集合3.1集合的基本概念與表示3.2集合的運算與性質(zhì)3.3

集合中元素的計數(shù)3.4集合在計算機中的表示

3.1集合的基本概念與表示

3.1.1集合的概念與表示

1.集合的概念

(1)集合:集合是不能精確定義的基本數(shù)學(xué)概念,通常是指在一定范圍內(nèi),具有共同性質(zhì)的、可確定的、能相互區(qū)分的所有對象的聚集。例如,學(xué)校圖書館的每一本圖書構(gòu)成圖書集合,班里每一個學(xué)生構(gòu)成學(xué)生集合,所有的整數(shù)構(gòu)成整數(shù)集合。集合通常用大寫的英文字母A,B,C,…表示。

(2)集合的元素(成員):集合中每個對象稱為該集合的一個元素或成員。例如,圖書館里每一本書都是圖書集合的一個元素,班里每一個學(xué)生是學(xué)生集合的一個元素。集合的元

素通常用小寫字母a,b,c,…表示,并用花括號括起來,元素之間用逗號分隔。例如:

?小于10的正奇數(shù)表示為集合A={1,3,5,7,9},集合A的元素為5個不同的數(shù)據(jù)。

?26個英文小寫字符表示為集合C={a,b,c,…,z},集合C的元素為26個不同的字符。

?由40個學(xué)生構(gòu)成的學(xué)生集合表示為S={s1,s2,s3,…,s40},集合S由40個不同的元素組成,每個元素表示一個學(xué)生。

?所有素數(shù)表示為集合P={2,3,5,7,…},集合P由無數(shù)個元素組成。

(3)集合與元素的關(guān)系:如果a是集合A的元素,則a屬于A,記作a∈A,也稱A包含a;如果a不是集合A的元素,則a不屬于A,記作a?A,也稱A不包含a。例如:

?小于等于5的正整數(shù)集合可以表示為B={1,2,3,4,5}。其中3是B的元素,記為3∈B;6不是B的元素,記為6?B。

?集合A={a,{b,c},d},集合A有三個元素:a,{b,c},d,因此有a∈A,{b,c}∈A,d∈A,但b?A,c?A。b,c是集合{b,c}的元素,是集合A的元素的元素。

?為了體系上的嚴(yán)謹(jǐn)性,我們規(guī)定:對任何集合A都有A?A。

(4)集合元素的基本性質(zhì):集合的元素具有無序性、可分性和互異性。

①無序性:集合中的元素是沒有先后順序的。例如:{a,b,c},{c,b,a},{b,c,a}都表示一個集合。

②可分性:集合中的元素是可以區(qū)分的。例如:集合{a,b}的元素分為a和b。

③互異性:一個集合中的元素都是不相同的,所有相同的元素均看作一個元素。例如:{b,a,b,a},{a,b}和{a,b,a}三個集合是同一個集合,只有兩個不同的元素a和b。

注意集合的元素可以是任何對象,包括其他不同的集合,但不能是集合本身。

例如:集合B={1,2,{3,4},5,6},集合B由5個元素構(gòu)成:1,2,{3,4},5,6,其中{3,4}是一個集合,它是集合B的一個元素。

2.集合的表示

集合是由它所包含的元素確定的,為了表示一個集合,可以有多種方法。

(1)列舉法:列出集合中全部元素或部分元素的方法。元素之間用逗號分隔,所有元素用花括號括起來,在能清楚地表示集合成員的情況下可使用省略號,列舉法也叫枚舉法。

(2)謂詞表示法:用謂詞來描述集合元素的屬性,是通過刻畫集合中元素所具備的某種特性來表示集合的方法。

謂詞表示法的一般形式:A={x|P(x)},其中P(x)是謂詞,描述集合A中元素x的屬性。

例3.2試用謂詞表示法表示下列數(shù)集,并說明集合所包含的元素。

①大于3并且小于等于6的所有整數(shù);

②方程x2-1=0實數(shù)解;

③小于100的所有正整數(shù);

