同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D8習(xí)題CATALOGUE目錄極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用不定積分定積分及其應(yīng)用CHAPTER極限與連續(xù)01123極限計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中的基本技能，常用的方法包括直接代入法、等價(jià)無窮小替換法、洛必達(dá)法則等。極限計(jì)算方法極限存在的準(zhǔn)則包括單調(diào)有界定理、夾逼定理、數(shù)列和的極限定理等，這些準(zhǔn)則有助于判斷函數(shù)的極限是否存在。極限存在準(zhǔn)則無窮小量是極限理論中的重要概念，掌握無窮小量的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則對于極限計(jì)算至關(guān)重要。無窮小量極限計(jì)算連續(xù)性的定義函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)是指函數(shù)在該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值。連續(xù)性的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有一些基本性質(zhì)，如加減乘除運(yùn)算后的連續(xù)性、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性等。連續(xù)性的判定對于一些復(fù)雜函數(shù)，可以通過定義法、左右極限相等法等方法來判斷函數(shù)的連續(xù)性。連續(xù)性判斷可導(dǎo)性的定義函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)是指函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率，掌握導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)對于判斷函數(shù)可導(dǎo)性至關(guān)重要?？蓪?dǎo)性的判定對于一些復(fù)雜函數(shù)，可以通過定義法、求導(dǎo)公式等方法來判斷函數(shù)的可導(dǎo)性。函數(shù)可導(dǎo)性判斷CHAPTER導(dǎo)數(shù)與微分02計(jì)算給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)通過導(dǎo)數(shù)的定義和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，計(jì)算給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則，包括加法、減法、乘法和除法的導(dǎo)數(shù)計(jì)算。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)理解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法，能夠利用鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)計(jì)算030201理解微分的定義和幾何意義，掌握微分的基本性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則。微分的定義理解微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，掌握微分的基本公式和運(yùn)算方法。微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，能夠利用微分進(jìn)行近似計(jì)算。微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分概念理解導(dǎo)數(shù)與切線斜率01理解導(dǎo)數(shù)在幾何上的意義，即切線的斜率，能夠利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率。單調(diào)性、極值與曲線的凹凸性02了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值和曲線的凹凸性方面的應(yīng)用，能夠利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值和曲線的凹凸性。導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用03了解導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如最優(yōu)化問題、速度和加速度的計(jì)算等。導(dǎo)數(shù)的幾何意義CHAPTER微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用03如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$上可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，那么在$(a,b)$內(nèi)至少存在一點(diǎn)$xi$，使得$f'(xi)=0$。羅爾定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$上可導(dǎo)，那么在$(a,b)$內(nèi)至少存在一點(diǎn)$xi$，使得$f'(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。拉格朗日中值定理羅爾定理與拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理：如果函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$上可導(dǎo)，且$g'(x)eq0$，那么在$(a,b)$內(nèi)至少存在一點(diǎn)$\xi$，使得$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。如果函數(shù)$f(x)$在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增；如果導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞減。單調(diào)性函數(shù)在其極值點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為0，二階導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)或由負(fù)變正。極值通過二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性，二階導(dǎo)數(shù)大于0表示曲線凹下，小于0表示曲線凸起。曲線的凹凸性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（單調(diào)性、極值等）CHAPTER不定積分04直接積分法利用不定積分的基本公式和性質(zhì)，將給定的函數(shù)進(jìn)行積分，得到不定積分的結(jié)果。換元積分法通過引入適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易積分的函數(shù)，從而求得不定積分。分部積分法將兩個(gè)函數(shù)的乘積進(jìn)行積分，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的和的積分，從而求得不定積分。不定積分計(jì)算積分常數(shù)不定積分的結(jié)果是一個(gè)函數(shù)族，它們之間相差一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)被稱為積分常數(shù)。積分區(qū)間可加性對于函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上的積分，可以分別對每個(gè)區(qū)間進(jìn)行積分后再求和。線性性質(zhì)不定積分具有線性性質(zhì)，即對于兩個(gè)函數(shù)的和或差的積分，可以分別對每個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分后再求和或求差。積分性質(zhì)理解分部積分法與湊微分法分部積分法通過將兩個(gè)函數(shù)的乘積進(jìn)行分部積分，將一個(gè)函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為另一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求得不定積分。湊微分法通過觀察被積函數(shù)的特征，將其轉(zhuǎn)化為容易積分的函數(shù)，從而求得不定積分。CHAPTER定積分及其應(yīng)用05計(jì)算方法利用微積分基本定理，將定積分轉(zhuǎn)化為求解原函數(shù)在區(qū)間上的增量。實(shí)例計(jì)算$int_{0}^{1}x^{2}dx$，結(jié)果為$frac{1}{3}x^{3}|_{0}^{1}=frac{1}{3}$。注意事項(xiàng)注意定積分的上下限，以及被積函數(shù)的定義域。定積分計(jì)算微元法將整體劃分為小部分，對小部分進(jìn)行近似處理，再求和得到整體近似值。注意事項(xiàng)選取合適的微元，保證近似精度。應(yīng)用實(shí)例計(jì)算曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動的位移等。微元法與定積分的應(yīng)用定義當(dāng)定積分的積分限為無窮時(shí)，稱為無窮積分；當(dāng)被積函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)時(shí)，稱為廣義積分。計(jì)算方法對于無窮積分，需要注意積分的收斂性；對于廣義積分，需要將被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)處理。實(shí)例$int_{0}^{infty}frac{1}{x}dx$為無窮積分，結(jié)果為$lim_{btoinfty}left[lnx