專題02導(dǎo)數(shù)的運算思維導(dǎo)圖核心考點聚焦考點一：利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)考點二：求函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)考點三：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)考點四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)考點五：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程（在點處與過點處）考點六：利用導(dǎo)數(shù)公式求切點坐標問題考點七：與切線有關(guān)的綜合問題考點八：切線平行、垂直問題考點九：最值問題考點十：公切線問題知識點一：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8），，這樣的形式．要點詮釋：1、常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即（C為常數(shù)）．其幾何意義是曲線（C為常數(shù)）在任意點處的切線平行于x軸．2、有理數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪指數(shù)n與自變量的次冪的乘積，即（）．特別地，．3、正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù)，即．4、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負的正弦函數(shù)，即．5、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，．6、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，．有時也把記作：以上常見函數(shù)的求導(dǎo)公式不需要證明，只需記住公式即可．知識點二：函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運算法則：（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）要點詮釋：1、上述法則也可以簡記為：（ⅰ）和（或差）的導(dǎo)數(shù)：，推廣：．（ⅱ）積的導(dǎo)數(shù)：，特別地：（c為常數(shù)）．（ⅲ）商的導(dǎo)數(shù)：，兩函數(shù)商的求導(dǎo)法則的特例，當時，．這是一個函數(shù)倒數(shù)的求導(dǎo)法則．2、兩函數(shù)積與商求導(dǎo)公式的說明（1）類比：，，注意差異，加以區(qū)分．（2）注意：且．3、求導(dǎo)運算的技巧在求導(dǎo)數(shù)中，有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形可將函數(shù)先化簡（可能化去了商或積），然后進行求導(dǎo)，可避免使用積、商的求導(dǎo)法則，減少運算量．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1、復(fù)合函數(shù)的概念對于函數(shù)，令，則是中間變量u的函數(shù)，是自變量x的函數(shù)，則函數(shù)是自變量x的復(fù)合函數(shù)．要點詮釋：常把稱為“內(nèi)層”，稱為“外層”．2、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，，函數(shù)在點的對應(yīng)點處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點處可導(dǎo)，并且，或?qū)懽鳎?、掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法（1）分層：將復(fù)合函數(shù)分出內(nèi)層、外層．（2）各層求導(dǎo)：對內(nèi)層，外層分別求導(dǎo)．得到，（3）求積并回代：求出兩導(dǎo)數(shù)的積：，然后將，即可得到的導(dǎo)數(shù)．要點詮釋：1、整個過程可簡記為分層——求導(dǎo)——回代，熟練以后，可以省略中間過程．若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量．2、選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵．求導(dǎo)時需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏．求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)．考點剖析考點一：利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1．（2024·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)．例2．（2024·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．例3．（2024·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).考點二：求函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)例4．（2024·陜西延安·高二校考期末）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)(2)(3)(4)例5．（2024·陜西西安·高二?？计谀┣笙铝泻瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)例6．（2024·新疆喀什·高二校考期末）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)；(2)，．變式1．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．變式2．（2024·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)．變式3．（2024·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3).考點三：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例7．（2024·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)．例8．（2024·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)．例9．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．考點四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)例10．（2024·湖南·高二邵陽市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（

）A． B． C． D．例11．（2024·河北滄州·高二泊頭市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C． D．例12．（2024·寧夏銀川·高二校考期末）已知函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．變式4．（2024·江蘇鹽城·高二校考）已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A． B．1 C．2 D．考點五：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程（在點處與過點處）例13．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）求曲線在點處的切線的方程．例14．（2024·新疆和田·高二?？迹┮阎瘮?shù)，點在曲線上.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求曲線過點的切線方程.例15．（2024·陜西渭南·高二校考）已知曲線方程(1)求以點為切點的切線方程；(2)求過點與曲線相切的直線方程．變式5．（2024·北京懷柔·高二?？迹┮阎瘮?shù)(1)求的導(dǎo)數(shù)；(2)求曲線在點處的切線方程．(3)求曲線過點的切線方程考點六：利用導(dǎo)數(shù)公式求切點坐標問題例16．（2024·高二課時練習(xí)）已知曲線的一條切線傾斜角為，則切點坐標為．例17．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）函數(shù)有一條斜率為2的切線，則切點的坐標為例18．（2024·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考）已知A為函數(shù)圖像上一點，在A處的切線平行于直線，則A點坐標為．變式6．（2024·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）已知曲線在點處的切線斜率為，則當時的點坐標為考點七：與切線有關(guān)的綜合問題例19．（2024·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，過原點作曲線的切線，則切線的斜率為．例20．（2024·四川綿陽·高二統(tǒng)考）若直線為曲線的一條切線，則實數(shù)的值為；例21．（2024·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為.變式7．（2024·遼寧·高二鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則曲線所有的切線中斜率最小的切線方程為．考點八：切線平行、垂直問題例22．（2024·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，則該切線的方程為（

）A． B．C． D．例23．（2024·高二單元測試）曲線在處的切線與直線平行，則m的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例24．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C．1 D．2變式8．（2024·安徽六安·高二六安一中?？计谀┮阎瘮?shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．考點九：最值問題例25．（2024·北京·高二北京一七一中?？茧A段練習(xí)）拋物線上的一動點到直線:距離的最小值為例26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）曲線上的點到直線的距離的最小值為例27．（2024·四川瀘州·高二校考階段練習(xí)）若點是曲線上任意一點，則點P到直線：距離的最小值為.變式9．（2024·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，直線．若A，B分別是曲線和直線l上的動點，則的最小值是考點十：公切線問題例28．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若直線與函數(shù)和的圖象都相切，則（

）A． B． C． D．例29．（2024·山東臨沂·高二統(tǒng)考）已知函數(shù)，，若直線與曲線，都相切于點，則，．例30．（2024·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）若一直線與曲線和曲線相切于同一點，則的值為.變式10．（2024·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)，若直線l：與曲線相切，則實數(shù)．過關(guān)檢測一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三校考）已知，曲線在點處的切線與直線平行，則直線的方程為（

）A． B．C． D．2．（2024·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）已知是奇函數(shù)，則在處的切線方程是（

）A． B． C． D．3．（2024·高二課時練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（

）A．cosx B．－cosxC．－sinx D．sinx4．（2024·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象在點處的切線方程是（

）A． B． C． D．5．（2024·江西宜春·高二校考期末）已知，且．若在處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．06．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考）我們把分子?分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子?分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：，則（

）A． B． C．1 D．27．（2024·湖北·高二期末）點M是曲線上的動點，則點M到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2024·湖北·高二期末）已知函數(shù)，則在處的導(dǎo)數(shù)為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）下列求導(dǎo)運算正確的是（

）A． B．C． D．10．（2024·高二課時練習(xí)）若曲線在點處的切線方程是，則（

）A． B． C． D．11．（2024·高二課時練習(xí)）已知曲線在點處的切線斜率為，則當時的點坐標為（

）A． B． C． D．12．（2024·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且，則（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？迹┣€在點處的切線方程為．14．（2024·全國·高二期末）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的周長為.15．（2024·貴州黔東南·高二校考期末）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則．16．（2024·黑龍江雞西·高二?？计谀┮阎瘮?shù)在處的切線方程為，則．四、解答題17．（2024·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求的值；(2)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程.18．（2024·江蘇揚州·高二揚州市廣陵區(qū)紅橋高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)19．（2024·安徽蕪湖·高二校考期末）已知曲線．(1)求平行于直線且與曲線相切的直線方程；(2)求過點且與曲線相切的直線方程．20．（2024·高二課時練習(xí)）求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3