解決彈簧類問題常用的幾種模型河北南宮中學(xué)馬立收〔055750〕彈簧問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考中，是由于彈簧和與其相連的物體構(gòu)成的系統(tǒng)相互作用時涉及到的物理規(guī)律比擬多、運(yùn)動狀態(tài)比擬復(fù)雜、隱含條件比擬隱蔽。彈簧問題能考察學(xué)生分析物理過程、建立物理模型的能力，對學(xué)生思維習(xí)慣、知識遷移的要求也比擬高。彈簧類問題題型多樣，但用模型法分析彈簧與其相連的物體還是有章可循的。一、彈簧與其相連的物體處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)的模型彈簧處于壓縮或伸長時彈力沿彈簧方向，利用胡克定律和平衡條件是解決此類問題的根本方法。有時要利用彈簧的彈力不突變的特點(diǎn)來解題。例1．如圖1，小球重為G，固定在半徑為R的大環(huán)上。輕彈簧原長為L〔L＜2R〕其勁度系數(shù)為K，接觸面光滑。求小環(huán)靜止時彈簧與豎直方向的夾角。解析以小球?yàn)檠芯繉ο笫芰θ鐖D2，假設(shè)圖1彈簧處于壓縮狀態(tài)，那么小球與環(huán)的彈力無論向里還是向外均無法平衡。所以彈簧一定處于伸長狀態(tài)。由圖T′在N、圖2mg的角平分線上，根據(jù)平衡條件：F=2mgcos=1\*GB3①由胡克定律可得：F=Kx=K〔2Rcos-L〕=2\*GB3②由以上兩式得=arccos例2．如圖3所示，質(zhì)量為ｍ的小球在不可伸長的繩ＡＣ和輕彈簧ＢＣ作用下靜止，且ＡＣ＝ＢＣ，∠BAC=θ。求突然在小球附近剪斷繩子時，小球的加速度。圖3解析小球平衡時水平方向：Tcosθ=Tcosθ=1\*GB3①豎直方向：Tsinθ+Tsinθ=ｍｇ=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得：T=T=所以剪斷后F=T=得ａ=方向沿AC向下。例3．如圖4，質(zhì)量為ｍ1、ｍ2的木塊用一根原長為L勁度系數(shù)為K的輕彈簧相連，木塊與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用一水平力向右拉木塊2。圖4求當(dāng)兩木塊一起勻速運(yùn)動時，兩木塊之間的距離。解析選取適當(dāng)對象利用平衡條件求解。以木塊1為研究對象μm1g=Kx得x=∴S=L+二、彈簧與其相連的物體處于勻變速直線運(yùn)動狀態(tài)的模型抓住運(yùn)動過程中彈簧彈力為一變量的特征，充分挖掘隱含條件，利用牛頓運(yùn)動定律和胡克定律解題。例4．勁度系數(shù)為K的彈簧掛在天花板的o點(diǎn)，下端掛一質(zhì)量為m的物體用托盤拖著，使彈簧位于原長。然后使其一加速度a由靜止開始勻加速下降，求物體勻加速下降的時間。解析以木塊為研究對象，木塊下降過程中彈簧彈力隨x的增大而增大，托盤的支持力N之減小。隱含條件：當(dāng)N=0時為勻加速的末態(tài)，設(shè)此時彈簧伸長量為x，有mg-Kx=ma=1\*GB3①x=at=2\*GB3②由①②可得t=三、彈簧與其相連的物體處于簡諧運(yùn)動〔或簡諧運(yùn)動的一局部〕的模型彈簧與其相連的物體做簡諧運(yùn)動時具有對稱性，利用簡諧運(yùn)動的對稱性是解決此類問題的有效手段。例5．如圖5示，一質(zhì)量為M的塑料球型容器，在A處與水平面接觸。它的內(nèi)部有一直立的輕彈簧，彈簧下端固定于容器內(nèi)部底部，上端系一帶正電、質(zhì)量為m的小球在豎直方向振動。當(dāng)加一向上的勻強(qiáng)電場后，彈簧正好在原長時，小球正好有最大速度，在振動的過程中球型容器對桌面的最小圖5壓力為0。