試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁延安市2026年普通高中模擬測試（一）數(shù)學試題考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．平面向量，，且，則（

）A． B．2 C． D．33．公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若是與的等比中項，，則（

）A．-22 B．-90 C．-3 D．-1984．《天工開物》是我國明代科學家宋應星所著的一部綜合性科學技術著作，書中記載了一種制造瓦片的方法．首先，準備一個圓桶模具，圓桶底面外圓的直徑為30cm，高為10cm，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為3cm的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片這種瓦片，則所需粘土的體積為（

）

A． B． C． D．5．已知定點A、B，且|AB|＝4，動點P滿足||PA|﹣|PB||＝3，則|PA|的最小值是（

）A． B． C． D．56．兩位游客準備分別從葫蘆古鎮(zhèn)、興城古城、龍?zhí)洞髰{谷、九門口水上長城、龍灣海濱風景區(qū)5個景點中隨機選擇其中一個景點游玩，記事件“兩位游客中至少有一人選擇葫蘆古鎮(zhèn)”，事件“兩位游客選擇的景點不同”，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞增C．的圖像關于點中心對稱D．圖像向右平移個單位長度后的函數(shù)為偶函數(shù)8．設函數(shù),若有四個不同的零點，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．9．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則下列說法正確的有（

）A． B．C．的最大值為 D．10．陜西省某中學體能測試成績服從正態(tài)分布，已知，則下列說法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．B．C．若隨機抽取3名學生，則至少2人成績超過75的概率為D．若隨機抽取100名學生，則成績超過85的人數(shù)期望為2011．已知橢圓的右焦點為，過的直線交橢圓于兩點，為橢圓上一動點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則到軸的距離為 B．的最小值為6C．的最大值為 D．若，則第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．若直線是曲線的一條切線，則．13．已知，，則．14．已知數(shù)列滿足，且對于任意的，都有，則除以5的余數(shù)為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若的周長為，面積為，求．16．如圖，在三棱錐中，平面，，，，．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17．已知雙曲線（）的離心率為，右焦點到雙曲線C的一條漸近線的距離為1，兩動點A，B在雙曲線C上，線段AB的中點為(1)求雙曲線C的方程；(2)證明：直線AB的斜率k為定值；(3)O為坐標原點，若的面積為求直線AB的方程．18．已知(1)討論的單調(diào)性(2)對于恒成立；求的取值范圍(3)設，為函數(shù)的兩個零點；證明．19．甲乙兩人進行若干局乒乓球訓練賽，每局比賽必須決出勝負，且每局比賽結(jié)果相互獨立．已知甲每局比賽獲勝的概率為，規(guī)定先達到凈勝3局者獲得訓練賽勝利并結(jié)束訓練賽（某人的凈勝局數(shù)某人勝的局數(shù)某人負的局數(shù)）．(1)記經(jīng)過局比賽，甲獲得訓練賽勝利的概率為，求和；(2)經(jīng)過若干局后，甲勝的局數(shù)與乙勝的局數(shù)的差為，記事件“時，甲最終獲得訓練賽勝利”發(fā)生的概率為，求證：是等比數(shù)列；(3)求甲獲得訓練賽勝利的概率．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】由復數(shù)的除法運算求得復數(shù)，即可寫出其在復平面內(nèi)對應的點坐標，得到答案.【詳解】，∴復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點坐標為，位于第三象限.故選：C.2．B【分析】根據(jù)向量減法的坐標運算可得.【詳解】因為，，所以，所以，解得.故選：B.3．B【分析】根據(jù)是與的等比中項，及可得公差，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】設等差數(shù)列的公差為且，又是與的等比中項，，即，解得或（舍），.故選：.【點睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的通項和求和公式，考查學生的計算能力，是中檔題.4．D【分析】根據(jù)題意，利用圓柱的體積公式，求得四片瓦需要的粘土量，進而求得800片瓦需要的粘土量，得到答案.【詳解】由圓柱的體積公式，可得四片瓦需要的粘土量為，所以800片瓦需要的粘土量為．故選：D．5．A【分析】根據(jù)題意，判斷點的軌跡是雙曲線，再根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求得.【詳解】由動點P滿足||PA|﹣|PB||＝3，且故可得點的軌跡為以為左右焦點的雙曲線，故可得，解得，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得的最小值為.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的定義，以及其幾何性質(zhì)，屬綜合基礎題.6．C【分析】分別求出和，再利用條件概率的計算公式計算即可.【詳解】兩位游客從5個景點中任選，每人有5種選擇，總事件數(shù)：種.事件的對立事件為“兩位游客都不選擇葫蘆古鎮(zhèn)”，的事件數(shù)：種,因此.事件分為兩種情況：甲選葫蘆古鎮(zhèn)，乙選其余4個景點，4種；乙選葫蘆古鎮(zhèn)，甲選其余4個景點，4種；共種事件，因此.所以.故選：C.7．A【分析】化簡得，求出函數(shù)的周期即可判斷A；由，可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B；結(jié)合圖像的平移及對稱中心的定義可判斷C；求出平移后的解析式，結(jié)合偶函數(shù)的定義判斷D．【詳解】對于A，因為，所以函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對于B，當時，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在上先增后減，故B錯誤；對于C，因為是將函數(shù)的圖象向上平移個單位得到的，所以函數(shù)對稱中心的縱坐標為，故C錯誤；對于D，設圖像向右平移個單位長度后所得函數(shù)為的解析式為，則，又因為，所以不是偶函數(shù)，故D錯誤．故選：A．8．A【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)可得出的取值范圍，再利用對稱軸將所求式子消元處理，再整體換元令，轉(zhuǎn)化為求的值域可得.【詳解】令，由有四個不同的零點，則與有四個不同的交點，令，解得或，故當或時，；當時，；且當，；解方程，得；作函數(shù)的圖象，對稱軸為.

