課時知能訓(xùn)練一、選擇題1．欲寄出兩封信，現(xiàn)有兩個信箱供選擇，則兩封信投到一個信箱的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4)D.eq\f(3,8)2．(2011·安徽高考改編)從正六邊形的6個頂點中隨機選擇2個頂點連成線段，則它們過正六邊形中心的概率等于()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,5)3．4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)4．(2012·深圳模擬)一名同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為x，第二次向上的點數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點落在直線2x＋y＝8上的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,12)C.eq\f(5,36)D.eq\f(1,9)5．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈(0，eq\f(π,2)]的概率是()A.eq\f(5,12)B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12)D.eq\f(5,6)二、填空題6．在集合{x|x＝eq\f(nπ,6)，n＝1,2,3，…，10}中任取一個元素，所取元素恰好滿足方程cosx＝eq\f(1,2)的概率是________．7．(2012·中山調(diào)研)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是________．圖10－2－18．如圖10－2－1所示，在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點，P、Q、M、N分別是線段OA、OB、OC、OD的中點．在A、P、M、C中任取一點記為E，在B、Q、N、D中任取一點記為F.設(shè)G為滿足向量eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))的點，則在上述的點G組成的集合中的點，落在平行四邊形ABCD外(不含邊界)的概率為________．三、解答題9．一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機投擲兩次，正四面體朝下的面上的數(shù)字分別為x1，x2，記X＝(x1－3)2＋(x2－3)2.(1)分別求出X取得最大值和最小值時的概率；(2)求X的值不小于4的概率．10．(2011·天津高考)編號分別為A1，A2，…，A16的16名籃球運動員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下：運動員編號A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834運動員編號A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格．區(qū)間[10,20)[20,30)[30,40]人數(shù)(2)從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人，①用運動員編號列出所有可能的抽取結(jié)果；②求這2人得分之和大于50的概率．11．在2011年深圳世界大學(xué)生運動會，有8名大運會志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通曉日語，B1、B2、B3通曉俄語，C1、C2通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組．(1)求A1被選中的概率；(2)求B1和C1不全被選中的概率．答案及解析1．【解析】設(shè)兩個信箱分別為A、B，則兩封信投到信箱有四種情況：AA，BB，AB，BA，其中投到一個信箱有兩種情況．故所求概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).【答案】A2．【解析】如圖所示，從6個頂點中隨機選擇2個頂點，有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}共15個基本事件．其中過中心點O的線段為BE，CF，AD有3個基本事件．∴P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).【答案】D3．【解析】從4張卡片中任取兩張的方法數(shù)為1,2；1,3；1,4；2,3；2,4；3,4，共6種．其中和為奇數(shù)的情況有1,2；1,4；2,3；3,4，共4種．∴所求概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).【答案】C4．【解析】依題意，以(x，y)為坐標(biāo)的點有6×6＝36個，其中落在直線2x＋y＝8上的點有(1,6)，(2,4)，(3,2)共3個．故所求事件的概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).【答案】B5．【解析】∵cosθ＝eq\f(m－n,\r(m2＋n2))，θ∈(0，eq\f(π,2)]，∴m≥n.m＝n的概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，m＞n的概率為eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,12)，∴θ∈(0，eq\f(π,2)]的概率為eq\f(1,6)＋eq\f(5,12)＝eq\f(7,12).【答案】C6．【解析】基本事件總數(shù)為10，滿足方程cosx＝eq\f(1,2)的基本事件數(shù)為2，故所求概率為P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).【答案】eq\f(1,5)7．【解析】設(shè)3只白球為A，B，C.1只黑球為d，則從中隨機摸出兩只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)8．【解析】基本事件的總數(shù)是4×4＝16，在eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))中，當(dāng)eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))時，點G分別為該平行四邊形的各邊的中點，此時點G在平行四邊形的邊界上，而其余情況中的點G都在平行四邊形外，故所求的概率是1－eq\f(4,16)＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)9．【解】(1)隨機投擲正四面體兩次，其所有的基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，由16個基本事件構(gòu)成，并且這些基本事件的發(fā)生是等可能的．當(dāng)x1＝x2＝1時，X取得最大值，當(dāng)x1＝x2＝3時，X取得最小值，∴X取得最大值和最小值時的概率都是eq\f(1,16).(2)記“X的值不小于4”為事件A，則A包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)共7個，∴P(A)＝eq\f(7,16).10．【解】(1)由訓(xùn)練比賽得分記錄，知分別在[10,20)，[20,30)，[30,40]內(nèi)的人數(shù)為4,6,6.(2)①得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員編號為A3，A4，A5，A10，A11，A13.從中隨機抽取2人，所有可能的抽取結(jié)果有{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}共15種．②“從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人，這2人得分之和大于50”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5種．所以P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).11．【解】(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)共18個基本事件．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的．用M表示“A1恰被選中”這一事件，則M包含以下事件(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，事件M由6個基本事件組成．因此P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).(2)用“N”表示“B1、C