匯報(bào)人：AA2024-01-19概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)目錄概率論基本概念一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)01概率論基本概念Part隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件在一定條件下并不總是發(fā)生的現(xiàn)象稱為隨機(jī)事件。概率用來量化隨機(jī)事件發(fā)生可能性的數(shù)值，取值范圍在0到1之間。概率的性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。古典概型與幾何概型古典概型如果每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，則稱這種概率模型為古典概型。幾何概型如果樣本空間是一個(gè)區(qū)域，且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性與該區(qū)域的面積、體積等幾何量成正比，則稱這種概率模型為幾何概型。STEP01STEP02STEP03條件概率與獨(dú)立性條件概率如果兩個(gè)事件的發(fā)生互不影響，則稱這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的。事件的獨(dú)立性乘法公式用于計(jì)算多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，即$P(AB)=P(A)P(B|A)$。在已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。02一維隨機(jī)變量及其分布Part03數(shù)學(xué)期望與方差離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映其平均水平，方差反映其波動(dòng)程度。01離散型隨機(jī)變量取值有限或可數(shù)的隨機(jī)變量，如投擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。02分布律描述離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率，常用分布列表示，如二項(xiàng)分布、泊松分布等。離散型隨機(jī)變量及分布律連續(xù)型隨機(jī)變量取值充滿某個(gè)區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸的隨機(jī)變量，如測(cè)量誤差、電子元件的壽命等。概率密度函數(shù)描述連續(xù)型隨機(jī)變量在某個(gè)確定取值點(diǎn)附近的可能性的函數(shù)，如正態(tài)分布、指數(shù)分布等。分布函數(shù)描述連續(xù)型隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，是概率密度函數(shù)的積分。連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布通過分布律的變換得到，需注意函數(shù)值域的變化。連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布通過概率密度函數(shù)的變換得到，需注意函數(shù)值域的變化以及變換后的概率密度函數(shù)是否滿足歸一化條件。隨機(jī)變量的函數(shù)的定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，g(X)是X的函數(shù)，那么g(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的函數(shù)的分布03多維隨機(jī)變量及其分布Part二維隨機(jī)變量設(shè)$X$和$Y$是兩個(gè)隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的二維數(shù)組$(X,Y)$稱為二維隨機(jī)變量。聯(lián)合分布函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合概率密度函數(shù)如果存在非負(fù)函數(shù)$f(x,y)$，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱$f(x,y)$為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)。010203二維隨機(jī)變量及聯(lián)合分布邊緣分布與條件分布二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的分布函數(shù)分別稱為$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊緣分布。邊緣分布函數(shù)設(shè)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)分別為$F_X(x)$和$F_Y(y)$。對(duì)于固定的$y$，如果$P{Y=y}>0$，則稱條件概率$P{Xleqx|Y=y}=frac{P{Xleqx,Y=y}}{P{Y=y}}=frac{F(x,y)-F(x,y-0)}{F_Y(y)-F_Y(y-0)}$為在$Y=y$條件下，$X$的條件分布函數(shù)，記為$F_{X|Y}(x|y)$。條件分布函數(shù)隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義如果對(duì)于所有的$x,y$，都有$P{Xleqx,Yleqy}=P{Xleqx}P{Yleqy}$，則稱隨機(jī)變量$X$和$Y$是獨(dú)立的。判斷獨(dú)立性的方法判斷兩個(gè)隨機(jī)變量是否獨(dú)立，可以通過判斷它們的聯(lián)合分布函數(shù)是否等于各自邊緣分布函數(shù)的乘積來實(shí)現(xiàn)。如果等于，則兩隨機(jī)變量獨(dú)立；如果不等于，則兩隨機(jī)變量不獨(dú)立。隨機(jī)變量的獨(dú)立性04隨機(jī)變量的數(shù)字特征PartVS描述隨機(jī)變量取值的“平均水平”，是隨機(jī)變量所有可能取值與其對(duì)應(yīng)概率的乘積之和。方差衡量隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，即隨機(jī)變量取值的波動(dòng)性或分散程度。數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望與方差衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量變化趨勢(shì)的相似程度，正值表示兩變量同向變化，負(fù)值表示反向變化，零表示無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差，消除了量綱影響，更客觀地反映兩變量間的線性相關(guān)程度。協(xié)方差相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩描述隨機(jī)變量分布形態(tài)的特征數(shù)，如一階原點(diǎn)矩即數(shù)學(xué)期望，二階中心矩即方差。協(xié)方差矩陣由多個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差組成的矩陣，用于描述多個(gè)隨機(jī)變量間的線性相關(guān)關(guān)系。矩、協(xié)方差矩陣05大數(shù)定律與中心極限定理Part大數(shù)定律是描述隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，隨機(jī)事件的頻率趨于一個(gè)穩(wěn)定值。定義常見的大數(shù)定律有伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律和切比雪夫大數(shù)定律等。種類大數(shù)定律在保險(xiǎn)、金融、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如用于評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)、計(jì)算保費(fèi)和預(yù)測(cè)疾病發(fā)病率等。應(yīng)用010203大數(shù)定律定義中心極限定理是指當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，無論總體分布是什么形狀。種類中心極限定理包括獨(dú)立同分布的中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理和林德伯格中心極限定理等。應(yīng)用中心極限定理在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要地位，它提供了用正態(tài)分布近似其他分布的理論基礎(chǔ)，從而簡(jiǎn)化了統(tǒng)計(jì)分析過程。同時(shí)，在質(zhì)量控制、六西格瑪管理等領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用。中心極限定理06數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念Part總體研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來描述。樣本從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本容量樣本中包含的個(gè)體數(shù)目，用n表示。總體與樣本030201抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的概率分布，用于推斷總體的性質(zhì)。常見的抽樣分布有t分布、F分布、卡方分布等。抽樣分布的性質(zhì)包括期望、方差、分位數(shù)等，用于對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)用一個(gè)具體的數(shù)值來估計(jì)總體參數(shù)的方法，如樣本均值估計(jì)總體均值。區(qū)間估計(jì)用一個(gè)區(qū)間來估計(jì)總體參數(shù)的方法，該區(qū)間以一定的概率包含總體參數(shù)的真值。置信水平與置信區(qū)間置信水平是指總體參數(shù)落在某一區(qū)間內(nèi)的概率，而該區(qū)間則稱為置信區(qū)間。置信水平越高，置信區(qū)間越寬，估計(jì)的精度越低。點(diǎn)估計(jì)07參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)Part假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想顯著性水平$alpha$表示在原假設(shè)為真時(shí)錯(cuò)誤地拒絕原假設(shè)的概率，檢驗(yàn)功效$1-beta$表示在備擇假設(shè)為真時(shí)正確地拒絕原假設(shè)的概率。顯著性水平與檢驗(yàn)功效在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)$H_0$通常表示要檢驗(yàn)的假設(shè)，備擇假設(shè)$H_1$表示與原假設(shè)不同的假設(shè)。原假設(shè)與備擇假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的用于檢驗(yàn)原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量，拒絕域是使得我們拒絕原假設(shè)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值范圍。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域123用于檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體均值是否等于某個(gè)給定值。單樣本t檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體方差是否等于某個(gè)給定值。單樣本方差分析如Shapiro-Wilk檢驗(yàn)、Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)等，用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否服從