2024屆河北省衡水市衡水中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則等于（）A．-3 B．2 C．3 D．83．用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．4．下面給出了四種類比推理：①由實(shí)數(shù)運(yùn)算中的類比得到向量運(yùn)算中的；②由實(shí)數(shù)運(yùn)算中的類比得到向量運(yùn)算中的；③由向量的性質(zhì)類比得到復(fù)數(shù)的性質(zhì)；④由向量加法的幾何意義類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義；其中結(jié)論正確的是A．①② B．③④ C．②③ D．①④5．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，其中m為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）6．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第四象限7．函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，若定點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A．13 B．14 C．16 D．128．已知展開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同，且,若,則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)()A．32 B．24 C．4 D．89．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件“第一次取到的是偶數(shù)”，“第二次取到的是偶數(shù)”，則（）A． B． C． D．10．設(shè)，則“”是“”成立的（）A．充要不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充要也不必要條件11．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則的通項(xiàng)公式可能是（）A． B． C． D．12．已知二項(xiàng)式，且，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等差數(shù)列的公差為，若的方差為1，則=________．14．有3名大學(xué)畢業(yè)生，到5家招聘員工的公司應(yīng)聘，若每家公司至多招聘一名新員工，且3名大學(xué)畢業(yè)生全部被聘用，若不允許兼職，則共有________種不同的招聘方案．(用數(shù)字作答)15．觀察如圖等式，照此規(guī)律，第個(gè)等式為_(kāi)_____.16．給出下列4個(gè)命題：①若函數(shù)f(x)在(2015,2019)上有零點(diǎn)，則一定有f(2015)?f(2019)<0；②函數(shù)y=x+|x-4|③若函數(shù)f(x)=lg(ax2+5x+4)的值域?yàn)镽④若函數(shù)f(x)滿足條件f(x)-4f(1x)=x,(x∈R,x≠0)，則|f(x)|其中正確命題的序號(hào)是：_____.（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，函數(shù).（1）若，極大值；（2）若無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，，求證：.18．（12分）某校倡導(dǎo)為特困學(xué)生募捐，要求在自動(dòng)購(gòu)水機(jī)處每購(gòu)買(mǎi)一箱礦泉水，便自覺(jué)向捐款箱中至少投入一元錢(qián).現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和收入情況，列表如下：售出水量（單位：箱）76656收入（單位：元）165142148125150學(xué)校計(jì)劃將捐款以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元；綜合考核21～50名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎(jiǎng)學(xué)金.（1）若售出水量箱數(shù)與成線性相關(guān)，則某天售出9箱水時(shí)，預(yù)計(jì)收入為多少元？（2）甲乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，已知甲乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)學(xué)金相互獨(dú)立，求甲乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：回歸直線方程，其中，.19．（12分）(1)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角.設(shè)與圓相交與兩點(diǎn)A，B，求點(diǎn)P到兩點(diǎn)的距離之積.(2)在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為，直線的方程為.①若直線過(guò)圓C的圓心，求實(shí)數(shù)的值；②若，求直線被圓C所截得的弦長(zhǎng).20．（12分）為調(diào)查某小區(qū)居民的“幸福度”．現(xiàn)從所有居民中隨機(jī)抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉），若幸福度分?jǐn)?shù)不低于8.5分，則稱該人的幸福度為“幸?！保?）求從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人為“幸?！钡母怕?；（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)小區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該小區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記表示抽到“幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差．21．（12分）觀察下列等式:；；；；；(1)猜想第n(n∈N*)個(gè)等式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.22．（10分）如圖，已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率都存在．（1）若直線過(guò)原點(diǎn)，求證：為定值；（2）若直線不過(guò)原點(diǎn)，且，試探究是否為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

試題分析：由圖象可知又，又，.，又，所以，由，得，則的對(duì)稱中心坐標(biāo)為.考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的性質(zhì)；2.三角函數(shù)圖像的性質(zhì).【方法點(diǎn)睛】根據(jù)，的圖象求解析式的步驟：1．首先確定振幅和周期，從而得到與；2．求的值時(shí)最好選用最值點(diǎn)求，峰點(diǎn)：，；谷點(diǎn)：，，也可用零點(diǎn)求，但要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn)，升零點(diǎn)(圖象上升時(shí)與軸的交點(diǎn))：，；降零點(diǎn)(圖象下降時(shí)與軸的交點(diǎn))：，．2、C【解題分析】

