第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運算6.2.4向量的數(shù)量積課后篇鞏固提升必備知識基礎(chǔ)練1.若p與q是相反向量,且|p|=3,則p·q等于()A.9 B.0 C.3 D.9答案D解析由已知得p·q=3×3×cos180°=9.2.已知|a|=4,|b|=3,(2a3b)·(2a+b)=61,則|a+b|=()A.13 B.26 C.13 D.21答案A解析由(2a3b)·(2a+b)=61,得4|a|24a·b3|b|2=61.將|a|=4,|b|=3代入上式,求得a·b=6.|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13,所以|a+b|=13.3.(2021江蘇南京期末)已知正方形ABCD的邊長為3,DE=2EC,則AE·BD=(A.3 B.3 C.6 D.6答案A解析如圖,因為正方形ABCD的邊長為3,DE=2EC,所以AE·BD=(AD+DE)=AD+23AB·(=AD=3223×32=3故選A.4.(2020全國Ⅲ卷)已知向量a,b滿足|a|=5,|b|=6,a·b=6,則cos<a,a+b>=()A.3135 B.1935 C.1735答案D解析∵a·(a+b)=a2+a·b=256=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+3612=49,∴|a+b|=7,∴cos<a,a+b>=a·5.(多選題)已知a,b,c是三個非零向量,則下列選項正確的有()A.|a·b|=|a||b|?a∥bB.a,b反向?a·b=|a||b|C.a⊥b?|a+b|=|ab|D.|a|=|b|?|a·c|=|b·c|答案ABC解析A.∵a·b=|a||b|cosθ(θ為a與b的夾角),∴由|a·b|=|a||b|及a,b為非零向量可得|cosθ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正確.B.若a,b反向,則a,b的夾角為π,∴a·b=|a|·|b|cosπ=|a||b|且以上各步均可逆.故B正確.C.當a⊥b時,在平面內(nèi)任取一點O,作OA=a,OB=b,則以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形,則該平行四邊形必為矩形,于是它的兩對角線長相等,即有|a+b|=|ab|.反過來,若|a+b|=|ab|,在平面內(nèi)任取一點O,作OA=a,OB=b,則以O(shè)A,OB為鄰邊的四邊形為矩形,所以有a⊥b.故C正確.D.當|a|=|b|但a與c的夾角和b與c的夾角不等時,就有|a·c|≠|(zhì)b·c|,反過來由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D錯誤.6.已知a,b為共線的兩個向量,且|a|=1,|b|=2,則|2ab|=.

答案0或4解析|2ab|=4a又a,b為共線的兩個向量,設(shè)a,b的夾角為θ,則θ=0°或180°,當θ=0°時,a·b=2;當θ=180°時,a·b=2.故|2ab|=0或4.7.如圖所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,則AB·BC的值是答案1解析(方法一)AB·BC=|AB||BC|cos(180°∠=|AB||BC|cos∠B=|AB||=|AB|2=1.(方法二)|BA|=1,即BA為單位向量,AB·BC=BA·BC=|BA||BC|而|BC|cos∠ABC=|BA|,所以AB·BC=|BA|2=8.已知平面上三個向量a,b,c的模均為1,它們相互之間的夾角均為120°.求證:(ab)⊥c.證明(ab)·c=a·cb·c=|a||c|cos120°|b||c|cos120°=1×1×-121×1×-故(ab)⊥c.9.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1.(1)若a,b的夾角θ為π4,求|a+b|(2)若(ab)⊥b,求a與b的夾角θ.解(1)由已知,得a·b=|a||b|cosπ4=2×1×所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+1+2=5,所以|a+b|=5.(2)因為(ab)⊥b,所以(ab)·b=0.所以a·bb2=0,即a·b=b2=1,所以cosθ=a·又θ∈[0,π],所以θ=π4,即a與b的夾角為π關(guān)鍵能力提升練10.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,則|ab|的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.5答案C解析∵|a|=2,|b|=1,∴|ab|=(a又a·b∈[2,2],∴|ab|∈[1,3],∴|ab|的最大值為3.11.(多選題)設(shè)a,b,c是任意的非零向量,且它們相互不共線,給出下列四個選項,其中正確的有()A.a·cb·c=(ab)·cB.(b·c)·a(c·a)·b不與c垂直C.|a||b|<|ab|D.(3a+2b)·(3a2b)=9|a|24|b|2答案ACD解析根據(jù)向量數(shù)量積的分配律知,A正確;因為[(b·c)·a(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a(c·a)·b與c垂直,B錯誤;因為a,b不共線,所以|a|,|b|,|ab|組成三角形三邊,所以|a||b|<|ab|成立,C正確;根據(jù)向量數(shù)量積的分配律以及性質(zhì)知,D正確.12.已知|a|=|b|=2,a,b的夾角為60°,則使向量a+λb與λa+b的夾角為銳角的λ的取值范圍是.

答案(∞,23)∪(2+3,1)∪(1,+∞)解析由a+λb與λa+b的夾角為銳角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,從而λ2+4λ+1>0,解得λ<23或λ>2+3.當λ=1時,a+λb與λa+b同向,故λ的取值范圍是(∞,23)∪(2+3,1)∪(1,+∞).13.如圖,在四邊形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,則四邊形ABCD是什么形狀?解∵a+b+c+d=0,∴a+b=(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.②①②,得|b|2=|d|2,①變形為|a|2|d|2=|c|2|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四邊形ABCD是菱形.∵AB∥CD,∴a=又a·b=b·c,∴b·(ac)=0,即b·(2a)=0.∴a·b=0,∴AB⊥BC.故四邊形ABCD14.如圖,在平面內(nèi)將兩塊直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,記AB=a,AC=b.(1)試用a,b表示向量AD,(2)若|b|=1,求AB·解(1)CB=ab,由題意可知,AC∥BD,BD=3BC=3AC.∴BD=3b,則AD=AB+BDCD=AD-AC=a+((2)∵|b|=1,∴|a|=2,a·b=2cos45°=1,則AB·CD=a·[a+(31)=a2+(31)a·b=2+31=3+1.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練15.如圖所示為正六邊形P1P2P3P4P5P6,則下列向量的數(shù)量積中最大的是(