2集合間的基本關(guān)系一、子集（一）子集:對于兩個集合A、B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A匸B（或BoA）,讀作“A含于B”（或“B包含A”）數(shù)學(xué)語言表示形式為：若對任意的xGA有xGB,則A匸B子集關(guān)系用文氏圖表示為：AoB（或BoA）根據(jù)子集的定義，我們可以知道oA,也就是說任何集合都是它本身的一個子集對于空集我們規(guī)同oA,即空集是任何集合的子墓例1：用適當(dāng)?shù)姆柼羁? {0}Q {0}2 {2}2 N{2} N變式練習(xí)1：已知A={x|x2—3x+2=0},B={1,2},C={x|xV8,x^N},用適當(dāng)?shù)姆柼羁誂 BA C{2} C2 C例2：寫出集合{a,b,c,d}的所有子集?！窘馕觥考蟵a,b,c,d}的所有子集可以分為五類，即:（1）含有0個元素的子集，即空集?；2） 含有一個元素的子集：{a},,{c},jzdztxt；3） 含有二個元素的子集：{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}4） 含有三個元素的子集：{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}；5）含有四個元素的子集：{a,b,c,d}.

結(jié)論：如果集合A中有n個元素，則集合A共有2n個子集變式練習(xí)1：已知集合A={xGN|—1WxV4}，則集合A的子集有＋【解析】：8個（二）、集合相等:如果集合A是集合B的子集（A匸B）,且集合B是集合A的子集（B匸A）,則集合A與集合B相等,記作集合人=集合B。即：A匸B且B匸A則A=B。（上節(jié)兩個集合相等：兩個集合的元素完全相同）例3：已知集合A和集合B都是含三個兀素的集合，且集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac?}，若AoB且BoA,求c的值。la+b=ac【解析】（l）若消去b得：ac2+a—2ac=0,[a+2b=ac2a=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故aMO.?°?c2—2c+1=0,即c=1,但c=1時，B中的三元素又相同，此時無解.la+b=ac2（2）若] 消去b得：2ac2—ac—a=0,[a+2b=ac1*.*aM0,A2c2—c—1=0,即（c—1）（2c+1）=0,又cM1,故c=——。厶變式練習(xí)：已知集合A和集合B都含有三個元素，A={x,xy,x—y},B={0,|x|,y},若AoB且BoA,求2x+y的值?！窘馕觥浚???由集合的互異性，?：x—y=0,則x=y,此時A={x,X2,0},B={0,|x|,x},則X2=|x|且xMx2，故x=y=—1,此時A={-1,1,0},B={0,1,一1}，符合題意，綜上所述，2x+y=-3。（三）、真子集：如果集合AoB,但存在元素xGB，且x電A,我們稱集合A是集合B的真子集。記：AWB（或陰A）A真含于BB真包含A注意：即如果AoB且AMB,那么集合A是集合B的真子集，記作AWB（或B二A）。例如{1,2}三N、{a,b}三{a,b,c}等。子集與真子集的區(qū)別在于“AoB”允許A=B或AWB,?而AWB是不允許“A=B”的，?所以如果AWB成立，則一定有AoB成立；但如果有AoB成立，AWB不一定成立?？占侨魏渭系淖蛹占侨魏畏强占系恼孀蛹?。例4：分別寫出集合{a},{a,b}和{a,b,c}的所有子集和真子集。集合{a}的子集有?,{a}，共有2個子集；真子集有{a},共1個真子集。集合{a,b}的子集有?,{a},,{a,b},共有4個子集；真子集有?,{a},,共3個真子集。集合{a,b,c}的子集有：?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}，共有8個即個子集；真子集有?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},共7個真子集。結(jié)論；如果集合A中肴n個元素，?則集合A共肴2n個子集；2n—1個真子集。例5：有適當(dāng)?shù)姆柼羁?。TOC\o"1-5"\h\zA={2,3,6}B={x|x是12的約數(shù)}A BA={0,1}B={x|X2+y2=1,y$N}A BA={x|—1VxV2}B={x|—2VxV2}A BA={(x,y)|xXyVO}B={(x,y)|x>0,y>O}A BA={x|X2=1}B={y|y2—2y+4=0}A B【解析】：(1)三(2)三(3)三(4)三(5):變式練習(xí)1：已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,xWA,y^B}，貝^B的子集有()A：8個B：2個C：4個D：7個【解析】：集合B中有3個元素，子集有8個。A x+1變式練習(xí)2：已知集合A={xWZ| <0},B={y|y=X2+1,x^A}，則集x—3合B的含有元素1的子集個數(shù)為()A：5B：4C：3D：2【解析】：A={xeZ|—1WxV3}={—1,0,1,2},則B={1,2,5},則集合B的含有元素1的子集有{1},{1,2},{1,5},{1,2,5}共四個，B1 b1變式練習(xí)3：已知A={x|x=a+ ,aWZ},B={x|x= ——,bWZ},C6 23={x|x=c+-,cWZ}，則集合A、B、C滿足的關(guān)系是()26A：A=BWCB：A￡B=CC：A三BWCD：BWCm【解析】：A={6x|6x=6a+1,aWZ},B={6x|x=3a—2=3(a—1)+1,bWZ},C={6x|x=3c+1,cWZ}。