小學(xué)奧數(shù)-立體幾何講義

教學(xué)目標(biāo)：

對(duì)于小學(xué)幾何而言，立體圖形的表面積和體積計(jì)算，既可以很好地考查

學(xué)生的空間想象能力，又可以具體考查學(xué)生在公式應(yīng)用中處理相關(guān)數(shù)據(jù)

的能力，所以，很多重要考試都很重視對(duì)立體圖形的考查.

知識(shí)點(diǎn)撥：

長(zhǎng)方體和正方體

如右圖，長(zhǎng)方體共有六個(gè)面（每個(gè)面都是長(zhǎng)方形），八個(gè)頂點(diǎn)，十二條

棱.

①在六個(gè)面中，兩個(gè)對(duì)面是全等的，即三組對(duì)面兩兩全等.

（疊放在一起能夠完全重合的兩個(gè)圖形稱(chēng)為全等圖形.）

②長(zhǎng)方體的表面積和體積的計(jì)算公式是：

長(zhǎng)方體的表面積：S氏方體=2（ab+be+cd）；

長(zhǎng)方體的體積：V^=abc.

③正方體是各棱相等的長(zhǎng)方體，它是長(zhǎng)方體的特例，它的六個(gè)面都是正

方形.

如果它的棱長(zhǎng)為“，那么：S正方體=6/，/方體=/.

二、圓柱與圓錐

立體圖形表面積體積

圓柱國(guó)S圓柱=側(cè)面積+2個(gè)底面積=Inrh+2兀/Hatt="2〃

S網(wǎng)椎=側(cè)面積+底面積=360兀r+兀廣%錐體=§兀/〃

圓錐A/二.

注：/是母線(xiàn)，即從頂點(diǎn)到底面

圓上的線(xiàn)段長(zhǎng)

例題精講:

如右圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為10的立方體上截取一個(gè)d

長(zhǎng)為8,寬為3,高為2的小長(zhǎng)方體，那么新的q-K

幾何體的表面積是多少？

我們從三個(gè)方向（前后、左右、上下）考慮，新幾上二-------

何體的表面積仍為原立方體的表面積：10x10x6=600.

右圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方體，分別在前/.........-

后、左右、上下各面的中心位置挖去一個(gè)邊長(zhǎng)（芟/

1厘米的正方體，做成一種玩具.它的表面積是L

多少平方厘米？（圖中只畫(huà)出了前面、右面、上?皿

面挖去的正方體）J-----------

原正方體的表面積是4x4x6=96（平方厘米）.每一個(gè)面被挖去一個(gè)邊長(zhǎng)

是1厘米的正方形，同時(shí)又增加了5個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方體作為玩具

的表面積的組成部分.總的來(lái)看，每一個(gè)面都增加了4個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米

的正方形.

從而，它的表面積是：96+4x6=120平方厘米.

【鞏固】在一個(gè)棱長(zhǎng)為50厘米的正方體木塊，在它的八個(gè)角上各挖去

一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的小正方體，問(wèn)剩下的立體圖形的表面積是多少？

對(duì)于和長(zhǎng)方體相關(guān)的立體圖形表面積，一般從上下、左右、前后3個(gè)方

向考慮.變化前后的表面積不變：50x50x6=15000（平方厘米）.

下圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的正方體，在正方體上

表面的正中，向下挖一個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體

小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個(gè)棱長(zhǎng)為

g厘米的正方形小洞，第三個(gè)正方形小洞的挖法

和前兩個(gè)相同為！厘米，那么最后得到的立體圖

4

形的表面積是多少平方厘米？

我們?nèi)匀粡?個(gè)方向考慮.平行于上下表面的各面面積之和：2x2x2=

8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2x2x4=16（平方厘米），lxlx4=4（平

方厘米），"*4=1（平方厘米），；Jx4=：（平方厘米），這個(gè)立體圖形

22444

的表面積為:8+16+4+1+1=291（平方厘米）.

44

一個(gè)正方體木塊，棱長(zhǎng)是1米，沿著水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸

成3長(zhǎng)條，每條又鋸成4小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體24塊，那么

這24塊長(zhǎng)方體的表面積之和是多少？

鋸一次增加兩個(gè)面，鋸的總次數(shù)轉(zhuǎn)化為增加的面數(shù)的公式為：鋸的總次

數(shù)x2=增加的面數(shù).

原正方體表面積：lx1x6=6（平方米），一共鋸了（2-1）+（3一1）+（4一1）=6

次，

6+lxlx2x6=18（平方米）.

【鞏固】(年走美六年級(jí)初賽)一個(gè)表面積為56cm。的長(zhǎng)方體如圖切成27個(gè)

小長(zhǎng)方體，這27個(gè)小長(zhǎng)方體表面積的和是cm2.

/z

每一刀增加兩個(gè)切面，增加的表面積等于與切面平行的兩個(gè)表面積，所

以每個(gè)方向切兩刀后，表面積增加到原來(lái)的3倍，即表面積的和為

56x3=168(cm2).

如圖，25塊邊長(zhǎng)為1的正方體積木拼成一個(gè)幾何體，表面積最小是多

少？

當(dāng)小積木互相重合的面最多時(shí)表面積最小.

設(shè)想27塊邊長(zhǎng)為1的正方形積木，當(dāng)拼成一個(gè)3x3x3的正方體時(shí)，表面

積最小，現(xiàn)在要去掉2塊小積木，只有在兩個(gè)角上各去掉一塊小積木，

或在同一個(gè)角去掉兩塊相鄰的積木時(shí)，表面積不會(huì)增加，該幾何體表面

積為54.

要把12件同樣的長(zhǎng)a、寬6、高力的長(zhǎng)方體物品拼裝成一件大的長(zhǎng)方體，

使打包后表面積最小，該如何打包？

(1)當(dāng)6=2力時(shí)，如何打包？

⑵當(dāng)C<2力時(shí),如何打包?

⑶當(dāng)C>2力時(shí),如何打包?

