2024屆福建省龍巖市非一級達標校數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則方程的根的個數(shù)為（）A．7 B．5 C．3 D．22．“人機大戰(zhàn)，柯潔哭了，機器贏了”，2017年5月27日，19歲的世界圍棋第一人柯潔0:3不敵人工智能系統(tǒng)AlphaGo，落淚離席.許多人認為這場比賽是人類的勝利，也有許多人持反對意見，有網(wǎng)友為此進行了調(diào)查.在參與調(diào)查的2600男性中，有1560人持反對意見，2400名女性中，有1118人持反對意見.再運用這些數(shù)據(jù)說明“性別”對判斷“人機大戰(zhàn)是人類的勝利”是否有關(guān)系時，應(yīng)采用的統(tǒng)計方法是（）A．分層抽樣 B．回歸分析 C．獨立性檢驗 D．頻率分布直方圖3．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知是定義在上的奇函數(shù)，對任意的，均有.當時，，則（）A． B． C． D．6．在二項式的展開式中任取2項，則取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．7．2只貓把5只老鼠捉光,不同的捉法有()種.A． B． C． D．8．從中不放回地依次取個數(shù)，事件表示“第次取到的是奇數(shù)”，事件表示“第次取到的是奇數(shù)”，則（）A．B．C．D．9．設(shè)隨機變量X～N(1,52)，且P(X≤0)=P(X≥a-2)，則實數(shù)A．10 B．8 C．6 D．410．已知，若的必要條件是，則a，b之間的關(guān)系是（）A． B． C． D．11．過雙曲線的一個焦點作垂直于實軸的直線,交雙曲線于,是另一焦點,若,則雙曲線的離心率等于（）A． B． C． D．12．已知滿足，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若存在三個互不相等的實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．14．(文科學生做)函數(shù)的值域為______．15．若復(fù)數(shù)，，（為虛數(shù)單位）則實數(shù)__________．16．已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有4個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（I）討論極值點的個數(shù).（II）若是的一個極值點，且，證明：.18．（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點作互相垂直的兩條直線、，其中直線交橢圓于兩點，直線交直線于點，求證：直線平分線段.19．（12分）已知，定義.（1）求的值；（2）證明：.20．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足．求證：為等腰直角三角形21．（12分）已知數(shù)列{an+1﹣an}是首項為，公比為的等比數(shù)列，a1＝1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{（3n﹣1）?an}的前n項和Sn．22．（10分）為了研究家用轎車在高速公路上的速情況，交通部門對名家用轎車駕駛員進行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在名男性駕駛員中，平均車速超過的有人，不超過的有人．在名女性駕駛員中，平均車速超過的有人，不超過的有人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為平均車速超過與性別有關(guān)，（結(jié)果保留小數(shù)點后三位）平均車速超過人數(shù)平均車速不超過人數(shù)合計男性駕駛員人數(shù)女性駕駛員人數(shù)合計（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取輛，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，問這輛車中平均有多少輛車中駕駛員為男性且車速超過？附：（其中為樣本容量）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

令，先求出方程的三個根，，，然后分別作出直線，，與函數(shù)的圖象，得出交點的總數(shù)即為所求結(jié)果.【題目詳解】令，先解方程.（1）當時，則，得；（2）當時，則，即，解得，.如下圖所示：直線，，與函數(shù)的交點個數(shù)為、、，所以，方程的根的個數(shù)為，故選A.【題目點撥】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)，這類問題首先將函數(shù)分為內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)，求出外層函數(shù)的若干個根，再作出這些直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點總數(shù)即為方程根的個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．2、C【解題分析】

根據(jù)“性別”以及“反對與支持”這兩種要素，符合2×2，從而可得出統(tǒng)計方法。【題目詳解】本題考查“性別”對判斷“人機大戰(zhàn)是人類的勝利”這兩個變量是否有關(guān)系，符合獨立性檢驗的基本思想，因此，該題所選擇的統(tǒng)計方法是獨立性檢驗，故選：C.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗適用的基本情形，熟悉獨立性檢驗的基本思想是解本題的概念，考查對概念的理解，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解題分析】

利用向量的線性運算可得的表示形式.【題目詳解】，故選：A．【題目點撥】本題考查向量的線性運算，用基底向量表示其余向量時，要注意圍繞基底向量來實現(xiàn)向量的轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.4、A【解題分析】

由題意可轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)分別研究兩個函數(shù)最小值，求解即可.【題目詳解】解：當時，由得，=，當時，在單調(diào)遞減，是函數(shù)的最小值，當時，為增函數(shù)，是函數(shù)的最小值，又因為，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得：，故選：．【題目點撥】本題考查指數(shù)函數(shù)和對勾函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性問題的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

