第一章特殊平行四邊形章末綜合檢測一、選擇題(每小題4分,共40分)1.[2020天津中考]如圖,四邊形OBCD是正方形,O,D兩點的坐標分別是(0,0),(0,6),點C在第一象限,則點C的坐標是(

)A.(6,3) B.(3,6) C.(0,6) D.(6,6)【解析】

因為四邊形OBCD是正方形,所以CD⊥OD,BC⊥OB,OB=BC=OD=6,所以點C的坐標是(6,6).故選D.

【解析】由題意,得AC=AD=BD=BC,∴四邊形ACBD是菱形,∴AB平分∠CAD,CD平分∠ACB,AB⊥CD.由題中條件無法判定四邊形ACBD是正方形,∴AB和CD不一定相等.故選D.3.如圖,正方形ABCD的邊長為4cm,則陰影部分的面積為(

)A.4cm2

B.8cm2C.12cm2

D.16cm2

4.[2020浙江寧波中考]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為中線,延長CB至點E,使BE=BC,連接DE,F為DE的中點,連接BF.若AC=8,BC=6,則BF的長為(

)A.2 B.2.5 C.3 D.4

6.

如圖,AC,BD是菱形ABCD的對角線,E,F是BD上兩點,且BE=DF,連接AE,CE,AF,CF,添加一個條件使四邊形AECF是正方形,這個條件可以是(

)A.∠AEB=∠CFDB.BE=OEC.∠ABE=∠CDF

D.AC=2OE【解析】在菱形ABCD中,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∴四邊形AECF是菱形.若AC=2OE,結合OE=OF,可得AC=EF,∴菱形AECF是正方形.其他條件均無法判定四邊形AECF是正方形.故選D.

8.[2020山東濰坊期末]如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點O,順次連接平行四邊形ABCD各邊中點得到一個新的四邊形,給出下列四個條件:①AC⊥BD;②△ABO的周長等于△CBO的周長;③∠DAO=∠CBO;④∠DAO=∠BAO.如果從中選擇一個條件可以使這個新的四邊形成為矩形,那么這樣的條件個數是(

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】順次連接平行四邊形ABCD各邊中點,利用三角形中位線性質可得,新的四邊形是平行四邊形.①若AC⊥BD,則利用“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”可判定新的四邊形是矩形;②∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=OC,BO=DO,∵△ABO的周長等于△CBO的周長,∴AB=BC,根據等腰三角形的性質可知BO⊥AC,∴BD⊥AC,同①可判定新的四邊形是矩形;③∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠CBO=∠ADO,∵∠DAO=∠CBO,∴∠ADO=∠DAO,∴AO=OD,∴AC=BD,可利用“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”判定新的四邊形是菱形,不符合題意;④在平行四邊形ABCD中,∠DAO=∠BAO,易得平行四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,同①可判定新的四邊形是矩形.∴①②④符合題意.故選C.

10.[2020浙江紹興中考]如圖,點O為矩形ABCD的對稱中心,點E從點A出發(fā)沿AB向點B移動,移動到點B停止,延長EO交CD于點F,則四邊形AECF形狀的變化依次為(

)A.平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形B.平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形C.平行四邊形→正方形→菱形→矩形D.平行四邊形→菱形→正方形→矩形【解析】連接AC,由對角線互相平分的四邊形為平行四邊形可知,點E在移動過程中,四邊形AECF始終為平行四邊形.特殊地,當EF⊥AC時,四邊形AECF為菱形,當點E與點B重合時,四邊形AECF是矩形.故四邊形AECF的形狀依次為平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形.故選B.二、填空題(每小題4分,共24分)11.[2020江蘇連云港中考]如圖,將5個大小相同的正方形置于平面直角坐標系中,若頂點M,N的坐標分別為(3,9),(12,9),則頂點A的坐標為

.

【解析】

如圖,∵頂點M,N的坐標分別為(3,9),(12,9),∴MN∥x軸,MN=9,BN∥y軸,∴正方形的邊長為3,∴BN=6,∴B(12,3).∵AB∥MN,∴AB∥x軸,∴A(15,3).12.如圖,在菱形ABCD中,∠BCD=50°,BC的垂直平分線交對角線AC于點F,垂足為E,連接BF,DF,則∠DFC的度數是

.