圖2和圖3正面的面積相同，側(cè)面面積=正面周長(zhǎng)x長(zhǎng)方體長(zhǎng)，所以正面

的周長(zhǎng)愈大表面積越大，圖2的正面周長(zhǎng)是8力+66,圖3的周長(zhǎng)是12加

4b.兩者的周長(zhǎng)之差為2(6一2力.

當(dāng)6=2方時(shí)，圖2和圖3周長(zhǎng)相等，可隨意打包；當(dāng)6<2分時(shí)，按圖2打

包；當(dāng)8>2力時(shí)，按圖3打包.

圖1圖2

【鞏固】要把6件同樣的長(zhǎng)17、寬7、高3的長(zhǎng)方體物品拼裝成一件大

的長(zhǎng)方體，表面積最小是多少？

考慮所有的包裝方法，因?yàn)?=lx2x3,所以一共有兩種拼接方式：

第一種按長(zhǎng)寬高1x1x6拼接，重疊面有三種選擇，共3種包裝方法.

第二種按長(zhǎng)寬高1x2x3拼接，有3個(gè)長(zhǎng)方體并列方向的重疊面有三種選

擇，有2個(gè)長(zhǎng)方體并列方向的重疊面剩下2種選擇，一共有6種包裝方

法.

其中表面積最小的包裝方法如圖所示，表面積為1034.

如圖,在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體,

求這個(gè)立體圖形的表面積.

我們把上面的小正方體想象成是可以向下“壓縮”的，“壓縮”后我們發(fā)

現(xiàn)：小正方體的上面與大正方體上面中的陰影部分合在一起，正好是大

正方體的上面.這樣這個(gè)立體圖形的表面積就可以分成這樣兩部分：上下

方向：大正方體的兩個(gè)底面；四周方向（左右、前后方向）：小正方體的

四個(gè)側(cè)面，大正方體的四個(gè)側(cè)面.上下方向：5x5x2=50（平方分米）；側(cè)面：

5x5x4=100（平方分米），4x4x4=64（平方分米）.這個(gè)立體圖形的表面積為:

50+100+64=214（平方分米）.

（年“希望杯”五年級(jí)第2試）如圖，棱長(zhǎng)分別為I厘米、2厘米、3厘米、

5厘米的四個(gè)正方體緊貼在一起，則所得到的多面體的表面積是

平方厘米.

（法1）四個(gè)正方體的表面積之和為：（『+22+32+52）x6=39x6=234（平方厘米），

重疊部分的面積為：12x3+（22x2+12）+（32+2?+/）+（32+2?+/）=3+9+14+14=40（平方厘

米），

所以，所得到的多面體的表面積為：234—40=194（平方厘米）.

（法2）三視圖法.從前后面觀察到的面積為5、32+2、38平方厘米，從左右

兩個(gè)面觀察到的面積為52+32=34平方厘米，從上下能觀察到的面積為52=25

平方厘米.

表面積為（38+34+25）x2=194（平方厘米）.

把19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個(gè)

立體圖形.，求這個(gè)立體圖形的表面積.

從上下、左右、前后觀察到的的平面圖形如下面三圖表示.因此，這個(gè)

立體圖形的表面積為：2個(gè)上面+2個(gè)左面+2個(gè)前面.上表面的面積為：9

平方厘米，左表面的面積為：8平方厘米，前表面的面積為：10平方厘

米.因此,這個(gè)立體圖形的總表面積為：(9+8+10)x2=54(平方厘米).

上下面

【鞏固】用棱長(zhǎng)是1厘米的立方塊拼成如右圖所示的立體圖形，問(wèn)該圖

形的表面積是多少平方厘米？

該圖形的上、左、前三個(gè)方向的表面分別由9、7、7塊正方形組成.

該圖形的表面積等于(9+7+7)x2=46個(gè)小正方形的面積，所以該圖形表面積

為46平方厘米.

有30個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露

出的表面涂成紅色.求被涂成紅色的表面積.

4x4+(l+2+3+4)x4=56(平方米).

棱長(zhǎng)是機(jī)厘米(加為整數(shù))的正方體的若干面涂上紅色，然后將其切割成

棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體.至少有一面紅色的小正方體個(gè)數(shù)和表面沒(méi)有

紅色的小正方體個(gè)數(shù)的比為13:12,此時(shí),〃的最小值是多少？

切割成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體共有4個(gè)，由于其中至少有一面是紅色

的小正方體與沒(méi)有紅色面的個(gè)數(shù)之比為13:12,而13+12=25,所以小正方體

的總數(shù)是25的倍數(shù)，即病是25的倍數(shù)，那么加是5的倍數(shù).

當(dāng)機(jī)=5時(shí)，要使得至少有一面的小正方體有65個(gè)，可以將原正方體的正

面、上面和下面涂色，此時(shí)至少一面涂紅色的小正方體有5x5+5x4x2=65個(gè),

表面沒(méi)有紅色的小正方體有

125-65=60個(gè)，個(gè)數(shù)比恰好是13:12,符合題意.因此，m的最小值是5.

有64個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的同樣大小的小正方體，其中34個(gè)為白色的，30

個(gè)為黑色的.現(xiàn)將它們拼成一個(gè)4x4x4的大正方體，在大正方體的表面上

白色部分最多可以是多少平方厘米？

要使大正方體的表面上白色部分最多，相當(dāng)于要使大正方體表面上黑色

部分最少，那么就要使得黑色小正方體盡量不露出來(lái).

在整個(gè)大正方體中，沒(méi)有露在表面的小正方體有（4-2）3=8（個(gè)），用黑色的;

在面上但不在邊上的小正方體有（4-2）2x6=24（個(gè)），其中30—8=22個(gè)用黑色.

這樣，在表面的4x4x6=96個(gè)1x1的正方形中，有22個(gè)是黑色，96-22=74（個(gè)）

是白色，所以在大正方體的表面上白色部分最多可以是74平方厘米.