由f（x）=1﹣f（1﹣x），得f（1）=1，確定f（）=，利用f（x）是奇函數(shù)，即可得出結(jié)論．【題目詳解】由f（x）=1﹣f（1﹣x），得f（1）=1，令x=，則f（）=，∵當x∈[0，1]時，2f（）=f（x），∴f（）=f（x），即f（）=f（1）=，f（）=f（）=14，f（）=f（）=14，∵＜＜，∵對任意的x1，x2∈[﹣1，1]，均有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））≥0∴f（）=，同理f（）=…=f（﹣）=f（）=．∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣）+f（﹣）+…+f（﹣）+f（﹣）=﹣[f（﹣）+f（）+…+f（）+f（）]=﹣，故選：C．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查函數(shù)值的計算，屬于中檔題．6、C【解題分析】

二項式的展開式共十項，從中任取2項，共有種取法，再研究其系數(shù)為偶數(shù)情況有幾個，從中取兩個有幾種取法得出答案．【題目詳解】二項式的展開式共十項，從中任取2項，共有種取法，展開式系數(shù)為偶數(shù)的有，共六個，取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的取法有種取法，取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的概率為故選：【題目點撥】本題考查二項式定理及等可能事件的概率，正確求解本題的關(guān)鍵是找出哪些項的系數(shù)是偶數(shù)，求出取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的事件包含的基本事件數(shù)．7、B【解題分析】分析：利用乘法分步計數(shù)原理解決即可.詳解：由于每只貓捉老鼠的數(shù)目不限，因此每一只老鼠都可能被這2只貓中其中一只捉住，由分步乘法計數(shù)原理，得共有不同的捉法有種.故選：B.點睛：(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．8、D【解題分析】試題分析：由題意，，∴，故選D．考點：條件概率與獨立事件．9、D【解題分析】

根據(jù)隨機變量符合正態(tài)分布，從表達式上看出正態(tài)曲線關(guān)于x=1對稱，得到對稱區(qū)間的數(shù)據(jù)對應(yīng)的概率是相等的，根據(jù)兩個區(qū)間的概率相等，得到這兩個區(qū)間關(guān)于x=1對稱，從而得到結(jié)果．【題目詳解】∵隨機變量X～∴正態(tài)曲線關(guān)于x=1對稱，∵P(X≤0)=P(X>a-2)，∴0與a-2關(guān)于x=1對稱，∴1解得a=4，故選D．【題目點撥】本題主要考查正態(tài)曲線的對稱性，考查對稱區(qū)間的概率的相等的性質(zhì)，是一個基礎(chǔ)題．正態(tài)曲線的常見性質(zhì)有：（1）正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，μ越小圖象越靠近左邊；（2）邊σ越小圖象越“痩長”，邊σ越大圖象越“矮胖”;(3)正態(tài)分布區(qū)間上的概率，關(guān)于μ對稱，Px>μ10、A【解題分析】試題分析：不等式的解集為，不等式的解集為，根據(jù)題意可知是的子集，所以有，故選A．考點：絕對值不等式，充要條件的判斷．11、B【解題分析】

根據(jù)對稱性知是以點為直角頂點，且，可得，利用雙曲線的定義得出，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出雙曲線的離心率的值.【題目詳解】由雙曲線的對稱性可知，是以點為直角頂點，且，則，由雙曲線的定義可得，在中，，，故選B.【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率的求解，要充分研究雙曲線的幾何性質(zhì)，在遇到焦點時，善于利用雙曲線的定義來求解，考查邏輯推理能力和計算能力，屬于中等題．12、C【解題分析】

令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，確定，進而得到結(jié)果.【題目詳解】令，則.，由得：；由得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即的最小值為.故選：.【題目點撥】本題考查函數(shù)最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進而確定最值點.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：若存在三個互不相等的實數(shù)，使得成立，等價為方程存在三個不相等的實根，由于當時，，只有一個根，則當時，方程存在兩個不相等的實根，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論.詳解：若存在三個互不相等的實數(shù)，使得成立，等價為方程存在三個不相等的實根，當時，，，解得，當時，，只有一個根.當時，方程存在兩個不相等的實根，即.設(shè)，，令，解得，當，解得，在上單調(diào)遞增；當，解得，在上單調(diào)遞減；又，，存在兩個不相等的實根，.故答案為.點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為方程存在三個不相等的實根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大.14、.【解題分析】分析：先分離常數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)最值求解即可.詳解：由題可得：故答案為.點睛：考查函數(shù)的值域，對原式得正確分離常數(shù)是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.15、【解題分析】