要使與有四個不同的交點，如圖可得.又滿足，則，可得.因為圖象關于對稱，所以，則，則，令，則，構(gòu)造函數(shù)，，由，函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即.故選：A9．ABC【分析】根據(jù)，通過得出，判斷A，通過得出，進而推出，判斷B的正誤，等差數(shù)列中，由，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得的最大值為，判斷C，借助等差數(shù)列性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，得出，判斷D.【詳解】對于A選項，因為，所以，故，A正確，對于B選項，因為，所以，即，又，所以，B正確，對于C選項，因為，，所以數(shù)列的公差小于0，且當時，，當時，，所以的最大值為，C正確，對于D選項，，所以D錯.故選：ABC.10．BD【分析】利用正態(tài)分布的對稱性判斷B；結(jié)合正態(tài)分布的原則判斷A；利用二項分布的概率公式判斷C；利用二項分布的期望公式判斷D即可.【詳解】對于B，由正態(tài)分布性質(zhì)得，則，故B正確，對于A，當時，則，，由正態(tài)分布性質(zhì)得，而由已知得，與題意不符，故A錯誤；對于C，由正態(tài)分布性質(zhì)得，，設成績超過75的人數(shù)為，則，由二項分布概率公式得，則至少2人成績超過75的概率為，故C錯誤，對于D，設成績超過85的人數(shù)為，且，由題意得，由二項分布的期望公式得，則成績超過85的人數(shù)期望為20，故D正確.故選：BD11．BCD【分析】A項，由向量關系得中點，設點坐標建立方程組求解可得；B項，設直線參數(shù)方程，代入橢圓方程，求弦長最值即可；C項，舉特例，當位于長軸左頂點時，且軸時，面積大于可判斷錯誤；D項，設直線方程聯(lián)立直線與橢圓方程，取特殊點，再利用垂直關系建立方程求解參數(shù)，可得弦長不滿足.【詳解】由橢圓方程，可得，則，故右焦點，A項，由，可知三點共線，且為的中點，設，則，由都在橢圓上，則，解得，則，則，故軸，且點到軸的距離為，故A正確；B項，由橢圓方程，可得焦點，設過焦點的直線參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入橢圓方程，整理得關于的方程：，設分別對應參數(shù)，則，所以，故當，即直線與軸垂直時，，故B錯誤；C項，當位于長軸左頂點時，即，且軸時，由，，則，故C錯誤；D項，當直線與軸重合時，則，不滿足題意，故可設直線，聯(lián)立消得，則（），當位于短軸上頂點，即時，若，則，由代入上式化簡得，，則將（）式代入得整理得①；解得或，又由，將或代入得或，故D錯誤；故選：BCD.12．【分析】設切點為，求出切線斜率，利用切點在切線上，代入方程，即可得出結(jié)論.【詳解】由曲線，得，設直線與曲線相切于點，所以，解得，.故答案為：13．【分析】先對已知條件兩邊平方，再利用三角函數(shù)的平方關系和二倍角公式，即可求解.【詳解】由已知，，兩邊平方可得，，又，所以，所以.故答案為：14．2【分析】先通過對遞推關系式變形,通過計算前幾項的余數(shù)找出周期,再根據(jù)周期計算除以5的余數(shù).【詳解】由題目的條件可以知道,即，所以有,且除以5的余數(shù)為2，;除以5的余數(shù)為3，;除以5的余數(shù)為1，;除以5的余數(shù)為2，;除以5的余數(shù)為3，顯然,余數(shù)呈現(xiàn)2,3,1的周期循環(huán)，所以，即除以5的余數(shù)與的相同為2.故答案為：215．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角及正弦的和角公式得，即可求解；（2）利用三角形的面積公式及余弦定理，再結(jié)合條件得，即可求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，則，得到，又，所以.（2）由（1）知，所以，得，又因為，又，得，由的周長為，所以，整理得到，解得.16．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）由平面得到．由得到．利用直線和平面垂直的判定定理得到平面，利用平面和平面的判定定理得到平面平面；（2）由得到以點為坐標原點，以，所在直線分別為軸，軸，建系，寫出點的坐標，求出和平面的法向量，設直線與平面所成角為，利用數(shù)量積公式求出，從而得到直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）因為平面，平面，所以．因為，所以．又因為平面，故平面．又因為平面，所以平面平面．（2）因為，所以以點為坐標原點，以，所在直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為，則即，令得，故平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．17．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率以及右焦點到雙曲線C的一條漸近線的距離，求出，即得答案；（2）設，，利用點差法即可證明；（3）設出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)關系式，表示出弦長以及原點到直線的距離，結(jié)合三角形面積求出參數(shù)，即可求得答案.【詳解】（1）雙曲線（）右焦點的坐標為，不妨取C的一條漸近線的方程為即，所以又，解得，所以雙曲線C的方程為.（2）設，，則,兩式相減并整理得，,因為線段AB的中點為，則，所以，因為，所以，所以直線的斜率k為定值2．（3）設直線，聯(lián)立，消去得，因為，所以，則，故，點O到直線AB的距離為所以，整理得，解得（舍去），則，

