專題09拋物線綜合性質(zhì)歸類一、鞏固提升練【題型一】拋物線軌跡【題型二】定義基礎(chǔ)【題型三】定義：點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離最值【題型四】定義：中點(diǎn)弦型（梯形中位線）【題型五】角度型【題型六】焦點(diǎn)弦定值【題型七】中點(diǎn)型比值最值【題型八】定比分點(diǎn)型【題型九】拋物線切線【題型十】面積最值二、能力培優(yōu)練熱點(diǎn)【題型一】拋物線軌跡知識(shí)點(diǎn)與技巧：求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.1.已知的頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則的重心G的軌跡方程為______．【答案】【分析】先設(shè)出，的坐標(biāo)，，根據(jù)重心坐標(biāo)公式可得出關(guān)系式，再利用頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)，代入即可得到軌跡方程。【詳解】設(shè)，．由點(diǎn)G為的重心，得，所以．又在拋物線上，所以，即．又點(diǎn)A不在直線BC上，所以，即，所以所求軌跡方程為．故答案為：2.已知的頂點(diǎn)、，若頂點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，則的重心的軌跡方程為_______【答案】【分析】設(shè)的重心為，設(shè)點(diǎn)，可得出，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，化簡可得出的重心的軌跡方程，再利用、、三點(diǎn)不共線，可得出，綜合可得出答案.【詳解】設(shè)的重心為，設(shè)點(diǎn)，則，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，即，可得.因?yàn)辄c(diǎn)不能在軸上，則，因此，的重心的軌跡方程為.故答案為：.3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離的差為1．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為________．【答案】，（注：也算對）【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為幾何語言，再轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言后再化簡即可.【詳解】由題意，若時(shí)，問題等價(jià)于，則，化簡得，若，也滿足題意.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，.或者根據(jù)題意有，則，化簡整理得：.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：，（注：也算對）4.若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小，則點(diǎn)的軌跡方程是__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，將條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離與它到點(diǎn)的距離相等，結(jié)合拋物線的定義即可求解點(diǎn)的軌跡方程．【詳解】點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小，點(diǎn)到直線的距離與它到點(diǎn)的距離相等，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、直線：為準(zhǔn)線的拋物線，因此，設(shè)的軌跡方程為，，可得，解得，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：．5.已知?jiǎng)訄AP與定圓C：（x+2）2+y2＝1相外切，又與直線x＝1相切，那么動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是__．【答案】y2＝﹣8x【分析】設(shè)，由兩圓位置關(guān)系、直線與圓位置關(guān)系列式化簡即可得．【詳解】設(shè)圓心P到直線x＝1的距離等于r，P（x，y），由題意可得PC＝1+r，即＝1+1﹣x，化簡可得y2＝﹣8x.故答案為：y2＝﹣8x．【題型二】定義基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)與技巧：標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下1..已知是拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若，則______．【答案】2023【分析】設(shè)，由求出，再利用拋物線的定義求解.【詳解】解:設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，所以，因此，因?yàn)?，所以，即．又由拋物線的定義，可得，所以．故答案為：20232.（2020·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線E：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF為菱形OBFC的一條對角線，另一條對角線BC的長為2，且點(diǎn)B，C在拋物線E上，則p=（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由題意，，在拋物線上，代入拋物線方程可得，即可求出的值．【詳解】解：由題意，，在拋物線上，代入拋物線方程可得，，，故選：B．3..（江蘇省無錫市江陰市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期寒假開學(xué)測試數(shù)學(xué)試題）我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)經(jīng)過拋物線這一節(jié)的學(xué)習(xí)，結(jié)合函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可求出該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).則二次函數(shù)的圖象的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將拋物線化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再根據(jù)平移左加右減上加下減原則判斷該拋物線是由怎樣平移形成的.【詳解】由拋物線知可以看做時(shí)拋物線(焦點(diǎn)坐標(biāo))先向右平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，故的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C4.（2023上·陜西漢中·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，曲線與交于點(diǎn)，軸，則.【答案】【分析】根據(jù)拋物線方程得，根據(jù)軸得，，再代入拋物線方程可求出結(jié)果.【詳解】由得，，故，因?yàn)檩S，所以，，又，所以，得，又，所以.故答案為：.【題型三】定義：點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離最值知識(shí)點(diǎn)與技巧：拋物線定義的兩種應(yīng)用：（1）實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線的定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題；（2）解決最值問題，在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.1.（2012·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)P在拋物線上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)拋物線安的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線的性質(zhì)，得到和三點(diǎn)共線且點(diǎn)在中間時(shí)距離和最小，由此求出縱坐標(biāo)，代入拋物線的方程，即可求解．【詳解】由題意，拋物線的方程為，所以，所以焦點(diǎn)，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由,依題意可知當(dāng)和三點(diǎn)共線且點(diǎn)在中間時(shí)距離和最小，如圖所示，故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入拋物線的方程，求得，所以點(diǎn)，故選A．2.（2023上·浙江嘉興·高二嘉興高級中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，則，可得出，分析可知，當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，即可得解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.3.（2023上·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，且，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，根據(jù)三點(diǎn)共線求得的最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，，則，不妨設(shè)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由于，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，所以的最小值為.故選：A