三個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體，棱長(zhǎng)總和是288厘米，每個(gè)長(zhǎng)方體相交于一個(gè)

頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，給這三個(gè)長(zhǎng)方體涂色，一個(gè)涂

一面，一個(gè)涂?jī)擅妫粋€(gè)涂三面.涂色后把三個(gè)長(zhǎng)方體都切成棱長(zhǎng)為1

厘米的小正方體，只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有多少個(gè)？

每個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和是288+3=96厘米，所以，每個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的和

是96+4=24厘米.因?yàn)?，每個(gè)長(zhǎng)方體相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)恰是三個(gè)

連續(xù)的自然數(shù)，所以，每個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是9厘米、8厘米、

7厘米.

要求切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有多少個(gè)，則需每一個(gè)長(zhǎng)方

體按題意涂色時(shí)，應(yīng)讓切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最少.所以，

涂一面的長(zhǎng)方體應(yīng)涂一個(gè)8x7面，有8x7=56個(gè)；

涂?jī)擅娴拈L(zhǎng)方體，若兩面不相鄰，應(yīng)涂?jī)蓚€(gè)8x7面，有8x7x2=112個(gè)；若兩

面相鄰，應(yīng)涂一個(gè)8x7面和一個(gè)9x7面，此時(shí)有7x（8+9-2）=105個(gè)，所以涂?jī)?/p>

面的最少有105個(gè)；

涂三面的長(zhǎng)方體，若三面不兩兩相鄰，應(yīng)涂?jī)蓚€(gè)8x7面、一個(gè)9x7面，有

7x(8+8+9-4)=147個(gè)；若三面兩兩相鄰，有(7-1)x(8-1)+(7-1)x(9-1)+(8-1)x(9-1)=146

個(gè)，所以涂三面的最少有146個(gè).

那么切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有56+105+146=307個(gè).

把一個(gè)大長(zhǎng)方體木塊表面上涂滿(mǎn)紅色后，分割成若干個(gè)同樣大小的小正

方體，其中恰好有兩個(gè)面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，那么至少

要把這個(gè)大長(zhǎng)方體分割成多少個(gè)小正方體？

設(shè)小正方體的棱長(zhǎng)為1,考慮兩種不同的情況，一種是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、

高中有一個(gè)是1的情況，另一種是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都大于1的情況.

當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高中有一個(gè)是1時(shí)，分割后只有一層小正方體，其

中有兩個(gè)面涂上紅色的小正方體是去掉最外層一圈的小正方體后剩下的

那些.因?yàn)橛袃蓚€(gè)面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，設(shè)ioo=axA,那

么分成的小正方體個(gè)數(shù)為

(a+2)x(b+2)xl=〃+2(a+"+4=2(a+A)+104,為了使小正方體的個(gè)數(shù)盡量少,應(yīng)使

(〃+6)最小，而兩數(shù)之積一定，差越小積越小，所以當(dāng)a“=10時(shí)它們的和

最小，此時(shí)共有

(10+2)x(10+2)=144個(gè)小正方體.

當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都大于1時(shí)，有兩個(gè)面涂上紅色的小正方體是去

掉8個(gè)頂點(diǎn)所在的小正方體后12條棱上剩余的小正方體，因?yàn)橛袃蓚€(gè)

面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，所以長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高之和是

100+4+2x3=31.由于三個(gè)數(shù)的和一定，差越大積越小，為了使小正方體的

個(gè)數(shù)盡量少，應(yīng)該令31=2+2+27,此時(shí)共有2x2x27=108個(gè)小正方體.

因?yàn)?08044,所以至少要把這個(gè)大長(zhǎng)方體分割成108個(gè)小正方體.

把正方體的六個(gè)表面都劃分成9個(gè)相等的正方形.用紅、黃、藍(lán)三種顏

色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用

紅色染的正方形最多有多少個(gè)？

一個(gè)面最多有5個(gè)方格可染成紅色（見(jiàn)左下圖）.因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格

的面不能相鄰，可以相對(duì)，所以至多有兩個(gè)面可以染成5個(gè)紅色方格.

其余四個(gè)面中，每個(gè)面的四個(gè)角上的方格不能再染成紅色，至多能染4

個(gè)紅色方格（見(jiàn)上中圖）.因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格的面也不能相鄰，可以

相對(duì)，所以至多有兩個(gè)面可以染成4個(gè)紅色方格.最后剩下兩個(gè)相對(duì)的

面，每個(gè)面最多可以染2個(gè)紅色方格（見(jiàn)右上圖）.所以，紅色方格最多

有5x2+4x2+2x2=22（個(gè)）.

（另解）事實(shí)上上述的解法并不嚴(yán)密，”如果最初的假設(shè)并沒(méi)有兩個(gè)相

對(duì)的有5個(gè)紅色方格的面，是否其他的四個(gè)面上可以出現(xiàn)更多的紅色方

格呢？”這種解法回避了這個(gè)問(wèn)題，如果我們從約束染色方格數(shù)的本質(zhì)

原因入手，可嚴(yán)格說(shuō)明22是紅色方格數(shù)的最大值.

對(duì)于同一個(gè)平面上的格網(wǎng)，如果按照國(guó)際象棋棋盤(pán)的方式染色，那么至

少有一半的格子可以染成紅色.但是現(xiàn)在需要染色的是一個(gè)正方體的表

面，因此在分析問(wèn)題時(shí)應(yīng)該兼顧棱、角等面與面相交的地方：

⑴如圖，每個(gè)角上三個(gè)方向的3個(gè)方格必須染成不同的三種顏色，所以

8個(gè)角上最多只能有8個(gè)方格染成紅色.

⑵如圖，陰影部分是首尾相接由9個(gè)方格組成的環(huán)，這9個(gè)方格中只能有

4個(gè)方格能染成同一種顏色（如果有5個(gè)方格染同一種顏色，必然出現(xiàn)相

鄰，可以用抽屜原理反證之：先去掉一個(gè)白格，剩下的然后兩兩相鄰的

分成四個(gè)抽屜，必然有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)紅色方格），像這樣的環(huán)，在正

方體表面最多能找到不重疊的兩道（關(guān)于正方體中心對(duì)稱(chēng)的兩道），涉及

的18個(gè)方格中最多能有8個(gè)可染成紅色.