則AN=CB變式練習(xí)4：已知A={x|y=x2一2x+1},B={y|y=x2一2x+1},C={x|x2一2x+1=0},D={x|x2一2x+1VO},E={(x,y)|y=x2一2x+1}，貝U下列結(jié)論正確的是()A：A匸B匸C匸DB：DHN4C：B=ED：A=B【解析】：B變式練習(xí)5：若集合A滿足{1,2}匸A匸{1,2,3,4}，則滿足條件的集合A的個數(shù)為 個?！窘馕觥浚?個二、子集的有關(guān)性質(zhì)1空集?:我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記為?，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，即空集?只肴一個子集就是它本身，?而空集沒有真子集。2、子集與真子集的性質(zhì)（1） 任何集合是它本身的子集，即A匸A；（2） 對于集合A、B、C,如果A匸B且B匸C,那么A匸C；（3） 對于集合A、B、C,如果AWB,且BWC,那么AWC；（4） 空集?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例5：下列集合只有一個子集的是（）A：{xIX2W0}B：{xIX3W0}C：{xIX2<0}D：{xIX3>0}【解析】：C例6：下列表述正確的是（）A：?={0}B：?u{0}C：?n{0}D：?${0}【解析】：B例7：設(shè)A={x|2m—1VxVm+3},B={x$R|x2+1=0}問m為何值時能使得A=B?！窘馕觥浚?）顯然B=?，欲使A=B,必須且只需A=?即可。由于2m—1三m+3可得m±4,此時A={xI2m—1VxVm+3}=?.綜上可知，當(dāng)m±4時，A=B例8：已知集合A={xIx2+x—2=0},B={xIx—a=0}，若B?u人，則a=【解析】易求A={—2,1},B={1}或{—2}當(dāng)B={1},a=1；B={—2},a=—2綜上：a=1或a=—2TOC\o"1-5"\h\z變式練習(xí)1：已知集合A={x|x2—8x+15=0},B={x|ax—l=O}，若B?uA,貝Ua= ?！窘馕觥浚?或1或13 5例9：設(shè)集合A={x|(x+1)(x-4)W0},B={x|xWa}，若AuB?，則a的取值范圍是 ?！窘馕觥浚篴三4變式練習(xí)1：已知集合A={x|—3WxW5}，若集合B={x|—2m—lWxWm+1},若AuB?,則求m的取值范圍。[m+1>5【解析】一2m—1W—3V5Wm+1,即[ m±4[-2m-1<-3變式練習(xí)2：集合A={x|—2WxW5},B={x|m+1WxW2m—1}，若BuA,則求m的取值范圍。【解析】：(1)若8=?，即m+1>2m—1時，即mV2；(2)若BH?，則mm+1<2m-1滿足<m+1>-2解之得2WmW3,綜上所述，mW32m-1<5變式練習(xí)2:已知函數(shù)f(x)—x2+ax+b(a、bWR)，且集合A—{xIx—f(x)},B—{xIx—f[f(x)]},(1)求證:AuB?；(2)當(dāng)A={_1,3}時，用列舉法表示B。【解析】：(1)任取xWA，則有x—f(x),則f[f(x)]—f[x]—x，故xWB,故AuB；[—1—1—a+b[a—-1VA—{—1,3}，故< 得彳 ，故f(x)—x2-x-3,〔3—9+3a+b[b—-3f[f(x)]—(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3，故(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3—x(x2-x-3)2-x2—0,?*.x—3,x——1,x—土<3，故B—{—1,3,^3,-込}課后綜合練習(xí)

1、下列關(guān)系中正確的個數(shù)為()①0G{0},②鶴{0},③{0,1}匸{(0,1)},④{(a,b)}={(b,a)}A：1B：2C：3D：4【解析】：B2、下列圖形中，表示M匸N的是()【解析】：CbTOC\o"1-5"\h\z3、 設(shè)a、bGR,集合{1,a+b,a}={0,—,b}，則b—a=( )aA：1B：－1C：2D：－2【解析】：C1 1 94、 設(shè)集合A={x|x=—k+ ,k<EZ}，若x=-，則下列關(guān)系正確的是()2 4 2A：x纟AB：x^AC.{x}GAD.{x}纟A【解析】：A5、 用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?1)? {x|x2—1=0}；(2){1,2,3} N；{1} {xIX2—x=0}；(4)0 {xIX2—2x=0}【解析】： G6、 已知集合A={x|1WxV4},B={x|xVa}，若A?B，求實數(shù)a的取值范圍【解析】：a三47、 已知A={x|x2—3x+2=0},B={x|ax—2=0}且BuA,則實數(shù)a組成的集合C是 。【解析】：{0,2,1}8、 寫出集合A={xI0WxV3,xGN}的真子集?！窘馕觥浚?個 +9、 已知M={x|—2WxW5},N={xIa+1WxW2a一1}。(1)若MuN,求實數(shù)a的取值范圍。(2)若MnN,求實數(shù)a的取值范圍?！窘馕觥浚?1)?(2)a<310、 若集合A={xIaWxWa+2},B={xIxW