2024屆山東省錦澤技工學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，，都為正數(shù)，那么，用反證法證明“三個數(shù)，，至少有一個不小于2”時，做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)是（）A．這三個數(shù)都不大于2 B．這三個數(shù)都不小于2C．這三個數(shù)至少有一個不大于2 D．這三個數(shù)都小于22．某班級有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學(xué)生分別擔(dān)任班長、副班長、團(tuán)支部書記和體育班委.男生當(dāng)選的人數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．3．已知命題R，使得是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．命題：“R，”的否定是“R，”，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．4．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.35．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A． B． C． D．6．已知，，，（e為自然對數(shù)的底）則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．7．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．8．已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，平面，，，，則球的體積為（）A． B． C． D．9．利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量X與Y是否有關(guān)系時，通過查閱下表來確定“X和Y有關(guān)系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”的百分比為()P(K2>k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.83A．25% B．95%C．5% D．97.5%10．中，，且，點滿足，則A． B． C． D．11．方程至少有一個負(fù)根的充要條件是A． B． C． D．或12．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．1 C．2 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，，則__________．14．在ΔABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，D是AB的中點，若CD=1且(a-15．李華經(jīng)營了甲、乙兩家電動轎車銷售連鎖店，其月利潤(單位：元)分別為，(其中x為銷售輛數(shù))，若某月兩連鎖店共銷售了110輛，則能獲得的最大利潤為______元．16．曲線在點處的切線方程為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點，使得平面？不需說明理由．18．（12分）已知集合，集合是集合S的一個含有8個元素的子集.（1）當(dāng)時，設(shè)，①寫出方程的解（）；②若方程至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值；（2）證明：對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點是曲線上一點，若點到曲線的最小距離為，求的值．20．（12分）(1)已知可逆矩陣的逆矩陣為，求的特征值.(2)變換是逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的變換矩陣是：變換對應(yīng)用的變換矩陣是，求函數(shù)的圖象依次在，變換的作用下所得曲線的方程.21．（12分）如圖，已知橢圓與橢圓的離心率相同．（1）求的值；（2）過橢圓的左頂點作直線，交橢圓于另一點，交橢圓于兩點（點在之間）．①求面積的最大值（為坐標(biāo)原點）；②設(shè)的中點為，橢圓的右頂點為，直線與直線的交點為，試探究點是否在某一條定直線上運動，若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由．22．（10分）已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(Ⅱ)若存在兩個極值點,,證明:.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：利用反證法和命題的否定分析解答.詳解：“三個數(shù)，，至少有一個不小于2”的否定是“這三個數(shù)都小于2”，所以做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)是這三個數(shù)都小于2.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)三個數(shù)a,b,c至少有一個不小于m的否定是三個數(shù)都小于m.2、C【解題分析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學(xué)期望.詳解：由題得所以故答案為：C點睛：（1）本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力.(2)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望3、C【解題分析】

利用復(fù)合命題的真值表進(jìn)行判斷即可，注意中的冪函數(shù)的系數(shù)為1，而中的小于的否定是大于或等于．【題目詳解】命題令，解得，則為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因此是真命題，命題“，”的否定是“，”，因此是假命題，四個選項中的命題為真命題的是，其余的為假命題，故選C．【題目點撥】（1）冪函數(shù)的一般形式是，而指數(shù)函數(shù)的一般形式是；（2）我們要熟悉常見詞語的否定，若“大于”的否定是“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”，“至少有一個”的否定是“一個都沒有”等．4、B【解題分析】分析：判斷出為二項分布，利用公式進(jìn)行計算即可．或，,可知故答案選B.點睛：本題主要考查二項分布相關(guān)知識，屬于中檔題．5、A【解題分析】

求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．【題目詳解】函數(shù)，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選：A．【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)值的運算，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

根據(jù)條件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【題目詳解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故選：A．【題目點撥】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的換底公式，考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

先求出的定義域,再利用同增異減以及二次函數(shù)的圖像判斷單調(diào)區(qū)間即可.【題目詳解】令,得f(x)的定義域為,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律,即求函數(shù)在上的減區(qū)間,根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知為函數(shù)的減區(qū)間.故選：B【題目點撥】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等,屬于基礎(chǔ)題型.8、B【解題分析】