⑶剩下6x3x3-8x3-9x2=12個(gè)方格，分布在6條棱上，這12個(gè)格子中只能有6

個(gè)能染成紅色.

綜上所述，能被染成紅色的方格最多能有8+8+6=22個(gè)格子能染成紅色，第

一種解法中已經(jīng)給出22個(gè)紅方格的染色方法，所以22個(gè)格子染成紅色是

最多的情況.

一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長(zhǎng)方形.現(xiàn)從它的上面

盡可能大的切下一個(gè)正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個(gè)

正方體，最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大的切下一個(gè)正方體，剩下

的體積是多少立方厘米？

本題的關(guān)鍵是確定三次切下的正方體的棱長(zhǎng).由于21:15:12=7:5:4,為了方

便起見(jiàn).我們先考慮長(zhǎng)、寬、高分別為7厘米、5厘米、4厘米的長(zhǎng)方體.

因?yàn)?>5>4,容易知道第一次切下的正方體棱長(zhǎng)應(yīng)該是4厘米，第二次切

時(shí)，切下棱長(zhǎng)為3厘米的正方體符合要求.第三次切時(shí)，切下棱長(zhǎng)為2厘米

的正方體符合要求.

那么對(duì)于原長(zhǎng)方體來(lái)說(shuō)，三次切下的正方體的棱長(zhǎng)分別是12厘米、9厘

米和6厘米，所以剩下的體積應(yīng)是：21x15x12-"+9,+6'）=1107（立方厘米）.

有黑白兩種顏色的正方體積木，把它擺成右圖所示的形狀，已知相鄰（有

公共面）的積木顏色不同，標(biāo)A的為黑色，圖中共有黑色積木多少塊？

A

分層來(lái)看，如下圖（切面平行于紙面）共有黑色積木17塊.

【鞏固】這個(gè)圖形，是否能夠由1x1x2的長(zhǎng)方體搭構(gòu)而成？

每一個(gè)1x1x2的長(zhǎng)方體無(wú)論怎么放，都包含了一個(gè)黑色正方體和一個(gè)白色

正方體，而黑色積木有17塊，白色積木有15塊，所以該圖形不能夠由

1x1x2的長(zhǎng)方體搭構(gòu)而成.

【鞏固】有許多相同的立方體，每個(gè)立方體的六個(gè)面上都寫(xiě)著同一個(gè)

數(shù)字（不同的立方體可以寫(xiě)相同的數(shù)字）先將寫(xiě)著2的立方體與寫(xiě)著1

的立方體的三個(gè)面相鄰，再將寫(xiě)著3的立方體寫(xiě)著2的立方體相鄰（見(jiàn)

左下圖）.依這樣構(gòu)成右下圖所示的立方體，它的六個(gè)面上的所有數(shù)字

之和是多少？

1

32

第一層如下圖，第二層、第三層依次比上面一層每格都多1（見(jiàn)下圖）.

654

543

432

第一層第二層第三層

上面的9個(gè)數(shù)之和是27,由對(duì)稱(chēng)性知，上面、前面、右面的所有數(shù)之和

都是27.同理，下面的9個(gè)數(shù)之和是45,下面、左面、后面的所有數(shù)之

和都是45.所以六個(gè)面上所有數(shù)之和是(27+45)x3=216.

(05年武漢明心杯數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)賽)如圖所示，一個(gè)5x5x5的立方體，在一個(gè)方

向上開(kāi)有1x1x5的孔，在另一個(gè)方向上開(kāi)有2x1x5的孔，在第三個(gè)方向上開(kāi)

有3x1x5的孔，剩余部分的體積是多少？表面積為多少？

求體積：

開(kāi)了3x1x5的孔，挖去3x1x5=15,開(kāi)了1x1x5的孔,

挖去1x1x5-1=4；開(kāi)了2x1x5的孔，

挖去2xlx5-(2+2)=6,

剩余部分的體積是：5x5x5-(15+4+6)=100.

(另解)將整個(gè)圖形切片，如果切面平行于紙面，那么五個(gè)切片分別如圖:

得到總體積為:22x4+12=100?

求表面積：

表面積可以看成外部和內(nèi)部?jī)刹糠?外部的表面積為5x5x6-12=138,內(nèi)部

的面積可以分為前

后、左右、上下三個(gè)方向，面積分別為2x(2x5+lx5—lx2-lx3)=20、

2x(lx5+3x5-lx3-l)=32>2x(lx5+lx5-lxl-2)=14,所以總的表面積為

138+20+32+14=204.

(另解)運(yùn)用類(lèi)似于三視圖的方法，記錄每一方向上的不同位置上的裸露

正方形個(gè)數(shù)：

前后方向：32

上下方向：30左右方向：40

總表面積為2x（32+30+40）=204.

【總結(jié)】“切片法”：全面打洞（例如本題，五層一樣），挖塊成線(xiàn)（例如本

題，在前一層的基礎(chǔ)上，一條線(xiàn)一條

線(xiàn)地挖），這里體現(xiàn)的思想方法是：化整為零，有序思考！

【鞏固】（年香港保良局第12屆小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請(qǐng)賽）如圖，原來(lái)的大

正方體是由125個(gè)小正方體所構(gòu)成的.其中有些小正方體已經(jīng)被挖除，圖中

涂黑色的部分就是貫穿整個(gè)大正方體的挖除部分.請(qǐng)問(wèn)剩下的部分共有多

少個(gè)小正方體？

///////

對(duì)于這一類(lèi)從立體圖形中間挖掉一部分后再求體積（或小正方體數(shù)目）

的題目一般可以采用“切片法”來(lái)做，所謂“切片法”，就是把整個(gè)立體

圖形切成一片一片的（或一層一層的），然后分別計(jì)算每一片或每一層的

體積或小正方體數(shù)目，最后再把它們相加.

