2024屆阿里市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16，左焦點(diǎn)分別為，是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象是（）A． B．C． D．4．從圖示中的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率為()A． B．C． D．5．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．設(shè)均大于1，且，令，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機(jī)從這次考試的成績(jī)中抽取100個(gè)樣本，則成績(jī)低于48分的樣本個(gè)數(shù)大約為（）A．6 B．4 C．94 D．968．給出下列命題：①命題“若，則方程無實(shí)根”的否命題；②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題；③命題“若，則”的逆否命題；④“若，則的解集為”的逆命題；其中真命題的序號(hào)為（）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③9．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）附：若X～N(μ,σ2)，則PA．1193 B．1359 C．2718 D．341310．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“且”的過程中，由假設(shè)“”成立，推導(dǎo)“”也成立時(shí)，該不等式左邊的變化是（）A．增加B．增加C．增加并減少D．增加并減少11．設(shè)集合，|，則（）A． B． C． D．12．正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時(shí)四面體ABCD外接球表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則_________.14．已知四邊形為矩形,,為的中點(diǎn),將沿折起,得到四棱錐,設(shè)的中點(diǎn)為,在翻折過程中,得到如下有三個(gè)命題:①平面，且的長(zhǎng)度為定值；②三棱錐的最大體積為；③在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得.其中正確命題的序號(hào)為__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）15．若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為__________．16．已知隨機(jī)變量，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中）.（1）若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；（3）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．（12分）某手機(jī)代工廠對(duì)生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造評(píng)估，隨機(jī)抽取了生產(chǎn)線改造前、后100個(gè)生產(chǎn)班次的產(chǎn)量進(jìn)行對(duì)比，改造前、后手機(jī)產(chǎn)量（單位：百部）的頻率分布直方圖如下：（1）記表示事件：“改造前手機(jī)產(chǎn)量低于5000部”，視頻率為概率，求事件的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為手機(jī)產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級(jí)改造有關(guān)：手機(jī)產(chǎn)量部手機(jī)產(chǎn)量部改造前改造后（3）根據(jù)手機(jī)產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求改造后手機(jī)產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）.參考公式：隨機(jī)變量的觀測(cè)值計(jì)算公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820．（12分）已知函數(shù)，．(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，證明：；(Ⅱ)的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時(shí)與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請(qǐng)證明你的結(jié)論．21．（12分）已知復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z滿足，求z.22．（10分）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)1在x軸上，橢圓C短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，且橢圓C短軸長(zhǎng)為1．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）P為橢圓C上一點(diǎn)，且∠F1PF1＝，求△PF1F1的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案.詳解：，.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】由于焦點(diǎn)到漸近線的距離為,故,依題意有,所以離心率為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線漸近線的幾何性質(zhì),考查三角形的面積公式和雙曲線離心率的求法.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為,雙曲線的漸近線為,故雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為,故焦點(diǎn)到漸近線的距離為.3、A【解題分析】

根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法分析出函數(shù)的單調(diào)性及極值，比照四個(gè)答案函數(shù)的圖象，可得答案．【題目詳解】∵，∴，令得；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，可排除B,D；又時(shí)，，排除C，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，分析出函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題.4、C【解題分析】

先利用定積分公式計(jì)算出陰影部分區(qū)域的面積，并計(jì)算出長(zhǎng)方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率計(jì)算公式可得出答案．【題目詳解】圖中陰影部分的面積為，長(zhǎng)方形區(qū)域的面積為1×3＝3，因此，點(diǎn)M取自圖中陰影部分的概率為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查定積分的幾何意義，關(guān)鍵是找出被積函數(shù)與被積區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】由題意，令，所以，所以，因?yàn)?，所以所以所以，故選D.6、D【解題分析】令則t>0,且，∵，∵，故選D．7、B【解題分析】

由已知根據(jù)正態(tài)分布的特點(diǎn)，可得，根據(jù)對(duì)稱性，則，乘以樣本個(gè)數(shù)得答案．【題目詳解】由題意，知，可得，又由對(duì)稱軸為，所以，所以成績(jī)小于分的樣本個(gè)數(shù)為個(gè)．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，以及考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布的對(duì)稱性是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