④平方值小于12的所有正整數(shù)。

⑤所有整數(shù)Z。

⑥所有自然數(shù)的平方。

(3)文氏圖法:用平面上的圓形或其他任何封閉曲線

圍成的圖形表示一個集合,用點表示集合的元素。如圖3-1所示,一般用長方形表示我們研究的所有對象的全集,

用E或U表示;在長方形內(nèi)用圓形或其他圖形表示集合,如圖中的A集合,有時用實心點表示集合A的元素。圖3-1文氏圖

3.1.2集合之間的關(guān)系

1.相等關(guān)系

定義3.1設(shè)A,B為兩個集合,當(dāng)且僅當(dāng)A與B具有相同的元素時,稱集合A與B相等,記為A=B,否則A與B不相等,記為A≠B。

符號化表示:?x(x∈B→x∈A)同時?x(x∈A→x∈B),即對任意x,x∈B和x∈A同時成立。

根據(jù)相等關(guān)系的定義,有如下性質(zhì):

(1)自反性:對任何集合A,有A=A。

(2)傳遞性:對任何集合A,B,C,如果有A=B且B=C,則A=C。

(3)對稱性:對任何集合A,B,如果有A=B,則B=A。

例3.3-設(shè)A={1,3,5,7},B={3,5,7,1},C={{1,3},5,7},試判斷A與B,A與C,B與C的關(guān)系。

解集合A與B含有相同的元素,只是順序不同,則有A=B,B=A。

集合A含有四個元素:1,3,5,7,集合C含有三個元素:{1,3},5,7,二者具有不同的元素,所以A≠C;同理可以得出B≠C。

例3.4設(shè)集合A={x|(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0且x∈R},B={x|x∈Z+且x2<17},試分析集合A和B的元素,判斷它們之間的關(guān)系。

解集合A中滿足等式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0的x值為1,2,3,4,因此集合A={1,2,3,4},B集合中滿足x2<17的Z+只有1,2,3,4,因此集合B={1,2,3,4}。

由此可見集合A和B含有相同的元素,所以得出A=B。

2.包含關(guān)系(子集)

定義3.2設(shè)A,B為兩個集合,如果B中的每個元素都是A中的元素,則稱B是A的子集合,簡稱子集。這時也稱B被A包含或A包含B,記作B?A。若B不被A包含,記作B?A。

符號化表示:?x(x∈B→x∈A),即對任意x,如果x∈B,則x∈A;但有x∈A時,x?B存在。

根據(jù)包含關(guān)系的定義,有如下性質(zhì):

(1)自反性:對任何集合A,有A?A。即任何集合本身是它自己的子集。

(2)反對稱性:對任何集合A,B,如果有A?B且B?A,則A=B。即如果兩個集合A,B互為子集,則集合A,B相等。

(3)傳遞性:對任何集合A,B,C,如果有A?B且B?C,則A?C。

定理3.1設(shè)A,B是任意兩個集合,如果A?B且B?A,則A=B。

例3.5試判斷下列集合之間的關(guān)系:

(1)A={0,1,2},B={0,1},C={1,2};

(2)A={1,2},B={1,2,3},C={1,2,3,4};

(3)A={java,c,python},B={c,python,java}。

解(1)集合B和C中的每個元素都是集合A的元素,則有B和C均是A的子集,表示為B?A,C?A。

(2)集合A的每個元素都是集合B的元素,同樣集合B的每個元素都是集合C的元素,則有A?B且B?C,根據(jù)傳遞性可以推出A?C。

(3)集合A和集合B具有完全相同的元素,即集合A,B相等,表示為A=B,同時滿足A?B和B?A。

3.真子集關(guān)系

定義3.3

設(shè)A,B為集合,如果B?A且B≠A,則稱B是A的真子集。記為B?A或A?B。

符號化表示:

