江蘇省姜堰區(qū)蔣垛中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末達標測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則=A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i2．若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．使不等式成立的一個必要不充分條件是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則在上，的解集是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若是圖象的一條對稱軸的方程，則下列說法正確的是（）A．圖象的一個對稱中心 B．在上是減函數(shù)C．的圖象過點 D．的最大值是7．若實數(shù)x、y的取值如表，從散點圖分析，y與x線性相關，且回歸方程為y=3.5x12345y27812mA．15 B．16 C．16.2 D．178．甲乙丙三人代表班級參加校運會的跑步，跳遠，鉛球比賽，每人參加一項，每項都要有人參加，他們的身高各不同．現(xiàn)了解到以下情況：（1）甲不是最高的；（2）最高的沒報鉛球；（3）最矮的參加了跳遠；（4）乙不是最矮的，也沒參加跑步；可以判斷丙參加的比賽項目是（）A．跑步比賽 B．跳遠比賽 C．鉛球比賽 D．無法判斷9．在復平面內，復數(shù)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．觀察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根據(jù)上述規(guī)律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192 B．202 C．212 D．22211．將三枚骰子各擲一次，設事件為“三個點數(shù)都不相同”，事件為“至少出現(xiàn)一個6點”，則概率的值為（）A． B． C． D．12．設函數(shù)，若實數(shù)分別是的零點，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設為虛數(shù)單位，若，則________．14．在上隨機地取一個數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為__________．15．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則______．16．若直線l經(jīng)過點，且一個法向量為，則直線l的方程是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)(為常數(shù))，，.（1）求實數(shù)的值；（2）若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若不等式成立，求證實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，四邊形中，，，，為邊的中點，現(xiàn)將沿折起到達的位置（折起后點記為）．（1）求證：；（2）若為中點，當時，求二面角的余弦值．19．（12分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上單調遞減，①求a的取值范圍；②當時，證明：.20．（12分）某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下：一年內出險次數(shù)01234概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.21．（12分）設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.22．（10分）某種產(chǎn)品的廣告費用支出（萬元）與銷售（萬元）之間有如下的對應數(shù)據(jù)：245683040605070若由資料可知對呈線性相關關系，試求：（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；（2）據(jù)此估計廣告費用支出為10萬元時銷售收入的值.（參考公式：，.）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】試題分析：，選B.【考點】復數(shù)的運算，復數(shù)的概念【名師點睛】本題主要考查復數(shù)的運算及復數(shù)的概念，是一道基礎題目.從歷年高考題目看，復數(shù)題目往往不難，一般考查復數(shù)運算與概念或復數(shù)的幾何意義，也是考生必定得分的題目之一.2、C【解題分析】分析：由題得恒成立，再解這個恒成立問題即得解.詳解：由題得恒成立，a=0時，不等式恒成立.a≠0時，由題得綜合得故答案為C.點睛：（1）本題主要考查函數(shù)的定義域和二次不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析轉化能力數(shù)形結合思想方法.（2）解答本題恒成立時，一定要討論a=0的情況,因為不一定時一元二次不等式.3、B【解題分析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一個必要不充分條件，故選B.4、A【解題分析】

兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，轉化為方程有兩個不同的根，再轉化為函數(shù)零點問題，設出函數(shù)，求單調區(qū)間，分類討論，求出符合題意的范圍即可．【題目詳解】解：函數(shù)的圖象與直線有兩個交點可轉化為函數(shù)有兩個零點，導函數(shù)為，當時，恒成立，函數(shù)在R上單調遞減，不可能有兩個零點；當時，令，可得，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為.令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以.所以的最小值，則m的取值范圍是.故選：【題目點撥】本題考查函數(shù)零點問題，利用方程思想轉化與導數(shù)求解是解決本題的關鍵，屬于中檔偏難題．5、C【解題分析】

首先結合函數(shù)的對稱性和函數(shù)的奇偶性繪制函數(shù)圖像，原問題等價于求解函數(shù)位于直線下方點的橫坐標，數(shù)形結合確定不等式的解集即可.【題目詳解】函數(shù)滿足，則函數(shù)關于直線對稱，結合函數(shù)為奇函數(shù)繪制函數(shù)的圖像如圖所示：的解集即函數(shù)位于直線下方點的橫坐標，當時，由可得，結合可得函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標為，據(jù)此可得：的解集是.本題選擇C選項.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的對稱性等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.6、A【解題分析】

利用正弦函數(shù)對稱軸位置特征，可得值，從而求出解析式，利用的圖像與性質逐一判斷即可．【題目詳解】∵是圖象的一條對稱軸的方程，∴，又，∴，∴.圖象的對稱中心為，故A正確；由于的正負未知，所以不能判斷的單調性和最值，故B，D錯誤；，故C錯誤.故選A.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質．7、D【解題分析】