配湊成可用基本不等式的形式。計(jì)算出最值與取最值時(shí)的x值?！绢}目詳解】當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即【題目點(diǎn)撥】在使用均值不等式時(shí)需注意“一正二定三相等”缺一不可。3、B【解題分析】分析：分析，時(shí)，左邊起始項(xiàng)與終止項(xiàng)，比較差距，得結(jié)果.詳解：時(shí)，左邊為,時(shí)，左邊為,所以左邊需添加的項(xiàng)是，選B.點(diǎn)睛：研究到項(xiàng)的變化，實(shí)質(zhì)是研究式子變化的規(guī)律，起始項(xiàng)與終止項(xiàng)是什么，中間項(xiàng)是如何變化的.4、D【解題分析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行判斷．【題目詳解】①設(shè)與的夾角為，則，，則成立；②由于向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，設(shè)，，所以，表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，不一定成立；③設(shè)復(fù)數(shù)，則，是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以不一定成立；④由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)可表示的為向量，所以，由向量加法的幾何意義類比可得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義，這個(gè)類比是正確的．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)與向量、向量與復(fù)數(shù)之間的類比推理，在解這類問(wèn)題時(shí)，除了考查條件的相似性之外，還要注意定義的理解，考查邏輯推理能力，屬于中等題．5、B【解題分析】

整理復(fù)數(shù)為的形式，根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】i對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，因此有，即，故選B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

由復(fù)數(shù)的乘法除法運(yùn)算求出，進(jìn)而得出答案【題目詳解】由題可得，在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)為，位于第二象限，，故A,C,D錯(cuò)誤；，，故B正確；【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題．7、D【解題分析】

分析：利用指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)可求得定點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，結(jié)合題意，利用基本不等式可得結(jié)果.詳解：時(shí)，函數(shù)值恒為，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，，又，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），所以，的最小值為，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.8、B【解題分析】

先由二項(xiàng)展開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同，求出；再由求出，由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同，所以，因此，又，所以，令，則，又，所以，因此，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由得，因此展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.9、B【解題分析】分析：事件A發(fā)生后，只剩下8個(gè)數(shù)字，其中只有3個(gè)偶數(shù)字，由古典概型概率公式可得．詳解：在事件A發(fā)生后，只有8個(gè)數(shù)字，其中只有3個(gè)偶數(shù)字，∴．故選B．點(diǎn)睛：本題考查條件概率，由于是不放回取數(shù)，因此事件A的發(fā)生對(duì)B的概率有影響，可考慮事件A發(fā)生后基本事件的個(gè)數(shù)與事件B發(fā)生時(shí)事件的個(gè)數(shù)，從而計(jì)算概率．10、C【解題分析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)一正一負(fù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選C．考點(diǎn)：充分必要條件．11、D【解題分析】

由等差數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化為，故，分析即得解【題目詳解】由題意，等差數(shù)列，且可得故所以當(dāng)時(shí)，則的通項(xiàng)公式可能是故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.12、D【解題分析】

把二項(xiàng)式化為，求得其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，求得，再令，求得，進(jìn)而即可求解．【題目詳解】由題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得，即，解得，所以二項(xiàng)式為，則，令，即，則，所以．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中把二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)式通項(xiàng)，合理賦值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題意得，因此14、【解題分析】分析：根據(jù)排列定義求結(jié)果.詳解：將5家招聘員工的公司看作5個(gè)不同的位置，從中任選3個(gè)位置給3名大學(xué)畢業(yè)生，則本題即為從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的排列問(wèn)題．所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60(種)．點(diǎn)睛：本題考查排列定義，考查基本求解能力.15、.【解題分析】分析：由題意結(jié)合所給等式的規(guī)律歸納出第個(gè)等式即可.詳解：首先觀察等式左側(cè)的特點(diǎn)：第1個(gè)等式開(kāi)頭為1，第2個(gè)等式開(kāi)頭為2，第3個(gè)等式開(kāi)頭為3，第4個(gè)等式開(kāi)頭為4，則第n個(gè)等式開(kāi)頭為n，第1個(gè)等式左側(cè)有1個(gè)數(shù)，第2個(gè)等式左側(cè)有3個(gè)數(shù)，第3個(gè)等式左側(cè)有5個(gè)數(shù)，第4個(gè)等式左側(cè)有7個(gè)數(shù)，則第n個(gè)等式左側(cè)有2n-1個(gè)數(shù)，據(jù)此可知第n個(gè)等式左側(cè)為：，第1個(gè)等式右側(cè)為1，第2個(gè)等式右側(cè)為9，第3個(gè)等式右側(cè)為25，第4個(gè)等式右側(cè)為49，則第n個(gè)等式右側(cè)為，據(jù)此可得第個(gè)等式為.點(diǎn)睛：歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．16、④【解題分析】