?x(x∈B→x∈A)∧?x(x∈A∧x?B)?B?A∧B≠A。

如果B不是A的真子集,記作B?A。

例3.6設(shè)集合A={a,b},B={a,b,c},試判斷集合A與B,B與B的關(guān)系。

解根據(jù)真子集的定義,有A?B∧A≠B,所以集合A是集合B的真子集;有B?B∧B=B不滿足真子集的定義,所以B是B的子集,但不是真子集。

例3.7設(shè)集合A={1,2,3},寫出A的所有子集和真子集。

解

A的子集有8個,分別為

?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3};

但A的真子集只有7個,分別為

?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}。

例3.8試分析整數(shù)集與有理數(shù)集的關(guān)系。

解由于有理數(shù)為整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱,有理數(shù)集包含整數(shù)集,所以,整數(shù)集是有理數(shù)集的真子集。

由例3.6和例3.7可知:任何一個非空集合A的所有子集,包括它的所有真子集和它本身,它的真子集一定是它的子集,它本身是它的子集,但不是真子集。

注意∈與?、?的區(qū)別:∈表示元素與集合的從屬關(guān)系,?、?與=表示集合與集合的關(guān)系。例如:a∈A表示a是集合A的一個元素;A?B表示A是B的子集,也可以說B包含A;A?B表示A是B的真子集;A=B表示A與B具有完全相同的元素。

4.空集與非空集合的關(guān)系

定義3.4不含任何元素的集合稱為空集,記為?。

空集的符號化表示:?={x|x≠x}

定理3.2空集是任何一個非空集合的子集。

即對于任意非空集合B,都有??B。

推論空集是唯一的。

例3.9設(shè)A={x|x2+2=0,x∈R},B={x|(x∈R)且(x2<0)},試列出集合A和B中的所有元素。

解集合A中,沒有一個實數(shù)x能夠使x2+2=0成立,所以A是空集,表示為A=?。

集合B中,由于任何實數(shù)的平方都是大于等于0的,所以B也是空集,表示為B=?。

注意

①{?}是一元集,而不是空集,即:?≠{?},|{?}|=1,|?|=0。

②?只有一個子集,是它本身,?沒有真子集。

5.全集

定義3.5在一個相對固定的范圍內(nèi),包含此范圍內(nèi)所

有元素的集合,稱為全集,用U或E表示。用文氏圖表示

全集E如圖3-2所示。

全集符號化表示:E={x|P(x)∧P(x)},P(x)是任意謂詞。圖3-2全集

例如:(1)英文26個小寫字符的全集為E={a,b,c,…,z}。

(2)在一個班里,學(xué)生全集包含班里所有學(xué)生。

(3)在立體幾何中,全集是由空間的全體點組成的。

注意全集的概念是相對的,一定要看具體研究對象的范圍。如上述例(1)中,研究對象的范圍是英文26個小寫字符,如果研究對象的范圍為字符,就要包括數(shù)字字符和其他字符。

3.1.3-冪集的概念

定義3.6設(shè)A為任一集合,稱A的所有不同子集構(gòu)成的集合為A的冪集,記為P(A)或2A。

冪集的符號化表示:P(A)={x|x?A}

定義3.7如果一個集合A含有n個元素,則稱集合A為n元集;一個n元集含有m(0≤m≤n)個元素的子集稱為它的m元子集。

3.2集合的運算與性質(zhì)

3.2.1集合間的運算1.并運算

定義3.8設(shè)A,B為兩個任意集合,所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合,稱為集合A與B的并運算,記作A∪B。符號化表示:A∪B={x|x∈A∨x∈B}并運算的文氏圖表示如圖3-3陰影部分所示。圖3-3

并集

并運算的性質(zhì):

(1)冪等律:對任何集合A,有A∪A=A

(2)交換律:對任何集合A,B,有A∪B=B∪A

(3)結(jié)合律:對任何集合A,B,C,有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

(5)零律:對任何集合A,有A∪E=E

例3.14設(shè)集合A={1,2,3,4},B={2,4,5},C={2,5,6},求:(1)A∪B;(2)(A∪B)∪C。

2.交運算

定義3.9設(shè)A,B為兩個任意集合,所有屬于A且屬于B的元素組成的集合,稱為集合A與B的交運算,記作A∩B。

符號化表示:A∩B={x|x∈A∧x∈B}

交運算的文氏圖表示如圖3-4陰影部分所示。圖3-4交集

交運算的性質(zhì):