根據(jù)所給關(guān)系可證明，即可將三棱錐可補(bǔ)形成長方體，即可求得長方體的外接球半徑，即為三棱錐的外接球半徑，即可得球的體積.【題目詳解】因為平面BCD，所以，又AB=4，，所以，又，所以，則．由此可得三棱錐可補(bǔ)形成長方體如下圖所示：設(shè)長方體的外接球半徑為，則，所以球的體積為，故選:B.【題目點撥】本題考查了三棱錐外接球體積的求法，將三棱錐補(bǔ)全為棱柱是常用方法，屬于中檔題.9、D【解題分析】∵k＞5.024，而在觀測值表中對應(yīng)于5.024的是0.025，∴有1-0.025=97.5%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”，

故選D．10、D【解題分析】分析：以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算即可求解．詳解：由題意，以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點，則，又由，所以，即，所以，所以，故選D．點睛：本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示與向量的坐標(biāo)運算問題，其中恰當(dāng)?shù)慕⒅苯亲鴺?biāo)系，求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的運算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力．11、C【解題分析】試題分析：①時，顯然方程沒有等于零的根．若方程有兩異號實根，則；若方程有兩個負(fù)的實根，則必有．②若時，可得也適合題意．綜上知，若方程至少有一個負(fù)實根，則．反之，若，則方程至少有一個負(fù)的實根，因此，關(guān)于的方程至少有一負(fù)的實根的充要條件是．故答案為C考點：充要條件，一元二次方程根的分布12、D【解題分析】

已知x，y滿足約束條件，畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣2x，求出z與y軸截距的最大值，從而進(jìn)行求解；【題目詳解】∵x，y滿足約束條件，畫出可行域，如圖：由目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣2x的幾何意義可知，z在點A出取得最大值，A（﹣3，﹣2），∴zmax＝﹣2﹣2×（﹣3）＝4，故選：D．【題目點撥】在解決線性規(guī)劃的小題時，常用步驟為：①由約束條件畫出可行域?②理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找出最優(yōu)解的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值；也可將可行域各個角點的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，驗證，求出最值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】分析：運用向量坐標(biāo)的求法以及向量的模長公式即可.詳解：點，，，.故答案為5.點睛：向量的坐標(biāo)運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進(jìn)行．若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．14、15【解題分析】

由題意及正弦定理得到a2+b2-c2=ab2，于是可得cosC=14，sin【題目詳解】如圖，設(shè)∠CDA=θ，則∠CDB=π-θ,在ΔCDA和ΔCDB中，分別由余弦定理可得cosθ=兩式相加，整理得c2∴c2由(a-12b)整理得a2由余弦定理的推論可得cosC=a2把①代入②整理得a2又a2+b所以4≥2ab+ab2=所以SΔABC即ΔABC面積的最大值是155故答案為155【題目點撥】本題考查解三角形在平面幾何中的應(yīng)用，解題時注意幾何圖形性質(zhì)的合理利用．對于三角形中的最值問題，求解時一般要用到基本不定式，運用時不要忽視等號成立的條件．本題綜合性較強(qiáng)，考查運用知識解決問題的能力和計算能力．15、33000【解題分析】

設(shè)其中一家連鎖店銷售輛，則另一家銷售輛，再列出總利潤的表達(dá)式，是一個關(guān)于的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最大值即可．【題目詳解】依題意，可設(shè)甲這一家銷售了輛電動車，則乙這家銷售了輛電動車，總總利潤，所以，當(dāng)時，取得最大值，且，故答案為.【題目點撥】本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查二次函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)的解析式，考查學(xué)生的應(yīng)用能力，屬于中等題．16、【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運用斜截式方程可得切線的方程．【題目詳解】曲線y＝（1﹣3a）ex在點（1，1），可得：1＝1﹣3a，解得a＝1，函數(shù)f（x）＝ex的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝ex，可得圖象在點（1，1）處的切線斜率為1，則圖象在點（1，1）處的切線方程為y＝x+1，即為x﹣y+1＝1．故答案為：x﹣y+1＝1．【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，正確求導(dǎo)和運用斜截式方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析（2）（3）不存在【解題分析】