由題得，解方程即得解.【題目詳解】由題得,所以.故答案為【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)模的性質(zhì)和計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、【解題分析】

先求得的零點，由此判斷出方程恰有2個不同的實數(shù)解，結(jié)合圖像求得的取值范圍.【題目詳解】有兩個零點，畫出圖像如下圖所示，依題意恰有4個不同的實數(shù)解，則方程恰有2個不同的實數(shù)解，由圖可知，故的取值范圍為．故答案為：【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)圖像以及方程零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）答案不唯一，具體見解析（II）見解析【解題分析】

（I）根據(jù)題目條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值的個數(shù)。（II）根據(jù)是的一個極值點，得出，再根據(jù)，求出的范圍，再利用（１）中的結(jié)論，得出的單調(diào)性，觀察得出，對與的大小關(guān)系進行分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可證明?！绢}目詳解】（I）∵，，．∴或1、當，即時，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；此時，有兩個極值點：，．2、當，即時，，f（x）單調(diào)遞增，此時無極值點.3、當，即時，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；此時，有兩個極值點：，．故當時，無極值點：當時，有兩個極值點.（II）由（Ⅰ）知，，且，∴，由（1）中3知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又（這一步是此題的關(guān)鍵點，觀察力）1、當即時，在上單調(diào)遞減，此時，成立.2、當即時，成立.3、當即時，在上單調(diào)遞增.此時，成立.綜上所述，，當時，“=”成立.【題目點撥】本題主要考查了求含有參數(shù)的函數(shù)的極值點的個數(shù)問題，以及利用利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，解題時用到了分類討論的思想。18、(1)(2)見證明【解題分析】

（1）利用，得到，然后代入點即可求解（2）設(shè)直線，以斜率為核心參數(shù)，與橢圓聯(lián)立方程，把兩點全部用參數(shù)表示，得出的中點坐標為，然后再求出直線的方程，代入的中點即可證明成立【題目詳解】（1）由得，所以由點在橢圓上得解得，所求橢圓方程為（2）解法一：當直線的斜率不存在時，直線平分線段成立當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程得，消去得因為過焦點，所以恒成立，設(shè)，，則，所以的中點坐標為直線方程為，，可得，所以直線方程為，滿足直線方程，即平分線段綜上所述，直線平分線段（2）解法二：因為直線與有交點，所以直線的斜率不能為0，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程得，消去得因為過焦點，所以恒成立，設(shè)，，，所以的中點坐標為直線方程為，，由題可得，所以直線方程為，滿足直線方程，即平分線段綜上所述，直線平分線段【題目點撥】本題考查求橢圓標準方程，以及證明直線過定點問題，屬于中檔題19、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）先根據(jù)定義代入求求的值；（2）根據(jù)定義可得，則左邊化簡得，利用等式化簡,并利用二項式定理可得結(jié)果.詳解：（1），．（2）當n＝1時，,等式成立．當n≥2時，，由于，所以，綜上所述，對n∈N*，成立．點睛：有關(guān)組合式的求值證明，常采用構(gòu)造法逆用二項式定理.常應(yīng)用組合數(shù)性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化：，.20、見解析【解題分析】

根據(jù)正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得結(jié)果.【題目詳解】證法一：由正弦定理及，得，，，，又，由余弦定理，得，即，為等腰直角三角形．證法二：由正弦定理及，得，，，，，由正弦定理及，得，，，，，，，，，為等腰直角三角形．【題目點撥】本題考查利用正弦定理、余弦定理的判斷三角形的形狀，關(guān)鍵在于邊角之間的轉(zhuǎn)化，屬基礎(chǔ)題.21、（Ⅰ）an＝；（Ⅱ）Snn（3n+1）+5﹣（3n+5）?（）n．【解題分析】

（Ⅰ）先求{an+1﹣an}的通項公式，再利用迭代法可得通項公式；（Ⅱ）根據(jù)通項公式的特點，利用分組和錯位相減法進行求和.【題目詳解】（Ⅰ）數(shù)列{an+1﹣an}是首項為，公比為的等比數(shù)列，a1＝1，可得an+1﹣an?（）n﹣1＝（）n+1，，即有an＝a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）＝1（）n；所以.（Ⅱ）（3n﹣1）?an（3n﹣1）﹣（3n﹣1）?（）n，前n項和Sn（2+5++3n﹣1