采用切片法，俯視第一層到第五層的圖形依次如下，其中黑色部分表示

挖除掉的部分.

從圖中可以看出，第1、2、3、4、5層剩下的小正方體分別有22個(gè)、11

個(gè)、11個(gè)、6個(gè)、22個(gè)，所以總共還剩下22+11+11+6+22=72（個(gè)）小正方

體.

【鞏固】一個(gè)由125個(gè)同樣的小正方體組成的大正方體，從這個(gè)大正方

體中抽出若干個(gè)小正方體，把大正方體中相對(duì)的兩面打通，右圖就是抽

空的狀態(tài).右圖中剩下的小正方體有多少個(gè)？

解法一：（用“容斥原理”來(lái)解）由正面圖形抽出的小正方體有5x5=25個(gè)，

由側(cè)面圖形抽出的小正方體有5x5=25個(gè)，由底面圖形抽出的小正方體有

4x5=20個(gè)，正面圖形和側(cè)面圖形重合抽出的小正方體有Ix2+2xl+2x2=8個(gè)，

正面圖形和底面圖形重合抽出的小正方體有Ix3+2x2=7個(gè)，底面圖形和側(cè)

面圖形重合抽出的小正方體有Ix2+lxl+2x2=7個(gè)，三個(gè)面的圖形共同重合

抽出的小正方體有4個(gè).根據(jù)容斥原理，25+25+20一8-7一7+4=52,所以共抽

出了52個(gè)小正方體.125-52=73,所以右圖中剩下的小正方體有73個(gè).

注意這里的三者共同抽出的小正方體是4個(gè)，必須知道是哪4塊，這是

最讓人頭疼的事.

但你可以先構(gòu)造空的兩個(gè)方向上共同部分的模型，再由第三個(gè)方向來(lái)穿

過(guò)“花墻

這里，化虛為實(shí)的思想方法很重要.

解法二：（用“切片法”來(lái)解）

可以從上到下切五層，得：

⑴從上到下五層,如圖:

請(qǐng)注意這里的挖空的技巧是：先認(rèn)一種方向.

比如：從上到下的每一層，首先都應(yīng)該有第一層的空四塊的情況,

即——

如果挖第二層：第⑴步，把中間這些位置的四塊挖走如圖:

第⑵步，把從右向左的兩塊成線(xiàn)地挖走.（請(qǐng)注意挖通的效果就是

成線(xiàn)挖去），如圖：

第⑶步，把從前向后的一塊（請(qǐng)注意跟第二層有關(guān)的只是一塊!）挖成線(xiàn)!

如圖：

（迎春杯高年級(jí)組復(fù)賽）右圖中的⑴⑵⑶⑷是同樣的小等邊三角形，⑸

⑹也是等邊三角形且邊長(zhǎng)為⑴的2倍，⑺⑻⑼⑩是同樣的等腰直角三角

形，?是正方形.那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑩?為平面展開(kāi)圖的立體圖形的

體積是以⑴⑵⑶⑷為平面展開(kāi)圖的立體圖形體積的倍.

本題中的兩個(gè)圖都是立體圖形的平面展開(kāi)圖，將它們還原成立體圖形,

可得到如下兩圖：

其中左圖是以⑴⑵⑶⑷為平面展開(kāi)圖的立體圖形，是一個(gè)四個(gè)面都是正

三角形的正四面體，右圖以⑸(6)⑺⑻(9)(10)(11)為平面展開(kāi)圖的立體圖形，

是一個(gè)不規(guī)則圖形，底面是(1D,四個(gè)側(cè)面是⑺⑻⑼(10),兩個(gè)斜面是⑸(6).

對(duì)于這兩個(gè)立體圖形的體積，可以采用套模法來(lái)求，也就是對(duì)于這種我

們不熟悉的立體圖形，用一些我們熟悉的基本立體圖形來(lái)套，看看它們

與基本立體圖形相比，缺少了哪些部分.

由于左圖四個(gè)面都是正三角形，右圖底面是正方形，側(cè)面是等腰直角三

角形，想到都用正方體來(lái)套.

對(duì)于左圖來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于由一個(gè)正方體切去4個(gè)角后得到(如下左圖，切去

ABDA,.CBDC,、RAGD、瓦AQ)；而對(duì)于右圖來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于由一個(gè)正方體切

去2個(gè)角后得到(如下右圖，切去BACB,、DACD).

假設(shè)左圖中的立方體的棱長(zhǎng)為0,右圖中的立方體的棱長(zhǎng)為則以⑴⑵

⑶⑷為平面展開(kāi)圖的立體圖形的體積為：=

233

以(5)(6)⑺⑻(9)(10)(11)為平面展開(kāi)圖的立體圖形的體積為"二后x1k2=2".

233

由于右圖中的立方體的棱長(zhǎng)即是題中正方形(ID的邊長(zhǎng)，而左圖中的立方

體的每一個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)恰好是正三角形⑴的邊長(zhǎng)，通過(guò)將等腰直角三角

形⑺分成4個(gè)相同的小等腰直角三角形可以得到右圖中的立方體的棱長(zhǎng)

是左圖中的立方體的棱長(zhǎng)的2倍，即6=2”.

那么以⑴⑵⑶⑷為平面展開(kāi)圖的立體圖形的體積與以⑸⑹⑺⑻(9)(10)(11)為

平面展開(kāi)圖的立體圖形的體積的比為：。'當(dāng)32/：＜(24=1：16,也就是說(shuō)

3333v7

以⑸⑹⑺⑻(9X10)(11)為平面展開(kāi)圖的立體圖形的體積是以⑴⑵⑶⑷為平面

展開(kāi)圖的立體圖形體積的16倍.

