福建省泉州市德化一中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．方程至少有一個負(fù)根的充要條件是A． B． C． D．或2．展開式中的系數(shù)為（）A．15 B．20 C．30 D．353．已知函數(shù)，，若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．設(shè)全集，，集合，則集合（）A． B． C． D．5．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．6．已知的展開式中沒有項(xiàng)，，則的值可以是（）A．5 B．6 C．7 D．87．已知X的分布列為X－101P設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為A． B．4 C．－1 D．18．如果的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，那么展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和是()A．0 B．256 C．64 D．9．對任意非零實(shí)數(shù)，若※的運(yùn)算原理如圖所示，則※=（）A．1 B．2 C．3 D．410．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上，恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知當(dāng)時，在上是“凸函數(shù)”，則在上()A．既有極大值,也有極小值 B．既有極大值,也有最小值C．有極大值,沒有極小值 D．沒有極大值,也沒有極小值11．設(shè)集合，分別從集合A和B中隨機(jī)抽取數(shù)x和y，確定平面上的一個點(diǎn)，記“點(diǎn)滿足條件”為事件C，則（）A． B． C． D．12．下列表格可以作為ξ的分布列的是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為____________．14．函數(shù)f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有極值，則a的取值范圍是_____．15．，，則__________.16．一個口袋里裝有5個不同的紅球，7個不同的黑球，若取出一個紅球記2分，取出一個黑球記1分，現(xiàn)從口袋中取出6個球，使總分低于8分的取法種數(shù)為__________種．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.猜想的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.18．（12分）已知函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，有兩個不同的零點(diǎn)，求證：.19．（12分）（本小題滿分13分）已知函數(shù)。（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在處切線的斜率；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最小值。20．（12分）如圖，弧是半徑為r的半圓，為直徑，點(diǎn)E為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段的三等分點(diǎn)，線段與弧交于點(diǎn)G，平面外一點(diǎn)F滿足平面，.（1）求異面直線與所成角的大??；（2）將（及其內(nèi)部）繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一幾何體，求該幾何體的體積.21．（12分）已知橢圓()的一個頂點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)及左焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)設(shè)為.(1)求橢圓的方程；(2)求的面積.22．（10分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：①時，顯然方程沒有等于零的根．若方程有兩異號實(shí)根，則；若方程有兩個負(fù)的實(shí)根，則必有．②若時，可得也適合題意．綜上知，若方程至少有一個負(fù)實(shí)根，則．反之，若，則方程至少有一個負(fù)的實(shí)根，因此，關(guān)于的方程至少有一負(fù)的實(shí)根的充要條件是．故答案為C考點(diǎn)：充要條件，一元二次方程根的分布2、C【解題分析】

利用多項(xiàng)式乘法將式子展開,根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)即可求得的系數(shù).【題目詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)為則展開式的通項(xiàng)為則展開式中的項(xiàng)為則展開式中的系數(shù)為故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)定理展開式的應(yīng)用,指定項(xiàng)系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點(diǎn)，然后對參數(shù)分類討論，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值；在時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.①當(dāng)時，對任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，，則對任意的，.此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；②當(dāng)時，解方程，得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，.（i）當(dāng)時，即當(dāng)時，則對任意的，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；（ii）當(dāng)時，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在和，使得，即，且當(dāng)和時，，此時，；當(dāng)時，，此時，.所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，由題意可知，，，可得，又，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.4、B【解題分析】由題得,,所以,,故選B.5、D【解題分析】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)除法得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模求結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所?因此選D.點(diǎn)睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對應(yīng)點(diǎn)為、共軛為6、C【解題分析】

將條件轉(zhuǎn)化為的展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，不含項(xiàng)，不含項(xiàng)，然后寫出的展開式的通項(xiàng)，即可分析出答案.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_式中沒有項(xiàng)，所以的展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，不含項(xiàng)，不含項(xiàng)的展開式的通項(xiàng)為：所以當(dāng)取時，方程無解檢驗(yàn)可得故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查的是二項(xiàng)式定理的知識，在解決二項(xiàng)式展開式的指定項(xiàng)有關(guān)的問題的時候，一般先寫出展開式的通項(xiàng).7、A【解題分析】由條件中所給的隨機(jī)變量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案為：A．8、D【解題分析】分析：先確定n值，再根據(jù)賦值法求所有項(xiàng)的系數(shù)和.詳解：因?yàn)檎归_式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n＝6.令x＝1，則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是,選D.點(diǎn)睛：二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法①如果是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)(第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；②如果是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大.9、A【解題分析】

分析：由程序框圖可知，該程序的作用是計算分段函數(shù)函數(shù)值，由分段函數(shù)的解析式計算即可得結(jié)論.詳解：由程序框圖可知，該程序的作用是計算※函數(shù)值，※※因?yàn)?，故選A.點(diǎn)睛：算法是新課標(biāo)高考的一大熱點(diǎn)，其中算法的交匯性問題已成為高考的一大亮，這類問題常常與函數(shù)、數(shù)列、不等式等交匯自然，很好地考查考生的信息處理能力及綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，解決算法的交匯性問題的方：（1）讀懂程序框圖、明確交匯知識，(2）根據(jù)給出問題與程序框圖處理問題即可.10、C【解題分析】此題考查函數(shù)極值存在的判定條件思路：先根據(jù)已知條件確定m的值，然后在判定因?yàn)闀r，在上是“凸函數(shù)”所以在上恒成立，得在是單調(diào)遞減，的對稱軸要滿足與單調(diào)遞增單調(diào)遞減，當(dāng)時有極大值，當(dāng)時有極小值所以在上有極大值無極小值11、A【解題分析】