(1)冪等律:對任何集合A,有A∩A=A

(2)交換律:對任何集合A,B,有A∩B=B∩A

(3)結(jié)合律:對任何集合A,B,C,有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(4)同一律:對任何集合A,有A∩E=A

(5)零律:對任何集合A,有A∩?=?

(6)A?B?A∩B=A

例3.15設(shè)集合A={0,2,4,6,8,10,12},B={1,2,3,4,5,6},C={3,4,5,6},

求:(1)A∩B;(2)A∩B∩C。

3.廣義并和廣義交

定義3.10設(shè)A為非空集合,由A的元素的元素構(gòu)成的集合稱為A的廣義并,記為∪A;由A的所有元素的公共元素構(gòu)成的集合稱為A的廣義交,記為∩A。

符號化表示:∪A={x|?z(z∈A∧x∈z)}

∩A={x|?z(z∈A→x∈z)}

例3.16設(shè)A={{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}},求∪A,∩A。

解集合A的所有元素的元素為a,b,c,d,e,f,所以∪A={a,b,c,d,e,f};

集合A的所有元素的公共元素為a,所以∩A={a}。

注意

①為了和廣義并及廣義交相區(qū)別,在此之前定義的并和交叫做初級并和初級交;

②除非特別說明,我們通常所說的并和交是指初級并和初級交。

3.差運算

定義3.11設(shè)A,B為兩個任意集合,屬于A而不屬于B的所有元素稱為B對A的相對差運算,記作A-B。

符號化表示:{x|x∈A∧x?B}={x|x∈A∧(x∈B)}

差運算的文氏圖表示如圖3-5陰影部分所示。圖3-5差集

例3.17設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6,7,8},B={2,4,6,8},求A-B。

解屬于A但不屬于B的元素為1,3,5,7,所以

A-B={1,3,5,7}

4.補運算

定義3.12設(shè)E為全集,E中不屬于A的元素的全體

稱為A的補集,記為~A,即~A=E-A。

符號化表示:~A={x|x?A∧x∈E}

集合A補運算的文氏圖表示如圖3-6陰影部分所示。圖3-6補集

補運算的性質(zhì):

(1)~E=?

(2)~?=E

(3)矛盾律:對任意給定的集合A,有A∩~A=?

(4)排中律:對任意給定的集合A,有A∪~A=E

(5)德·摩根律:對任意給定的兩個集合A和B,有

~(A∪B)=~A∩~B;~(A∩B)=~A∪~B

(6)雙重否定律:對任意給定的集合A,有~~A=A,即A的補的補是A。

例3.18設(shè)集合E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={2,4,6,8},求~B。

解從全集E中去掉集合B的所有元素,剩下的元素為0,1,3,5,7,9,所以

~B=E-B={0,1,3,5,7,9}

5.對稱差(環(huán)和運算)

定義3.13

設(shè)A,B是任意兩個集合,所有屬于A對B的補集或B對A的補集元素

組成的集合,稱為集合A,B的對稱差,記作A⊕B。

符號化表示:

A⊕B={x|((x∈A)∧(x?B))∨((x∈B)∧(x?A))}=(A-B)∪(B-A)

根據(jù)定義,下列等式成立:

A⊕B=(A∪B)-(A∩B)

A⊕B=(A-B)∪(B-A)

對稱差的文氏圖表示如圖3-7陰影部分所示。圖3-7對稱差集

對稱差運算的性質(zhì):

(1)交換律:A⊕B=B⊕A

(2)結(jié)合律:(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)

(3)同一律:A⊕?=A

(4)零律:A⊕A=?,A⊕~A=E

(5)∩對⊕可分配:A∩(B⊕C)=(A∩B)⊕(A∩C)

