正方形的面積為多少平方厘米？解析：3×5=15（平方厘米），71-15=56（平方厘米）。把剩余的兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相同，56÷（3+5）=7（厘米）。原正方形的面積是7×7=49（平方厘米）10．如圖8-10，四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)D，D點(diǎn)到四條邊的垂線都是4厘米，四邊形的周長(zhǎng)是36厘米，四邊形的面積是多少平方厘米？解析：鏈接AO、DO、BO、CO得到四個(gè)高相同的三角形。假設(shè)這個(gè)三角形的底是AB=a,AD=d,CD=c,BC=b,且a+b+c+d=36，那么四個(gè)三角形的面積就是4×a÷2+4×b÷2+4×c÷2+4×d÷2=4÷2×(a+b+c+d)=2×36=72（平方厘米）。拓展篇如圖8-11，有9個(gè)小長(zhǎng)方形，其中的5個(gè)小長(zhǎng)方形的面積分別為4、8、12、16、20平方米．其余4個(gè)長(zhǎng)方形的面積分別是多少平方米？解析：第一行的長(zhǎng)方形面積16×4÷8=8（平方米）；第二行的長(zhǎng)方形面積16×12÷8=24（平方米）；第二行的長(zhǎng)方形面積左邊第一個(gè)長(zhǎng)方形8×20÷16=10（平方米）；第二行的長(zhǎng)方形面積右邊第一個(gè)長(zhǎng)方形20×24÷16=30（平方米）。2．圖8-12中三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點(diǎn)，AD是AE的3倍，三角形ABE的面積是多少平方厘米？3．如圖8-13，在四邊形ABCD中，已知CD=3DF，AE=3ED，而且三角形BFC的面積為6平方厘米，四邊形BEDF的面積為7平方厘米．大四邊形ABCD的面積是多少？解析：連接BD，可得到兩個(gè)三角形ABD和三角形BDC。根據(jù)CD=3DF,AE=3ED可知三角形FBD的面積6÷2=3（平方厘米），三角形EDB的面積是7-3=4（平方厘米），三角形AEB的面積是3×4=12（平方厘米）。大四邊形ABCD的面積是6+7+12=25（平方厘米）。4．如圖8-14，把三角形DEF的各邊向外延長(zhǎng)1倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面積為1．三角形DEF的面積是多少？解析：連接AE、BF、CD,不難看出圖中小三角形的面積都相等，所以三角新的DEF的面積是1÷7=5．如圖8-15，E是AB邊上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，梯形ABCD的面積是三角形AEC面積的5倍．請(qǐng)問(wèn)：梯形的下底長(zhǎng)是上底長(zhǎng)的幾倍？解析：因?yàn)镋是AB邊上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以三角形BEC的面積相當(dāng)于ACE的面積的2倍。又因?yàn)樘菪蜛BCD的面積是三角形AEC面積的5倍，那么三角形ACD的面積也是三角形ACE的倍，所以三角形CBA的面積是三角形ACD的面積的3÷2=1.5倍，所以下底是上底的1.5倍。6．如圖8-16，一個(gè)長(zhǎng)方形被分成4個(gè)不同顏色的三角形，紅色三角形的面積是9平方厘米，黃色三角形的面積是21平方厘米，綠色三角形的面積是10平方厘米，那么藍(lán)色三角形的面積是多少平方厘米？解析：根據(jù)一半模型可知藍(lán)色三角形面積是21+10-9=22（平方厘米）7．圖8-17中，正方形ABCD的面積為1．把每條邊都3等分，然后將這8個(gè)等分點(diǎn)與正方形內(nèi)部的某一點(diǎn)P相連接，形成4個(gè)陰影的四邊形和4個(gè)空白的三角形，陰影部分的總面積是多少？解析：根據(jù)一半模型，可推得上下和左右兩個(gè)空白三角形的面積都是是正方形面積的，由此易知道陰影的面積是1--=。8．如圖8-18，在梯形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)．已知梯形ABCD的面積為35平方厘米，三角形ABD的面積為13平方厘米．三角形BCE的面積為多少平方厘米？解析：連接AC，三角形ABC的面積和三角形BCD的面積相等，并且都是35-13=22（平方厘米）；又因?yàn)镋是AB中點(diǎn)所以三角形BCE的面積是22÷2=11（平方厘米）。9．在圖8-19中，正方形ADEB和正方形ECFG底邊對(duì)齊，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為6和4．三角形ACG和三角形BDF的面積分別是多少？解析：此題是典型的蝴蝶定理的應(yīng)用，圖一連接AE，可知得到梯形AECG，根據(jù)地蝴蝶定理可知陰影三角形ACG的面積和三角形CEG的面積相同4×4÷2=8；同理圖2連接EF，可知道三角形BDF的面積是6×6÷2=18.10．圖8-20是由邊長(zhǎng)分別為10厘米、12厘米、8厘米的正方形構(gòu)成，有一條與AB邊平行的直線EF將此圖形分成面積相等的兩部分，那么BF的長(zhǎng)度為多少厘米？解析：解設(shè)BF為X厘米（10+12+8）（12-X）-(12-8)(8-X)=(10+12+8)X-10[X-(12-10)]解得X=5.811．