4.．（2023·全國·高二課堂例題）已知P為拋物線上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為，則的最小值為（

）A．4 B．3 C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，結(jié)合拋物線的定義可得，從而可求得答案.【詳解】由拋物線知，則，準(zhǔn)線l方程為．如圖所示，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H．

由拋物線的定義得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段AH與拋物線的交點(diǎn)（即A，P，H三點(diǎn)共線）時(shí)取等號(hào)．故的最小值為．故選：A5.（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于P的對稱點(diǎn)為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，再利用拋物線的定義結(jié)合三角不等式求解.【詳解】解：如圖，

因?yàn)椋谊P(guān)于P的對稱點(diǎn)為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點(diǎn)，所以.當(dāng)P在線段AF上時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：A【題型四】定義：中點(diǎn)弦型（梯形中位線）1.（2020·高二課時(shí)練習(xí)）P為拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)，A，B，P三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離分別是|AA1|，|BB1|，|PP1|，則有（）A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|【答案】B【解析】根據(jù)題意可得PP1是梯形AA1B1B的中位線，利用梯形的性質(zhì)以及拋物線的焦半徑公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意，PP1是梯形AA1B1B的中位線，故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.故選：B2.（2020上·福建莆田·高二校聯(lián)考期末）已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為（

）A． B．4 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析可知點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)弦長公式求.【詳解】由題意可知直線過拋物線的焦點(diǎn)，如圖，都和準(zhǔn)線垂直，并且垂直分別是，由圖象可知，根據(jù)拋物線的定義可知，，聯(lián)立得，，，.故選：B3.（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．【答案】ACD【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求得，則可判斷A正確，B錯(cuò)誤；利用斜率坐標(biāo)計(jì)算公式幾何中點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式可求得直線的斜率，從而求得的方程，可判斷C正確；，所以從而判斷D正確.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點(diǎn)，故B錯(cuò)誤則，．又是的中點(diǎn)，則，所以，即，所以直線的方程為．故C正確由，得．故D正確故選：ACD．4.（湖南省邵陽市第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，若，則直線的方程為__________．【答案】【詳解】分析：求出拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)，直線方程為，由與拋物線方程消去得關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出的坐標(biāo)，根據(jù)，利用兩點(diǎn)間的距離公式解出，進(jìn)而得到結(jié)論.詳解：拋物線方程為，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以直線的斜率，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程消去，得，，過的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，，，得到，可得，，，解之得，所以，直線方程為，即,，故答案為.【題型五】角度型1.（河南省安陽市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期階段性測試（一）數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)在C上，過P作l的垂線，垂足為Q，若，則F到l的距離為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合條件表示出的長度，然后列出方程即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，不妨令在軸上方，準(zhǔn)線l與軸交點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在C上，根據(jù)拋物線定義可得，且，則，所以為等腰三角形，且，在中，，即解得，即F到l的距離為.故選:C.2.（廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)是拋物線上不同的兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，且滿足，弦的中點(diǎn)到直線的距離記為，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求解拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)，由，根據(jù)余弦定理可得，根據(jù)拋物線定義和梯形中位線定理可得，代入，運(yùn)用基本不等式計(jì)算即可求解最小值.【詳解】拋物線，即，則焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)，由，可得，由拋物線定義可得到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，由梯形的中位線定理可得，由，可得，，得，當(dāng)且僅當(dāng)取最小值.故選：D3.（江蘇省徐州市睢寧縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為.先證明是等邊三角形，再求出，求出的值即得解.【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為.由題得,所以.因?yàn)?，所以是等邊三角?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以.所以.所以所以拋物線的方程是.故選：C4.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．3