例3.19設(shè)集合A={0,1,2,3,4,5,6},B={2,4,6,8},求A⊕B。

解屬于A但不屬于B的元素為

6.笛卡兒積運算

大家知道,集合的元素是無序的,但有時候元素之間的次序是很重要的,所以需要用一種不同的結(jié)構(gòu)表示元素的次序,這就是有序n元組。

定義3.14有序n元組(x1,x2,x3,…,xn)是以x1為第一個元素,x2為第二個元素,…,xn為第n個元素的有序組,當(dāng)n=2時,有序二元組稱為序偶或序?qū)Α?/p>

定義3.15設(shè)A,B是任意兩個集合,所有有序偶(x,y)(其中x∈A,y∈B)的集合,稱為集合A,B的笛卡兒積,記作A×B。

符號化表示:A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}

笛卡兒積的性質(zhì):

(1)A×B≠B×A(除非A和B均為空集,或者A=B),不滿足交換律。

(2)(A×B)×C≠A×(B×C)(除非A、B和C均為空集),不滿足結(jié)合律。

(3)A×C=B×C,不能推斷出A=B,不滿足消去律。

(4)滿足以下四種分配律:

3.2.2集合運算定律

集合的運算定律(也稱集合的基本定律),是指集合交、并、補等運算的主要性質(zhì),為證明一些等式提供簡便的方法。

設(shè)集合A,B,C是全集E的任意子集,則集合運算的基本定律如下:

(1)等冪律:A∪A=A,A∩A=A

(2)交換律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A

(3)結(jié)合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

(4)同一律:A∪?=A,A∩E=A

(5)零一律:A∪E=E,A∩?=?

(6)分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

(7)吸收律:A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A

(8)矛盾律:A∩~A=?

(9)排中律(互補律):A∪(~A)=E,A∩(~A)=?

(10)雙重否定律:~(~A)=A

(11)德?摩根律:~(A∪B)=(~A)∩(~B)

~(A∩B)=(~A)∪(~B)

A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)

A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)

~?=E

~E=?

例3.22對任意集合A,B,C,求證結(jié)合律A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。

證明對于任意x∈(A∩(B∩C)),有

所以得出

例3.23-對任意集合A,B,求證吸收律A∪(A∩B)=A。

例3.24對任意集合A,B,求證德?摩根律~(A∪B)=(~A)∩(~B)。

證明這個等式兩端都是集合,需要證明等式兩端的兩個集合互相包含。

3.2.3

集合的證明方法

1.基本定義法

利用集合的定義和邏輯規(guī)律進行證明,在求證過程中,前提條件和各種集合運算的定義是各個推理步驟的依據(jù),這種方法推理比較繁瑣。

基本定義法證明的基本思想:設(shè)A,B為集合,欲證A=B,即證A?B∧B?A為真。也就是要證對于任意x有x∈A?x∈B和x∈B?x∈A成立。對于某些恒等式,可以將這兩個方向的推理合到一起,就是x∈A?x∈B。

例3.30理發(fā)師問題:在一個很偏遠(yuǎn)的孤島上,有幾戶人家,島上只有一位理發(fā)師,該理發(fā)師專給那些并且只給那些自己不刮臉的人刮臉,問:誰給這位理發(fā)師刮臉?

解設(shè)集合A={x|x是不給自己刮臉的人},b是這位理發(fā)師:

(1)如果b∈A,則b是不給自己刮臉的人;由題意知,b只給集合A中的人刮臉,所以b要給b刮臉,即b?A;

(2)如果b?A,則b是要給自己刮臉的人;由題意知,理發(fā)師只給自己不刮臉的人刮臉,所以b是不給自己刮臉的人,即b∈A;

因此,有b∈A和b?A同時成立,互相矛盾;