(1)如8-21中左圖所示，把一個(gè)正方形的相鄰兩邊分別增加2厘米和4厘米，結(jié)果面積增加了50平方厘米（陰影部分）．原正方形的面積為多少平方厘米？(2)如8-21中右圖所示，把一個(gè)正方形的相鄰兩邊分別減少3厘米和5厘米，結(jié)果面積減少了65平方厘米（陰影部分）．原正方形的面積為多少平方厘米？解析：（1），50-8=42（平方厘米），42÷6=7（厘米）7×7=49（平方厘米）（2）3×5=（平方厘米）65+15=80（平方厘米）80÷8=10（厘米）10×10=100（平方厘米）12.如圖8-22，直角三角形ABC套住了一個(gè)正方形CDEF，E點(diǎn)恰好在AB邊上，直角邊AC長(zhǎng)20厘米，BC長(zhǎng)12厘米．正方形的邊長(zhǎng)為多少厘米？解析：方法一：延長(zhǎng)BC到G，使AC=CG;三角形ABC的面積就等于三角形GEB。三角形ABC的面積=20×12÷2×2÷（20+12）=7.5（厘米）方法二：連接CE,顯然三角形CEB的面積與三角ACE的面積的和等于三角形ABC的面積，即20×12÷2=120（平方厘米）；解：設(shè)正方形的的邊長(zhǎng)是X厘米。20X÷2+12X÷2=120解得X=7.5超越篇1．如圖8-23，三角形ABC的每邊長(zhǎng)都是96厘米，用折線把這個(gè)三角形分割成面積相等的四個(gè)三角形．請(qǐng)求出CE和CF的長(zhǎng)度之和．解析：根據(jù)題意顯然3AD=CD,2BE=EC,DF=FC。又因?yàn)槿切蜛BC的每邊長(zhǎng)都是96厘米，所以EC=96÷3×2=64（厘米）；CF=96÷4×3÷2=36（厘米）；CF+EC=36+64=100（厘米）。2．如圖8-24，把四邊形ABCD的各邊都延長(zhǎng)1倍，得到一個(gè)新四邊形EFGH.如果ABCD的面積是5平方厘米，則EFGH的面積是多少平方厘米？解析：連接AC、CH、AF，易知三角形AEF、AFB和三角形ABC面積相等，三角形ACD、CHD和三角形CHG面積也相等，所以三角形FBE與三角形DHG的面積和是四邊形ABCD的面積的2倍。同理，連接BD、ED、BG，也可知三角形AEH與三角形FCG的面積和也是四邊形ABCD的面積的2倍。所以EFGH的面積是5×5=25（平方厘米）。3．圖8-25中ABCD是正方形，圖中數(shù)字是各線段的長(zhǎng)度（單位：厘米）．過(guò)，點(diǎn)的線段IM將五邊形EFGHI分成面積相等的兩部分．線段BM的長(zhǎng)度是多少厘米？解析:正方形ABCD的面積是是（3+5）×（3+5）=64（平方厘米）；五邊形EFGHI的面積等于正方形的面積減去四個(gè)角上的三角形的總結(jié)，即64-（2×5÷2+3×4÷2+2×4÷2+1×6÷2）=46（平方厘米）；根據(jù)題意易知道四邊形EIMF的面積是46÷2=23（平方厘米），梯形AIMB面積是23+2×5÷2+1×6÷2=31（平方厘米），BM=31×2÷（2+6）-5=2.75（厘米）。如圖8-26，在鈍角三角形ABC中，M為AB邊的中點(diǎn)，MD、EC都垂直于BC邊．若三角形BDE的面積是3平方厘米，則三角形ABC的面積是多少？解析：連接CM，根據(jù)梯形蝴蝶定理不難知道三角形EDM的面積等于三角形CMD的面積，所以三角形EDB的面積也就等于三角形CMB的面積，也就是3平方厘米。又因M是AB的中點(diǎn)，所以三角形ABC的面積=3×2=6（平方厘米）。5．在圖8-27中，大正方形面積比小正方形面積大40平方厘米，大正方形面積是多少平方厘米？解析：解：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為X厘米。（20-X）2-X2=40X=9大正方形的面積是（20-9）2=121（平方厘米）6．如圖8-28，直角三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為AC=30（分米），AB=18（分米），BC=24（分米），ED垂直于AC，且ED=95（厘米）．問(wèn)正方形BFEG的邊長(zhǎng)是多少厘米？解析：連接BE、AE、CE，ED=95厘米=9.5分米根據(jù)題意列方程解：設(shè)正方形BFEG的邊長(zhǎng)為X分米。18X÷2+24X÷2+30×9.5÷2=18×24÷2解得X=35菜鳥和大蝦在武林大會(huì)上相遇，爭(zhēng)奪武林盟主的地位，三百回合大戰(zhàn)后，兩人不分勝負(fù)．突然，菜鳥向?qū)κ职l(fā)出一枚飛鏢，說(shuō)時(shí)遲，那時(shí)快，飛鏢已經(jīng)接近大蝦的胸口，只見大蝦迅速抽身向左閃開，同時(shí)用手中的寶劍向飛鏢劈去，只聽見“瞠”的一聲，飛鏢被劈成了兩半，如圖8-29，菜鳥的飛鏢是正六角星的形狀，邊長(zhǎng)為5．被大蝦劈開的刀口如虛線所示，那么較小的那部分殘片占到整體面積的幾分之幾？解析：連通三角形ABC，根據(jù)鳥頭定理可知SBEF=SABC=SABC,如圖不難看出SABC=S正六邊形；所以SBEF=S正六邊形=S正六邊形；S較小殘片==S正六邊形。A FB CE8．如圖8-30，將三個(gè)邊長(zhǎng)為l的正方形組合在一起，中間的正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好是另外兩個(gè)正方形的中心．請(qǐng)問(wèn)：圖中陰影部分的面積是多少？解析:連接BD、AD，延長(zhǎng)右邊正方形的對(duì)角線得到延長(zhǎng)部分DE，這樣得到梯形BCDE。根據(jù)蝴蝶定理可得到三角形COE的面積等于三