B．2

C．1

D．【答案】A【分析】求出的長，根據(jù)拋物線的定義可得．【詳解】設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，，∴，連接，則，又，所以是正三角形，∴，準(zhǔn)線的方程是，∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為3.故選：A5.（安徽省安慶市第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，，由拋物線的定義得，再由已知條件得直線的傾斜角，斜率，由斜率公式可求得，從而得出點(diǎn)橫坐標(biāo)．【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由拋物線的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由，可知，由拋物線的定義，可知，則有，即，.由拋物線的方程可知，，設(shè)，，則有，即，因?yàn)椋式獾?，，故選：B．【題型六】焦點(diǎn)弦定值：1.（四川省攀枝花市第三高級中學(xué)校2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖所示，已知拋物線過點(diǎn)，圓.過圓心的直線與拋物線和圓分別交于，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由點(diǎn)在拋物線上求出p，焦半徑的幾何性質(zhì)有，再將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值即可，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)，16＝2p×2，則2p＝8，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，則焦點(diǎn)F(2,0)，由直線PQ過拋物線的焦點(diǎn)，則，圓C2：圓心為(2,0)，半徑1，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為13.故選：D2.（內(nèi)蒙古烏蘭察布市北京八中分校2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過且依次交拋物線及圓于點(diǎn)四點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】【詳解】，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由定義得，又，同理，當(dāng)軸時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，代入拋物線方程，得，，，綜上所述，的最小值為，故答案為.3.（2021·重慶九龍坡·統(tǒng)考）如圖，已知拋物線：和圓：，過圓圓心的直線與拋物線和圓依次交于A?C?D?B四點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圖形的特點(diǎn)將轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組求出，結(jié)合換元法即可得到，利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值.【詳解】設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，圓心為，半徑，，設(shè)，則，，.設(shè)AB所在直線方程為，聯(lián)立拋物線方程得，解得求的最小值，即的最小值，令，那么，在上大于0，在上小于0，故，故的最小值為.故選：C4.（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎本€與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線方程代入拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，然后由焦半徑公式結(jié)合基本不等式可得.【詳解】由題可知,所以有，帶入得，整理得，判別式恒成立，設(shè)，則易知，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的取值范圍為.故選：B【題型七】中點(diǎn)型比值最值1.（2023·陜西西安·統(tǒng)考練習(xí)）點(diǎn)為拋物線上的兩點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，若中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，由題意得與，的關(guān)系，在三角形中由余弦定理得與的關(guān)系，求出比值，由基本不等式求出最值即可.【詳解】設(shè)，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，取最大值1，則的最小值為1.故選：B.2.（2022上·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）是拋物線：的焦點(diǎn)，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿足，線段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出線段的長度，用余弦定理求得的長度，利用拋物線的定義以及梯形的中位線長度的計(jì)算，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合不等式即可求得其最小值.【詳解】設(shè)，，過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，如下所示：則，，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，根據(jù)梯形中位線定理可得：點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)?，所以在中，由余弦定理得，所以，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故．所以的最小值為故選：C.3．（2022·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，過線段的中點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，以為直徑的圓過點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先設(shè)出，由拋物線定義求出，勾股定理求出，結(jié)合基本不等式求出的最大值即可.【詳解】如圖，以開口向右的拋物線為例，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，設(shè)，則，以為直徑的圓過點(diǎn)，則，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，即的最大值為.故選：C.4.（2021·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N.則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】設(shè)，過A，B點(diǎn)分別作準(zhǔn)的垂線AQ，BP，由拋物線定義，得，在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式、拋物線的定義可得，從而可求得結(jié)果【詳解】設(shè)，過A，B點(diǎn)分別作準(zhǔn)的垂線AQ，BP，由拋物線定義，得，在梯形ABPQ中，.由余弦定理得，，又.得到，即的最大值為1，故選:C.【題型八】定比分點(diǎn)型1.