求小球振動的最大加速度和容器對桌面的最大壓力。解析小球受重力、彈力和電場力，在豎直方向作簡諧運(yùn)動。要抓住簡諧運(yùn)動的對稱性。彈簧原長時有最大速度，即此位置為簡諧運(yùn)動的平衡位置，此時有qE=mg①最高點(diǎn)時對容器有Kx=Mg②對小球有F=mg+Kx-qE③由①②③得F=Mg即最大加速度為a==由簡諧運(yùn)動的對稱性知，小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)具有大小相等的加速度。最低點(diǎn)時對小球有Kx′-mg+qE=ma得Kx′=Mg此時容器對桌面有最大壓力：F=Mg+Kx′=2Mg例6．彈簧勁度系數(shù)為K，物塊重為m，彈簧立在水平面上，下端固定，上端固定一輕圓盤，物塊放于盤中，如圖6示?，F(xiàn)給物塊一個向下的壓力F，當(dāng)物塊靜止時撤去外力，在運(yùn)動過程中物塊正好不離開盤。求：⑴給物塊所加的向下的壓力F⑵在運(yùn)動過程中盤對物體的最大作用力圖6解析⑴物塊在豎直面內(nèi)受重力、彈力的作用作簡諧運(yùn)動。由物塊正好不離開盤知簡諧運(yùn)動的最高點(diǎn)時，N=0彈簧恰處于原長，所以有F=mg由對稱性知最低點(diǎn)時F=Kx-mg=mg∴Kx=2mg物塊靜止在最低點(diǎn)時有F+mg=Kx∴F=mg⑵在最低點(diǎn)時盤對物體的支持力最大，有F－mg=F＝mg得F=mg顯然，分析簡諧運(yùn)動的對稱性是解決此類問題的關(guān)鍵所在。例7．一根輕彈簧豎直放在水平地面上，一個物體從高處自由下落到彈簧上部。當(dāng)彈簧被壓縮x0時物塊速度變?yōu)?，物塊的速率v隨下降位移x的變化情況與下面四個圖象中比擬一致的是：〔〕解析設(shè)物塊下落接觸彈簧時的速度為v0，之后的一段運(yùn)動為簡諧運(yùn)動的一局部，Kx=mg的位置為平衡位置，有最大速度。根據(jù)簡諧運(yùn)動的對稱性，速度從v0→vm→v0為一對稱過程，兩位移相等，再從v0→0物塊有下落一段位移，∴速度到達(dá)vm時還未到處，排除B、D項(xiàng)。容易判斷圖象非線性，排除A、B項(xiàng)，故C項(xiàng)正確。四、彈簧與其相連的物體處于非勻變速直線運(yùn)動狀態(tài)的模型在此模型的問題中，彈簧的彈性勢能和其他形式的能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，考慮功能關(guān)系是解決此類問題的根本思路。例8．如圖，固定的水平光滑金屬導(dǎo)軌間距為L，左端接有阻值為R的電阻，處在方向豎直向下磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒與固定彈簧相連，放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒的電阻均可忽略。初始時刻彈簧恰處于自然狀態(tài)，導(dǎo)體棒具有水平向右的初速度v0，在沿導(dǎo)軌往復(fù)運(yùn)動的過程中，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直并保持接觸良好。⑴假設(shè)導(dǎo)體棒從初始時刻到速度第一次為0時，彈簧的彈性勢能為Ep，那么這一過程中安培力所做的功W1和電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q分別為多少？⑵導(dǎo)體棒往復(fù)運(yùn)動，最終將靜止在何處？從導(dǎo)體棒開始運(yùn)動到最終靜止的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為多少？解析導(dǎo)體棒受