（1）根據(jù)平行四邊形求得，再利用線面平行的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夾角公式求得余弦值；（3）求得平面的法向量，證明得出平面與平面不可能垂直，得出不存在點G.【題目詳解】解：（1）因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為，所以平面．（2）在平面ABEF內(nèi)，過A作，因為平面平面，，，所以，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得，，，，，．所以，．設(shè)平面的法向量為則即令，則，，所以平面的一個法向量為則．所以二面角的余弦值．（3）線段上不存在點，使得平面，理由如下：解法一：設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以．因為，所以平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點，使得平面．解法二：線段上不存在點，使得平面，理由如下：假設(shè)線段上存在點，使得平面，設(shè)，其中．設(shè)，則有，所以，，，從而，所以．因為平面，所以．所以有，因為上述方程組無解，所以假設(shè)不成立．所以線段上不存在點，使得平面．【題目點撥】本題目主要考查了線面平行的判定，以及利用空間向量求二面角和線面垂直的方法，解題的關(guān)鍵是在于平面的法向量的求法，運算量較大，屬于中檔題.18、（1）①②4，6.（2）證明見詳解.【解題分析】

（1）①根據(jù)兩個元素之差為3，結(jié)合集合的元素，即可求得；②根據(jù)題意要求，寫出集合X中從小到大8個數(shù)中所有的差值（限定為正數(shù)）的可能，計算每個差值出現(xiàn)的次數(shù)，即可求得；（2）采用反證法，假設(shè)不存在滿足條件的k，根據(jù)差數(shù)的范圍推出矛盾即可.【題目詳解】（1）①方程的解有：.②以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1,3,2,4,2,3,1；中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4,5,6,6,5,4；中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6,9,8,9,6；中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：10,11,11,10；中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差：12,14,12；中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差：15,15；中間相隔六數(shù)的兩數(shù)差：16.這28個差數(shù)中，只有4出現(xiàn)3次、6出現(xiàn)4次，其余都不超過2次，所以k的可能取值有4，6.（2）證明：不妨設(shè)，記，，共13個差數(shù).假設(shè)不存在滿足條件的k，則這13個數(shù)中至多兩個1、兩個2、兩個3、兩個4、兩個5、兩個6，從而①又，這與①矛盾.故假設(shè)不成立，結(jié)論成立.即對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.【題目點撥】本題考查集合新定義問題，涉及反證法的使用，本題的關(guān)鍵是要理解題意，小心計算，大膽求證.19、（1），；（2）或【解題分析】

分析：（1）由曲線的參數(shù)方程，利用代入法消去參數(shù)，可得的普通方程，由曲線的極坐標(biāo)方程得，利用互化公式可得的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線上任意一點為，，利用點到直線距離公式結(jié)合輔助角公式，由三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.詳解：（1）由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，可得的普通方程為：．由曲線的極坐標(biāo)方程得，，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)曲線上任意一點為，，則點到曲線的距離為．∵，∴，，當(dāng)時，即；當(dāng)時，．∴或．點睛：參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式，等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題．20、（1），.（2）【解題分析】

(1)根據(jù)得出的逆矩陣，結(jié)合特征值的性質(zhì)即可求解;(2)先求出,再求點的變換，從而利用函數(shù)求出變換作用下所得曲線的方程.【題目詳解】（1）解：由可知，所以，，所以，；所以，，由，，.（2）.設(shè)變換后圖像上任一點，與之對應(yīng)的變換前的點是，則，也就是，即，所以所求曲線的方程是.【題目點撥】本題主要考查了逆矩陣、特征值以及矩陣變換等知識，意在考查運算求解能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）①；②點在定直線上【解題分析】

（1）利用兩個橢圓離心率相同可構(gòu)造出方程，解方程求得結(jié)果；（2）①當(dāng)與軸重合時，可知不符合題意，則可設(shè)直線的方程：且；設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程可求得，則可將所求面積表示為：，利用換元的方式將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的求解，從而求得