已知A，B兩點(diǎn)在以F為焦點(diǎn)的拋物線上，并滿足，過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線對稱軸的平行線，與OA交于N點(diǎn)，則MN的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知結(jié)合拋物線的性質(zhì)，求得坐標(biāo)，進(jìn)而求得坐標(biāo)，即可得解.【詳解】由，利用拋物線的對稱性，不妨設(shè)A在第一象限，作垂直于拋物線準(zhǔn)線，垂足分別為，作于C,如圖所示，設(shè)，由拋物線的定義知,在中，，則,所以，所以直線AB的方程為,與拋物線的方程聯(lián)立得，解得，,所以，，故AB的中點(diǎn),直線OA的方程為，令，得，所以MN的長為故選：C2.．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，記，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)、，直線：，聯(lián)立拋物線可得，再由中點(diǎn)坐標(biāo)可得，從而可得，利用焦半徑公式表示和即可得解.【詳解】設(shè)、，直線：（斜率顯然不為0）.，得，顯然成立，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，所以，所以，，，所以.故選：B.3.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，設(shè)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則到軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)以及準(zhǔn)線方程，設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再由已知向量關(guān)系求出，的坐標(biāo)關(guān)系，再利用點(diǎn)，在拋物線上，聯(lián)立即可求解．【詳解】由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，，，，則由可得：，所以，解得，則到軸的距離為，故選：B．4.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，，設(shè)，為的中點(diǎn)，則到軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)以及準(zhǔn)線方程，設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再由已知向量關(guān)系求出，的坐標(biāo)關(guān)系，再利用點(diǎn)，在拋物線上，聯(lián)立即可求解．【詳解】由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，，，，則由可得：，所以，解得，則到軸的距離為，故選：C．【題型九】拋物線切線1.（2023·廣東梅州·統(tǒng)考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線段與拋物線相交于點(diǎn)，若拋物線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則拋物線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求得拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，利用直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系求解即可．.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線方程變形為，由，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，由拋物線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，得，即，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，所以，解得，所以拋物線的方程為.故選：D2.（2022上·江蘇連云港·高二校考期中）過拋物線上定點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于另外兩點(diǎn)、，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為，根據(jù)該直線與圓相切求出的值，設(shè)點(diǎn)、，求出、的值，求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，易知軸，所以，直線、的斜率必然存在，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為，即，由題意可得，解得，設(shè)點(diǎn)、，不妨設(shè)直線、的斜率分別為、，則，可得，同理，可得，直線的斜率為，易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的方程為，即.故選：B.3.（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是拋物線：上一點(diǎn)，且位于第一象限，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B．1 C．16 D．【答案】B【分析】先通過拋物線的定義求出拋物線的方程，再設(shè)，然后求出并化簡，然后求出直線AB的方程并代入拋物線方程，最后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.【詳解】如示意圖，由拋物線的定義可知點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，則，即拋物線，則.設(shè)，則.由，則，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在這兩條直線上，所以，于是點(diǎn)A,B都在直線上，即，代入拋物線方程并化簡得：，由根與系數(shù)的關(guān)系可知.于是.故選：B.4.（2022·四川涼山·統(tǒng)考）拋物線，直線與交于（左側(cè)為，右側(cè)為）兩點(diǎn)，若拋物線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直線與拋物線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)可求得拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，由切線斜率可構(gòu)造方程求得.【詳解】聯(lián)立，解得：或，，由拋物線方程得：，，，，解得：.故選：D.5.（2022下·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）過點(diǎn)P作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，若的重心坐標(biāo)為，且P在拋物線上，則D的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，聯(lián)立方程求出，再由重心坐標(biāo)公式的得出，最后由求出D的焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)，，由可得故，即①，同理②聯(lián)立①②可得，則所以，即，解得故，則，D的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：A【題型十】面積最值1.（2021上·福建南平·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）直線與拋物線相交與兩點(diǎn)，若(是坐標(biāo)原點(diǎn)），則面積的最小值為（