計算出樣本的中心點x,y，將該點的坐標代入回歸直線方程可得出【題目詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=1+2+3+4+55由于回歸直線過點x,y，所以，3.5×3-1.3=m+295【題目點撥】本題考查回歸直線的基本性質，在解回歸直線相關的問題時，熟悉結論“回歸直線過樣本的數(shù)據(jù)中心點x,8、A【解題分析】分析：由（1），（3），（4）可知，乙參加了鉛球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，參加了跳遠，即可得出結論.詳解：由（1），（3），（4）可知，乙參加了鉛球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，參加了跳遠，所以丙最高，參加了跑步比賽.故選：A.點睛：本題考查合情推理，考查學生分析解決問題的能力.9、A【解題分析】試題分析：,對應的點，因此是第一象限．考點：復數(shù)的四則運算.10、C【解題分析】∵所給等式左邊的底數(shù)依次分別為1，2；1，2，3；1，2，3，4；

右邊的底數(shù)依次分別為3，6，10，（注意：這里，），

∴由底數(shù)內在規(guī)律可知：第五個等式左邊的底數(shù)為1，2，3，4，5，6，

右邊的底數(shù)為，又左邊為立方和，右邊為平方的形式，

故有，故選C.點睛：本題考查了，所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結論的推理．它與演繹推理的思維進程不同．歸納推理的思維進程是從個別到一般，而演繹推理的思維進程不是從個別到一般，是一個必然地得出的思維進程．解答此類的方法是從特殊的前幾個式子進行分析找出規(guī)律．觀察前幾個式子的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個等式左邊為立方和，右邊為平方的形式，且左邊的底數(shù)在增加，右邊的底數(shù)也在增加．從中找規(guī)律性即可.11、A【解題分析】考點：條件概率與獨立事件．分析：本題要求條件概率，根據(jù)要求的結果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同時發(fā)生的概率，除以B發(fā)生的概率，根據(jù)等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到結果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故選A．12、A【解題分析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實數(shù)分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由，得，則，故答案為.14、【解題分析】試題分析：直線y=kx與圓相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=.【考點】直線與圓位置關系；幾何概型【名師點睛】本題是高考?？贾R內容，考查幾何概型概率的計算.本題綜合性較強，具有“無圖考圖”的顯著特點，涉及點到直線距離的計算.本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計算能力等.15、【解題分析】

由題意得出，由此可得出，解出實數(shù)、的值，由此可得出的值.【題目詳解】，，且，，，解得，.因此，.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用直線與平面垂直求參數(shù)，將問題轉化為直線的方向向量與平面法向量共線，考查化歸與轉化思想的應用，屬于基礎題.16、【解題分析】

根據(jù)法向量得直線斜率，再根據(jù)點斜式得直線方程【題目詳解】因為直線一個法向量為，所以直線l的斜率為，因此直線l的方程是故答案為：【題目點撥】本題考查直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）.（3）【解題分析】

因為函數(shù)是R上的奇函數(shù)，令可求a；

對任意，總存在，使得成立，故只需滿足值域是的值域的子集；

由不等式得，，構造利用單調性可求解正實數(shù)t的取值范圍．【題目詳解】（1）因為為上的奇函數(shù)，所以，即，解得得，當時，由得為奇函數(shù)，所以.（2）因為，且在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)所以在上的取值集合為.由，得是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，所以在上的取值集合為.由“任意，總存在，使得成立”在上的取值集合是在上的取值集合的子集，即.則有，且，解得：.即實數(shù)的取值范圍是.（3）記，則，所以是減函數(shù)，不等式等價于，即，因為是減函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)最值的求法，通過子集的關系求參數(shù)的范圍，構造函數(shù)求參數(shù)范圍，屬于難題．18、(1)見證明；(2)【解題分析】

（１）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明面，從而推得；（２）以為原點，以，分別為，建立空間直角坐標，分別求出面的法向量和面的法向量為，根據(jù)二面角的余弦值公式即可求解出結果．【題目詳解】（1）證明：因為，，，所以面，又因為面，所以．（2）解：以為原點，以，分別為，建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，，，設面的法向量，則有取，，，則由，，設面的法向量為，則有取，，，，則，由于二面角的平面角為鈍角，所以，其余弦值為．【題目點撥】本題主要考查了通過線面垂直證明線線垂直以及利用向量法求二面角的余弦值，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．19、（1）1；（2）①，②證明見解析.【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)與函數(shù)單調性的關系當，求出單調遞增區(qū)間，當，求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間，進而可求出最大值.（2）①求出對恒成立，化為對恒成立，記，討論值，求出的最小值即可證出；②由題意可得，即，兩邊取對數(shù)可得，下面采用分析法即可證出.【題目詳解】（1）時，時，，在上單調遞增時，，在上單調遞減（2）由①在R上單調遞減，對恒成立，即對恒成立，記，則對恒成立，當時，，符題當時，時，，在上單調遞減時，，在上單調遞增；當時，時，，在上單調遞減時，，在上單調遞增；綜上：②當時，在上單調遞減，，，，.要證，即證下面證明令，，則，在區(qū)間上單調遞增，，得證【題目點撥】本題考查了導函數(shù)在研究函數(shù)單調性的應用，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，綜合性比較強，屬于難題.20、（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.1．【解題分析】試題分析：試題解析：（Ⅰ）設表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1，故（Ⅱ）設表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出”，則事件發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于3，故又，故因此所求概率為（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為

因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為【考點】條件概率，隨機變量的分布列、期望【名師點睛】條件概率的求法：（1）定義法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝，求出P（B|A）；（2）基本事件法：當基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n（AB）