13.[2020黑龍江哈爾濱期中]已知四邊形ACDE為平行四邊形,延長EA至點B,使EA=BA,連接BD交AC于點F,連接AD,BC.若BD=DE,則當∠E=

°時,四邊形ABCD為正方形.

【解析】

∵四邊形ACDE為平行四邊形,∴AE∥CD,AE=CD.∵EA=BA,∴AB∥CD,AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵四邊形ACDE為平行四邊形,∴AC=DE.∵BD=DE,∴AC=BD,∴?ABCD是矩形.當∠E=45°時,∵BD=DE,∴∠E=∠EBD=45°,∴∠BDE=90°.∵AC∥DE,∴∠AFB=∠BDE=90°,即AC⊥BD,∴四邊形ABCD為正方形.4514.如圖,∠MON=90°,矩形ABCD的頂點C,D分別在射線ON,OM上滑動,AB=9,BC=6,在滑動過程中,點A到點O的最大距離為

.

15.[2019北京中考]在矩形ABCD中,M,N,P,Q分別為邊AB,BC,CD,DA上的點(不與端點重合).對于任意矩形ABCD,給出下面四個結論:①存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形;②存在無數個四邊形MNPQ是矩形;③存在無數個四邊形MNPQ是菱形;④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形.所有正確結論的序號是

.

【解析】在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,連接PM,QN,若PM與QN均經過點O,則四邊形MNPQ為平行四邊形.此時若PM=QN,則四邊形MNPQ為矩形;若PM⊥QN,則四邊形MNPQ為菱形.有的矩形不存在以點M,N,P,Q為頂點的正方形.故正確的結論是①②③.

三、解答題(共56分)17.(6分)[2019云南中考]如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.(1)求證:四邊形ABCD是矩形.(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度數.【解析】

(1)∵AO=OC,BO=OD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠AOB=∠OAD+∠ODA=2∠OAD,∴∠OAD=∠ODA,∴AO=DO,∴AC=BD,∴四邊形ABCD是矩形.(2)由(1)知四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠ABO=∠ODC.∵∠AOB∶∠ODC=4∶3,∴∠AOB∶∠ABO=4∶3,∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO=3∶4∶3.∵∠BAO+∠AOB+∠ABO=180°,∴∠ABO=54°.∵∠BAD=90°,∴∠ADO=90°-54°=36°.

【分析】(1)先根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,得到四邊形ABCD是平行四邊形,再根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,即可證明結論.(2)先根據菱形的性質及勾股定理得到AO的長,再在Rt△AEC中根據斜邊上的中線等于斜邊的一半計算即可.【解析】

(1)∵AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC.∵AB=AD,∴AB=DC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AB=AD,∴四邊形ABCD是菱形.

19.(8分)如圖,邊長為8的正方形ABCD的對角線AC,BD交于點O,M是AB邊上一動點,ME⊥AO,MF⊥BO.(1)求證:四邊形OEMF為矩形.(2)連接EF,求EF的最小值.

20.(10分)[2020河南鄭州楓楊外國語學校期中]已知:如圖,在?ABCD中,G,H分別是AD,BC的中點,E,O,F均是對角線BD上的四等分點,順次連接G,E,H,F.(1)求證:四邊形GEHF是平行四邊形.(2)當?ABCD滿足

條件時,四邊形GEHF是菱形.

(3)若BD=2AB,探究四邊形GEHF的形狀,并說明理由.

21.(12分)[2020山西中考]綜合與實踐問題情境:如圖1,點E為正方形ABCD內一點,∠AEB=90°,將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°,得到△CBE'.延長AE交CE'于點F,連接DE.

圖1

圖2

猜想證明:(1)試判斷四邊形BE'FE的形狀,并說明理由;(2)如圖2,若DA=DE,請猜想線段CF與FE'的數量關系并加以證明.

22.(12分)[2019甘肅天水中考]如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.(1)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.(2)性質探究:如圖1,四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點O,AC⊥BD.試證明:AB2+CD2=AD2+BC2.(3)問題解決