）A．32 B．24 C．16 D．8【答案】C【分析】由題意，設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式即可求解．【詳解】解：由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得，因?yàn)槭亲鴺?biāo)原點(diǎn)），所以設(shè)直線的方程為，同理可得，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最小值為16.故選：C．2.（2022上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）已知拋物線，過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】設(shè)，，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，，利用弦長公式和距離公式得到的面積，求面積的最小值即可，注意討論不存在的情況.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)的方程為，所以，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程可化為，設(shè)，，則，，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以，綜上所述（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值是1，故選：B3.（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，過拋物線的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦,交拋物線于A、B兩點(diǎn)．則△AOB面積的最小值為．【答案】4p2【分析】第一步設(shè)出直線AB，會(huì)得到恒過定點(diǎn)，第二步面積拆分：，就會(huì)得到面積的最小值.【詳解】解：設(shè)設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立得根與系數(shù)的關(guān)系得：，代入直線因?yàn)樗缘玫盟灾本€，恒過由題意畫圖如下：AB恒過定點(diǎn)M．所以又，所以因?yàn)椋谑?故S△AOB的最小值為4p2．故答案為：4p2.4.（2020·全國·高二假期作業(yè)）已知、為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足(為拋物線的焦點(diǎn))，延長、分別交拋物線于點(diǎn)、，則四邊形面積的最小值為【答案】【解析】設(shè)、，直線的斜率一定存在，有對稱性不妨設(shè)，方程，代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，由弦長公式求得弦長，同理求得弦長（直線斜率為），計(jì)算四邊形面積為，用基本不等式求得最小值．【詳解】設(shè)、，則直線的斜率一定存在，有對稱性不妨設(shè)，過焦點(diǎn)，則直線方程，代入拋物線化簡得，，，，∵，則直線的斜率，從而的方程為，同理，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴四邊形面積的最小值為.故答案為：321.（上海市松江二中2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）動(dòng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)，則點(diǎn)P和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是________．【答案】【分析】設(shè)，且點(diǎn)P和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為，由，且，消去參數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，且點(diǎn)P和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為，則，且，所以，因此，即，所以點(diǎn)P和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是，故答案為：.2.2.（2021上·黑龍江大慶·高二鐵人中學(xué)校考階段練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則實(shí)數(shù).【答案】【分析】先把拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，運(yùn)用a表示出p，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】拋物線，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，∴或，解得，故答案為：.3.（2023·浙江·校聯(lián)考）已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】由題意可得：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)動(dòng)點(diǎn)直線的距離分別為，點(diǎn)到直線的距離分別為，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)到直線的垂線上且在與之間時(shí)，等號(hào)成立，動(dòng)點(diǎn)到直線直線的距離之和的最小值是3.故選：B.4.（內(nèi)蒙古赤峰二中2022屆高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（文)試題）拋物線的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為__________．【答案】1【分析】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．【詳解】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|。在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab。配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值為1．故答案為：1．5.（湖北省孝感市部分校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A在C上，于點(diǎn)B，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖示，求出拋物線的準(zhǔn)線和焦點(diǎn)，利用拋物線定義可知，可推出，從而求得，解直角三角形即可求得答案.【詳解】設(shè)拋物線準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為D，焦點(diǎn)，由于點(diǎn)A在C上，，故,因?yàn)椋?，而x軸，所以,而,所以，故選：B6.（四川省廣安市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期“零診”考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，且，則（

）A