圖⑴和圖⑵是以正方形和等邊三角形為面的立體圖形的展開(kāi)圖，圖中所

有的邊長(zhǎng)都相同.請(qǐng)問(wèn)：圖⑴能?chē)饋?lái)的立體圖形的體積是圖⑵能?chē)?/p>

來(lái)的立體圖形的體積的幾倍？

圖⑵

首先，我們把展開(kāi)圖折成立體圖形，見(jiàn)下列示意圖:

對(duì)于這類(lèi)題目，一般采用“套模法”，即用一個(gè)我們熟悉的基本立體圖形

來(lái)套，這樣做基于兩點(diǎn)考慮，一是如果有類(lèi)似的模型，可以直接應(yīng)用其

計(jì)算公式；二是如果可以補(bǔ)上一塊或者放到某個(gè)模型里面，那么可以從

這個(gè)模型入手.

我們把圖⑴中的立體圖形切成兩半，再轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，正好放進(jìn)去！我們看到

圖⑴與圖⑶的圖形位置的微妙關(guān)系：

1

和圖3一致!

圖⑶圖

（4）

由圖⑷可見(jiàn)，圖⑴這個(gè)立體的體積與圖⑶這個(gè)被切去了8個(gè)角后的立體

圖形的體積相等.

假設(shè)立方體的1條邊的長(zhǎng)度是1,那么一個(gè)角的體積是9999上!，

2222348

所以切掉8個(gè)角后的體積是

486

再看圖⑵中的正四面體，這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)與圖⑶中的每一條實(shí)線(xiàn)線(xiàn)

段相等，所以應(yīng)該用邊長(zhǎng)為：的立方體來(lái)套.如果把圖⑵的立體圖形放

入邊長(zhǎng)為』的立方體里的話(huà)是可以放進(jìn)去的.

2

這是切去了四個(gè)角后的圖形，從上面的分析可知一個(gè)角的體積為，，所

48

以圖⑵的體積是：lxlxl-±x4.-L,那么前者的體積是后者的倍.

2224824624

如圖，用高都是I米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的3個(gè)圓柱組成

一個(gè)物體.問(wèn)這個(gè)物體的表面積是多少平方米？（兀取3.14）

從上面看到圖形是右上圖，所以上下底面積和為2X3.14X1.52=14.13（立方米），

側(cè)面積為2x3.14x（0.5+1+1.5）x1=18,84（立方米），所以該物體的表面積是

14.13+18.84=32.97（立方米）.

有一個(gè)圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個(gè)

圓柱形的圓孔，圓孔的直徑是4厘米，孔深5厘米（見(jiàn)右圖）.如果將這個(gè)

零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂多少平方厘米？

涂漆的面積等于大圓柱表面積與小圓柱側(cè)面積之和，為

6nx10+itx（-）2x2+4?tx5=6O7t+18TT+20n=987t=：307.72（平方厘米）.

（第四屆希望杯2試試題）圓柱體的側(cè)面展開(kāi)，放平，是邊長(zhǎng)分別為10厘

米和12厘米的長(zhǎng)方形，那么這個(gè)圓柱體的體積是立方厘米.（結(jié)

果用兀表示）

當(dāng)圓柱的高是12厘米時(shí)體積為"（3））12=亞（立方厘米）

2兀兀

當(dāng)圓柱的高是12厘米時(shí)體積為"（c）叼0=獨(dú)（立方厘米）.所以圓柱體的

2兀71

體積為您立方厘米或圖立方厘米.

71兀

如右圖，是一個(gè)長(zhǎng)方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個(gè)油

桶（接頭處忽略不計(jì)），求這個(gè)油桶的容積.（兀=314）

^2_______________________

----------16.56m---------?

圓的直徑為：16.56+（1+3.14）=4（米），而油桶的高為2個(gè)直徑長(zhǎng)，即為：4x2=8（m）,

故體積為100.48立方米.

【鞏固】如圖，有一張長(zhǎng)方形鐵皮，剪下圖中兩個(gè)圓及一塊長(zhǎng)方形，正

好可以做成1個(gè)圓柱體，這個(gè)圓柱體的底面半徑為10厘米，那么原來(lái)

長(zhǎng)方形鐵皮的面積是多少平方厘米？（兀=3.14）

做成的圓柱體的側(cè)面是由中間的長(zhǎng)方形卷成的，可見(jiàn)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與

旁邊的圓的周長(zhǎng)相等，則剪下的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，即圓柱體底面圓的周長(zhǎng)為：

2x7txlO=62.8（厘米），

原來(lái)的長(zhǎng)方形的面積為：00x4+62.8）x（10x2）=2056（平方厘米）.

把一個(gè)高是8厘米的圓柱體，沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體

的表面積比原來(lái)的圓柱體表面積減少12.56平方厘米.原來(lái)的圓柱體的體

積是多少立方厘米？

沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來(lái)的圓柱體表面

積減少的部分為減掉的2厘米圓柱體的側(cè)面積，所以原來(lái)圓柱體的底面

周長(zhǎng)為12.56+2=6.28厘米，底面半徑為6.28+3.14+2=1厘米，所以原來(lái)的圓柱

體的體積是兀xFx8=8兀=25.12（立方厘米）.

一個(gè)圓柱體的體積是50.24立方厘米，底面半徑是2厘米.將它的底面平

均分成若干個(gè)扇形后，再截開(kāi)拼成一個(gè)和它等底等高的長(zhǎng)方體，表面

積增加了多少平方厘米？（，=3.14）

從圖中可以看出，拼成的長(zhǎng)方體的底面積與原來(lái)圓柱體的底面積相同，

長(zhǎng)方體的前后兩個(gè)側(cè)面面積與原來(lái)圓柱體的側(cè)面面積相等，所以增加的

表面積就是長(zhǎng)方體左右兩個(gè)側(cè)面的面積.

（法1）這兩個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形，且長(zhǎng)等于原來(lái)圓柱體的高，寬等于圓柱

體底面半徑.

可知，圓柱體的高為50.24+（3.14x22）=4（厘米），所以增加的表面積為2x4x2=16

（平方厘米）；

（法2）根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式推導(dǎo).增加的兩個(gè)面是長(zhǎng)方體的側(cè)面，側(cè)

面面積與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)的乘積就是長(zhǎng)方體的體積.由于長(zhǎng)方體的體積與圓

柱體的體積相等，為50.24立方厘米，而拼成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)等于圓柱體底面

周長(zhǎng)的一半，為3.14x2=6.28厘米，所以側(cè)面長(zhǎng)方形的面積為50.24+6.28=8平方

厘米，所以增加的表面積為8x2=16平方厘米.