舉出特例，如fx=(x-2017)2-1，即可判斷①為假；根據(jù)定義域先將原函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)奇偶性的定義，即可判斷②為假；根據(jù)函數(shù)f(x)=lgax2+5x+4的值域?yàn)椤绢}目詳解】①若fx=(x-2017)2-1，則fx在2015,2019上有零點(diǎn)，此時(shí)②由9-x2>0得-3<x<3，所以y=所以函數(shù)y=x+③若函數(shù)f(x)=lgax當(dāng)a=0時(shí)，顯然成立.當(dāng)a≠0時(shí)，則二次函數(shù)y=ax2+5x+4即Δ=25-16a≥0a>0解得0<a≤所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0≤a≤2516④因?yàn)閒(x)-4f1x=x，所以有f可得f(x)=-115x+所以fx當(dāng)x>0時(shí)，x+4當(dāng)x<0時(shí)，x+4所以fx=115故答案為④【題目點(diǎn)撥】本題主要考查命題真假的判定，熟記零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)奇偶性的概念、對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)、以及解方程組法求函數(shù)解析式等即可，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解題分析】分析：（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可知的極大值為；（2），就分類討論即可；（3）根據(jù)可以得到，因此原不等式的證明可化為，可用導(dǎo)數(shù)證明該不等式.詳解:（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的極大值為.（2），①若時(shí)，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，∵，，∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；②若，有唯一零點(diǎn)；③若，令，得，在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無(wú)零點(diǎn)，須使，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）由已知得，所以，故等價(jià)于即．不妨設(shè)，令，，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，所以即，也就是，故原不等式成立．點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，應(yīng)該根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理來(lái)說(shuō)明．而要證明零點(diǎn)滿足的不等式，則需要根據(jù)零點(diǎn)滿足的等式構(gòu)建新的目標(biāo)等式，從而把要求證的不等式轉(zhuǎn)化為易證的不等式．18、（1）206；（2）見(jiàn)解析【解題分析】試題分析：(1)先求出君子，代入公式求，，再求線性回歸方程自變量為9的函數(shù)值，(2)先確定隨機(jī)變量取法，在利用概率乘法求對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.試題解析：（1），經(jīng)計(jì)算，所以線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為206元；（2）的可能取值為0，300，500，600，800，1000；；；；；；；03005006008001000所以的數(shù)學(xué)期望．19、（1）2；（2）①；②【解題分析】

（1）求出直線的參數(shù)方程，并代入圓的方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義即可求解；（2）將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，①將圓心代入直線即可求出②先求出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可得出直線被圓C所截得的弦長(zhǎng).【題目詳解】（1）直線的參數(shù)方程為，即.把直線代入，得，，，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積為2.（2）①以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.由得，則圓C的直角坐標(biāo)方程是，圓心坐標(biāo)為，半徑.由，得，則直線l的直角坐標(biāo)方程是.若直線l通過(guò)圓C的圓心，則，所以.②若，則圓心到直線的距離，所以直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線參數(shù)方程的幾何意義以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，過(guò)點(diǎn),且傾斜角為的直線的參數(shù)方程，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）的分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望為；方差為【解題分析】

首先由莖葉圖統(tǒng)計(jì)出“幸福”的人數(shù)和其他人數(shù)，再計(jì)算概率．由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸?！钡母怕蕿?，知道在該小區(qū)中任選一人該人幸福度為“幸福”的概率為，再計(jì)算即可．【題目詳解】(1)由莖葉圖可知，抽取的16人中“幸?！钡娜藬?shù)有12人，其他的有4人；記“從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人是“幸?！?，”為事件.由題意得(2)由莖葉圖知任選一人，該人幸福