所以,沒有人給這位理發(fā)師刮臉。

2.公式法

公式法是利用已經(jīng)證明過的集合恒等式進行證明,證明過程中,將已知的恒等式直接代入式子得出結(jié)果。

3.集合成員表法

集合成員表是用表格的形式描述集合的元素定義、集合與集合之間的關(guān)系,它是證明集合的運算邏輯性質(zhì)的一種有效工具。下面我們先介紹如何用集合成員表表示集合之間的

關(guān)系,然后通過集合成員表進行證明。

(1)構(gòu)造集合成員表的方法和步驟。

①我們把元素與集合的從屬關(guān)系用數(shù)字0或1表示:設(shè)有任意元素x和集合A,如果元素x屬于集合A,則用數(shù)字1表示;如果元素x不屬于集合A,則用數(shù)字0表示;

②用表格表示集合交、并、差、補,得到集合的成員表,其中數(shù)字0或1稱為成員的值。

例3.36設(shè)有任意集合A和B,用集合成員表求證(A-B)∪B=A∪B。

證明將A-B,(A-B)∪B和A∪B的成員表列出,如表3-5所示。

例3.37設(shè)A,B,C為有限集合,求證“并”結(jié)合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

證明將A∪B,(A∪B)∪C),B∪C和A∪(B∪C)的成員表列出,如表3-6所示。

例3.38設(shè)任意集合A,B,C,求證A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)。

證明將B∪C,A-B,A-C,A-(B∪C)和(A-B)∩(A-C)的成員表列出,如表3-7所示。

3.3-集合中元素的計數(shù)3.3.1文氏圖法使用文氏圖可以很方便地解決有窮集合的計數(shù)問題,通常分為以下三個步驟完成:(1)根據(jù)已知條件把對應(yīng)的文氏圖畫出來,通常每一條性質(zhì)決定一個集合,如果沒有特殊說明,任何兩個集合都畫成相交的。(2)將已知集合的元素個數(shù)填入表示該集合的區(qū)域內(nèi),一般先從交集填起,根據(jù)計算的結(jié)果將數(shù)字逐步填入所有的空白區(qū)域。如果交集的數(shù)字是未知的,可以設(shè)為未知數(shù)。(3)根據(jù)題意,列出一次方程或方程組,通過求解方程,解決集合中元素的計數(shù)問題。

例3.39在20個工作人員中,有10人會英語,有8人會德語,有6人既會英語又會德語。問:

(1)會英語或會德語的人員有多少?

(2)既不會英語或又不會德語的人員有多少?

解設(shè)會英語的工作人員集合為A,會德語的工作人員集合為B。畫出集合A,B相交的文氏圖,首先填入|A∩B|=6(既會英語又會德語),然后順序填入10-6=4

(只會英語),8-6=2(只會德語),如圖3-8所示。

由圖可知:

(1)會英語或會德語的人數(shù)為|A∪B|=4+6+2=12;

(2)既不會英語或又不會德語的人數(shù)為E-|A∪B|=20-12=8。圖3-8例3.39圖3-9例3.40

例3.41在24個大學(xué)生中,有13人愛好音樂,有5人愛好美術(shù),有10人愛好足球,有9人愛好乒乓球,其中同時愛好音樂和美術(shù)的2人,愛好音樂、足球和乒乓球中任意兩項的都是4人,已知愛好美術(shù)的人既不愛好足球也不愛好乒乓球,問:

(1)只有一種愛好(音樂或美術(shù)或足球或乒乓球)的學(xué)生有多少?

(2)同時有三種愛好的學(xué)生有多少?

解設(shè)A,B,C,D分別表示愛好音樂、乒乓球、足球、美術(shù)的學(xué)生集合,同時有三種愛好的學(xué)生人數(shù)為x,只有音樂、乒乓球或足球一種愛好的學(xué)生人數(shù)分別為y1,y2,y3,畫出文氏圖,將x和y1,y2,y3-填入文氏圖中相應(yīng)的區(qū)域,根據(jù)題意,填入其他區(qū)域?qū)W生人數(shù)的文氏圖如圖3-10所