（年“希望杯”五年級(jí)第2試）一個(gè)擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如

圖），由圖中的數(shù)據(jù)可推知瓶子的容積是立方厘米.金取3-4）

（單位：厘米）

由于瓶子倒立過(guò)來(lái)后其中水的體積不變，所以空氣部分的體積也不變,

從圖中可以看出，瓶中的水構(gòu)成高為6厘米的圓柱，空氣部分構(gòu)成高為

10.8=2厘米的圓柱，瓶子的容積為這兩部分之和，所以瓶子的容積為：

7tx（-）2x（6+2）=3.14x32=100.48（立方厘米）.

【鞏固】一個(gè)酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如圖.已知它

的容積為26.4兀立方厘米.當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)的酒精的液面高為6厘米；

瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為2厘米.問(wèn)：瓶?jī)?nèi)酒精的體積是多少立方

厘米？合多少升？

由題意，液體的體積是不變的，瓶?jī)?nèi)空余部分的體積也是不變的，因此

可知液體體積是空余部分體積的6+2=3倍.所以酒精的體積為

26.4兀x3=62.172立方厘米，而62.172立方厘米=62.172毫升=0.062172升.

3+1

【鞏固】一個(gè)蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為1。平方厘

米，（如下圖所示），請(qǐng)你根據(jù)圖中標(biāo)明的數(shù)據(jù)，計(jì)算瓶子的容積是一

由已知條件知，第二個(gè)圖上部空白部分的高為7.5=25，從而水與空著的

部分的比為4:2=2:1,由圖1知水的體積為10x4,所以總的容積為

40+2x（2+l）=60立方厘米.

一個(gè)盛有水的圓柱形容器，底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15

厘米.今將一個(gè)底面半徑為2厘米，高為17厘米的鐵圓柱垂直放入容

器中.求這時(shí)容器的水深是多少厘米？

若圓柱體能完全浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應(yīng)等于原有水

的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為：拉等3=17.72（厘米）.

它比圓柱體的高度要大，可見(jiàn)圓柱體可以完全浸入水中.

于是所求的水深便是17.72厘米.

有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯，其內(nèi)直徑依次是10厘米、20厘米，杯中

盛有適量的水.甲杯中沉沒(méi)著一鐵塊，當(dāng)取出此鐵塊后，甲杯中的水位

下降了2厘米；然后將鐵塊沉沒(méi)于乙杯，且乙杯中的水未外溢.問(wèn)：這

時(shí)乙杯中的水位上升了多少厘米？

兩個(gè)圓柱直徑的比是1:2,所以底面面積的比是1:4.鐵塊在兩個(gè)杯中排開(kāi)

的水的體積相同，所以乙杯中水升高的高度應(yīng)當(dāng)是甲杯中下降的高度的

1,即2」=0.5（厘米）.

44

如圖，甲、乙兩容器相同，甲容器中水的高度是錐高的g,乙容器中水的

高度是錐高的比較甲、乙兩容器，哪一只容器中盛的水多？多的是

少的的幾倍？

貝I」有V容器=；口，,

1Z1/2、22783lz12』1/2、22,192,

匕水=-K（―r）x—n=-兀廣〃,K］人=-nrh—兀（―r）x—//=一兀廣〃,

乙水33381平水333381

豆小

口=j=12,即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的空倍.

“，88

81

（年仁華考題）如圖，有一卷緊緊纏繞在一起的塑料薄膜，薄膜的直徑為

20厘米，中間有一直徑為8厘米的卷軸，已知薄膜的厚度為0.04厘米，

則薄膜展開(kāi)后的面積是平方米.

薄膜展開(kāi)后為一個(gè)長(zhǎng)方體，體積保持不變，而厚度為0.04厘米，所以薄膜

展開(kāi)后的面積為

8400兀+0.04=659400平方厘米=65.94平方米.

另解：也可以先求出展開(kāi)后薄膜的長(zhǎng)度，再求其面積.

由于展開(kāi)前后薄膜的側(cè)面的面積不變，展開(kāi)前為兀,居）-沖圖：84兀（平方

厘米），展開(kāi)后為一個(gè)長(zhǎng)方形，寬為0.04厘米，所以長(zhǎng)為84兀+0.04=6594厘米，

所以展開(kāi)后薄膜的面積為6594x100=659400平方厘米=65.94平方米.

【鞏固】圖為一卷緊繞成的牛皮紙，紙卷直徑為20厘米，中間有一直徑

為6厘米的卷軸.已知紙的厚度為04毫米，問(wèn)：這卷紙展開(kāi)后大約有

多長(zhǎng)？

將這卷紙展開(kāi)后，它的側(cè)面可以近似的看成一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)度就等

于面積除以寬.這里的寬就是紙的厚度，而面積就是一個(gè)圓環(huán)的面積.

因此，紙的長(zhǎng)度：

?紙卷側(cè)面積_3.14x102-3.14x323.14x(100-9)=71435(厘米)

~紙的厚度(X04-0X)4-

所以,這卷紙展開(kāi)后大約7L4米.

如圖，48c是直角三角形，A3、AC的長(zhǎng)分別是3和4.將AA8C繞AC旋轉(zhuǎn)

一周，求AABC掃出的立體圖形的體積.(71=3.14)

如右上圖所示，WC掃出的立體圖形是一個(gè)圓錐，這個(gè)圓錐的底面半徑

為3,高為4,

體積為：，X71x32x4=12兀=37.68.