求出從集合A和B中隨機(jī)各取一個數(shù)x，y的基本事件總數(shù)，和滿足點(diǎn)P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的基本事件個數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案．【題目詳解】∵集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，分別從集合A和B中隨機(jī)各取一個數(shù)x，y，確定平面上的一個點(diǎn)P（x，y），共有6×6＝36種不同情況，其中P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8個，∴C的概率P（C），故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是古典概型概率計算公式，考查了列舉法計算基本事件的個數(shù)，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解答的關(guān)鍵．12、C【解題分析】

根據(jù)分布列的性質(zhì)以及各概率之和等于1，能求出正確結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)以及各概率之和等于1，在中，各概率之和為，故錯誤；在中，，故錯誤；在中，滿足分布列的性質(zhì)以及各概率之和等于1，故正確；在中，，故錯誤．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的判斷，考查分布列的性質(zhì)以及各概率之和等于1等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、25【解題分析】

由＋＝1，得x＋y＝xy,＋＝＋＝13＋＋＝13＋＝9x＋4y＝(9x＋4y)＝13＋＋≥13＋2＝25.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?4、{a|a＜﹣3或a＞6}【解題分析】

求出有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，即可求出結(jié)論.【題目詳解】函數(shù)有極值，則有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，，或.故答案為:或.【題目點(diǎn)撥】本題考查極值存在求參數(shù)，熟練掌握三次函數(shù)圖像特征及性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解題分析】分析：由，可得，直接利用對數(shù)運(yùn)算法則求解即可得，計算過程注意避免計算錯誤.詳解：由，可得，則，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查指數(shù)與對數(shù)的互化以及對數(shù)的運(yùn)算法則，意在考查對基本概念與基本運(yùn)算掌握的熟練程度.16、【解題分析】根據(jù)題意,設(shè)取出個紅球,則取出個黑球,此時總得分為，若總分低于8分,則有，即，即可取的情況有2種，即或，即總分低于8分的情況有2種：①、取出6個黑球,有種取法，②、取出1個紅球,5個黑球,有種取法，故使總分低于8分的取法有7+105=112種；故答案為：112.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解題分析】

首先計算，猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.【題目詳解】猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①時，猜想成立；②假設(shè)時猜想成立，即則時，由及得又=,時猜想成立.由①②知.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生的歸納推理能力和計算能力.18、（1）1；（2）證明見解析【解題分析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，解得答案.（2）要證明，只需要證明，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，得到，得到證明.【題目詳解】（1）由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時，，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到極小值，也是最小值，由題意，恒成立，令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.（2），且在處取到極小值1，又時，，時，，故且，要證明：，只需證明，又，故只需證明：，即證：，即證：，即證：，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，由?）知恒成立，所以，即，所以在上為增函數(shù)，所以，即命題成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式恒成立，零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，綜合應(yīng)用能力.19、（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（Ⅲ）當(dāng)時，在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)，在區(qū)間上的最小值為【解題分析】試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率：當(dāng)時，，故曲線在處切線的斜率為（Ⅱ）因?yàn)?，所以按分類討論：?dāng)時，，遞減區(qū)間為；當(dāng)時，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）得到的結(jié)論，當(dāng)，即時，在區(qū)間上的最小值為，；當(dāng)，即時，在區(qū)間上的最小值為，試題解析：解：（Ⅰ）當(dāng)時，，2分故曲線在處切線的斜率為3分（Ⅱ）。4分①當(dāng)時，由于，故。所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為。5分②當(dāng)時，由，得。在區(qū)間上，，在區(qū)間上，。所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。7分綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。8分（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）得到的結(jié)論，當(dāng)，即時，在區(qū)間上的最小值為，。10分當(dāng)，即時，在區(qū)間上的最小值為，。12分綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)，在區(qū)間上的最小值為。13分考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值20、（1）；（2）；【解題分析】

（1）由平面，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得，即可得到異面直線與所成角的大小為．（2）連接，在中，利用余弦定理得：，由題設(shè)知，所得幾何體為圓錐，分別計算其其底面積及高為，即可得到該圓錐的體積．【題目詳解】解：（1）平面，平面，，異面直線與所成角的大小為．（2）連接，在中，由余弦定理得：，由題設(shè)知，所得幾何體為圓錐，其底面積為，高為．該圓錐的體積為．【題目點(diǎn)撥】熟練掌握線面垂直的性質(zhì)定理、余弦定理、圓錐的體積計算公式是解題的關(guān)鍵．21、(1)；(2).【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的基本概念和平方關(guān)系，建立關(guān)于、、的方程，解出，，從而得到橢圓的方程；（2）求出直線的斜率得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)解并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系算出，結(jié)合弦長公式可得，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出到直線的距離，即可得到的面積．【題目詳解】解：(1)由題意知，，又∵，∴.∴橢圓方程為.(2)∵，∴直線的方程為，由，得.∵，∴直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)，設(shè)為，，則，∴，又點(diǎn)到直線的距離，故.【題目點(diǎn)撥】本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并求三角形的面積．著重考查了橢圓的標(biāo)