又因為，所以直線AB的方程為18．(1)當時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù).(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）求，討論和這兩種情況，解出的解為的單調(diào)遞增區(qū)間，解出的解為的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由（1）可知：當時，利用的單調(diào)性及特殊值可得不成立；當時，由的單調(diào)區(qū)間得到的最大值為，只需即可，解出這個不等式就是的取值范圍；（3）由（1）及零點存在性定理由存在兩零點可得，且，故可轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造，利用導數(shù)法證明，由此證明.【詳解】（1）定義域，；當時，的解為，則在上為單調(diào)遞增函數(shù)；，的解為，的解為，則在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù).綜上可知，當時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù).（2）由（1）可知：當時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，不滿足，故不成立；當時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù).則當時，取最大值為，令，解得，故對于恒成立的的取值范圍為.（3）由（1）知，要使函數(shù)存在兩個零點，則，且其最大值必須大于0，的最大值為，令，解得，則存在兩零點，可得，設，為函數(shù)的兩個零點，則，，解得①，②，①減去②得到，解得，要證明，只需證明，設，，則在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故，設，，，，，，，，，.19．(1)；(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)已知獲勝條件，分析甲在不同局數(shù)下獲得最終勝利的可能賽況，再結(jié)合相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式計算可得；（2）由題意易得與，再分析當時可進行下一局比賽，根據(jù)已知條件利用全概率公式建立遞推關系，可得，經(jīng)過變形證明等比數(shù)列即可；（3）利用第（2）問的等比數(shù)列結(jié)論，結(jié)合“凈勝3局（甲