3

已知直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別為3cm,4cm,5cm,分別以這三邊軸，

旋轉(zhuǎn)一周，所形成的立體圖形中，體積最小的是多少立方厘米？(兀取

3.14)

以3cm的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是底面半徑是4cm,高是3cm的圓錐體,

體積為gx3.14乂4葭3=50.24(cmb

以4cm的邊為軸旋轉(zhuǎn)一■周所得到的是底面半徑是3cm,局是4cm的圓錐體,

體積為-x3.14x32x4=37.68(cm3)

3

以5cm的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是底面半徑是斜邊上的高3x4+5=2.4cm

的兩個(gè)圓錐，高之和是5cm的兩個(gè)圓的組合體，體積為

12?

-X3.14X2.42X5=30.144(cm3)

【鞏固】如圖，直角三角形如果以抬邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓

錐的體積為麻，以AC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為3，

那么如果以轉(zhuǎn)為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的幾何體的體積是多少？

cA

設(shè)3C=a,AC斗，那么以3c邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的圓錐的體積為竽，

以AC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為中，由此可得到兩

條等式：

收、48,兩條等式相除得到將這條比例式再代入原來(lái)的方程中就能

得到根據(jù)勾股定理，直角三角形的斜邊鉆的長(zhǎng)度為5,那么斜邊上

也=4

的高為2.4.

如果以為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的幾何體相當(dāng)于兩個(gè)底面相等的圓

錐疊在一起，底面半徑為2.4,高的和為5,所以體積是理2=9.6兀.

如圖，ABCD是矩形，BC=6cm,AB=10cm,對(duì)角線(xiàn)AC、8。相交O.E、尸分

別是犯與5c的中點(diǎn)，圖中的陰影部分以防為軸旋轉(zhuǎn)一周，則白色部分

掃出的立體圖形的體積是多少立方厘米？(兀取3)

BFCB

掃出的圖形如右上圖所示，白色部分實(shí)際上是一個(gè)圓柱減去兩個(gè)圓錐后

所形成的圖形.

兩個(gè)圓錐的體積之和為2乂u兀832*5=30兀=90（立方厘米）；

3

圓柱的體積為兀X32X10=270（立方厘米）,

所以白色部分掃出的體積為270-90=180（立方厘米）.

【鞏固】（2006年第十一屆華杯賽決賽試題）如圖,ABCD是矩形，8c=6cm,

A8=10cm,對(duì)角線(xiàn)AC、處相交O.圖中的陰影部分以CO為軸旋轉(zhuǎn)一周，則

陰影部分掃出的立體的體積是多少立方厘米？

設(shè)三角形8。以8為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體圖形的體積是V,貝山等于

高為10厘米，底面半徑是6厘米的圓錐，減去2個(gè)高為5厘米，底面半

徑是3厘米的圓錐的體積后得到.

所以，V=-x7tx62xl0-2x-x7tx32x5=90n（立萬(wàn)厘米）,

33

那么陰影部分掃出的立體的體積是"=180/540（立方厘米）.

（人大附中分班考試題目）如圖，在一個(gè)正方體的兩對(duì)側(cè)面的中心各打通

一個(gè)長(zhǎng)方體的洞，在上下底面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞.已知正方體

邊長(zhǎng)為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，上下底面的

洞口是直徑為4厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積.

⑴先求表面積.表面積可分為外側(cè)表面積和內(nèi)側(cè)表面積.

外側(cè)為6個(gè)邊長(zhǎng)10厘米的正方形挖去4個(gè)邊長(zhǎng)4厘米的正方形及2個(gè)

直徑4厘米的圓，所以，外側(cè)表面積為：10x10x6-4x4x4-兀x2?x2=536-8兀（平

方厘米）；

內(nèi)側(cè)表面積則為右上圖所示的立體圖形的表面積，需要注意的是這個(gè)圖

形的上下兩個(gè)圓形底面和前后左右4個(gè)正方形面不能計(jì)算在內(nèi)，所以?xún)?nèi)

側(cè)表面積為：

4x3xl6+2x（4x4-7tx22）+27tx2x3x2=192+32-87t+247t=224+1671（平方厘米）,

所以，總表面積為：224+16兀+536-8兀=760+8兀=785.12（平方厘米）.

⑵再求體積.計(jì)算體積時(shí)將挖空部分的立體圖形取出，如右上圖，只要

求出這個(gè)幾何體的體積，用原立方體的體積減去這個(gè)體積即可.

挖出的幾何體體積為：4x4x3x4+4x4x4+兀x2?x3x2=192+64+24兀=256+24兀（立方厘

米）；

所求幾何體體積為：10x10x10-（256+24兀）=668.64（立方厘米）.

（《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》邀請(qǐng)賽）從一個(gè)棱長(zhǎng)為10厘米的正方形木塊中挖去

一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長(zhǎng)方體，剩下部分的表面積

是多少？（寫(xiě)出符合要求的全部答案）

按圖1所示沿一條棱挖，為592平方厘米；

按圖2所示在某一面上挖，為632平方厘米；

按圖3所示在某面上斜著挖，為648平方厘米；

按圖4所示挖通兩個(gè)對(duì)面，為672平方厘米.

一個(gè)酒瓶里面深30cm,底面內(nèi)直徑是10cm,瓶里酒深15cm.把酒瓶塞緊后

使其瓶口向下倒立這時(shí)酒深25cm.酒瓶的容積是多少？(兀取3)

30

觀察前后，酒瓶中酒的總量沒(méi)變，即瓶中液體體積不變.

當(dāng)酒瓶倒過(guò)來(lái)時(shí)酒深25cm,因?yàn)榫破可?0cm,這樣所?？臻g為高5cm的圓

柱，再加上原來(lái)15cm高的酒即為酒瓶的容積.酒的體積：15兀xWx竺=375兀

22

瓶中剩余空間的體積(30-25)兀x"x3=125兀，酒瓶容積：375兀+125兀=50071=15(X)(011)

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如右圖所示，由三個(gè)正方體木塊粘合而成的模型，它們的棱長(zhǎng)分別為1

米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方體的下面不涂油漆，則

模型涂刷油漆的面積是多少平方米？

斗

該圖形從前、后、左、右四面觀察到的面積都是+4?=21平方米，從上

面觀察到的面積是4'16平方米，由于下面不