①寫出其否命題，再判斷真假；②寫出其逆命題，再判斷真假；③根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同，直接判斷原命題的真假即可；④寫出其逆命題，再判斷真假.【題目詳解】①命題“若，則方程無實(shí)根”的否命題為：“若，則方程有實(shí)根”,為真命題，所以正確.②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題為：“若為等邊三角形，則”為真命題，所以正確.③命題“若，則”為真命題，根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同，所以正確.④“若，則的解集為”的逆命題為：“若的解集為，則”當(dāng)時(shí)，不是恒成立的.當(dāng)時(shí),則解得：，所以正確.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查四種命題和互化和真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，圖中陰影部分的面積S=0.9545-0.6827則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.10、D【解題分析】

由題寫出時(shí)的表達(dá)式和的遞推式，通過對(duì)比，選出答案【題目詳解】時(shí)，不等式為時(shí)，不等式為，增加并減少.故選D.【題目點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法寫遞推式時(shí)，要注意從到時(shí)系數(shù)k對(duì)表達(dá)式的影響，防止出錯(cuò)的方法是依次寫出和的表達(dá)式，對(duì)比增項(xiàng)是什么，減項(xiàng)是什么即可11、C【解題分析】

解出集合M中的不等式即可【題目詳解】因?yàn)椋怨蔬x：C【題目點(diǎn)撥】本題考查的是解對(duì)數(shù)不等式及集合的運(yùn)算，屬于基本題.12、C【解題分析】分析：三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可.詳解：根據(jù)題意可知三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，三棱柱中，底面，,，的外接圓的半徑為，由題意可得：球心到底面的距離為.球的半徑為.外接球的表面積為：.故選：C.點(diǎn)睛：考查空間想象能力，計(jì)算能力.三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】∵函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是∴，∴故答案為414、①②【解題分析】

取的中點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，得出，可判斷出命題①的正誤；由為的中點(diǎn)，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，并由平面平面，得出三棱錐體積的最大值，可判斷出命題②的正誤；取的中點(diǎn)，連接，由，結(jié)合得出平面，推出得出矛盾，可判斷出命題③的正誤.【題目詳解】如下圖所示：對(duì)于命題①，取的中點(diǎn)，連接、，則，，，由勾股定理得，易知，且，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，四邊形為平行四邊形，，，平面，平面，平面，命題①正確；對(duì)于命題②，由為的中點(diǎn)，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積取最大值，取的中點(diǎn)，則，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面積為，所以，三棱錐的體積的最大值為，則三棱錐的體積的最大值為，命題②正確；對(duì)于命題③，，為的中點(diǎn)，所以，，若，且，平面，由于平面，，事實(shí)上，易得，，，由勾股定理可得，這與矛盾，命題③錯(cuò)誤.故答案為①②.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面平行、錐體體積的計(jì)算以及異面直線垂直的判定，判斷這些命題時(shí)根據(jù)相關(guān)的判定定理以及性質(zhì)定理，在計(jì)算三棱錐體積時(shí)，需要找到合適的底面與高來計(jì)算，考查空間想象能力，考查邏輯推理能力，屬于難題.15、.【解題分析】分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果.詳解：由得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且，所以，因此從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可利用函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)取值條件．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．16、【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求解.【題目詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的性質(zhì).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或4；（2）；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)條件列方程解得結(jié)果，（2）根據(jù)純虛數(shù)定義列式求解，（3）根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義列不等式解得結(jié)果【題目詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，所以，所以或4；（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，所以（3）因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以解不等式組得，，即的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)相關(guān)概念以及復(fù)數(shù)幾何意義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）推導(dǎo)出PA⊥AD，PA⊥AB，由此能證明PA⊥平面ABCD．（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PBC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．【題目詳解】(1)因?yàn)?所以,即.同理可得.因?yàn)?所以平面.(2)由題意可知,兩兩垂直,故以A為原點(diǎn),分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，不妨取則易得平面,所以平面的一個(gè)法向量為，記平面與平面所成銳二面角為,則故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19、（1）0.1（2）有的把握認(rèn)為手機(jī)產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級(jí)改造有關(guān)，詳見解析（3）（百部）【解題分析】

（1）由改造前的頻率分布直方圖計(jì)算前五個(gè)小長(zhǎng)方形的面積即可得到答案．（2）由頻率分布直方圖補(bǔ)充表格，計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值與臨界值表中的數(shù)據(jù)比較即可得結(jié)論．（3）先估計(jì)中位數(shù)所在區(qū)間，然后利用中位數(shù)左右兩側(cè)長(zhǎng)方形面積相等列式計(jì)算即可．【題目詳解】解：（1）改造前手機(jī)產(chǎn)量低于5000部的頻率為，因此，事件的概率估計(jì)值為0.1．（2）根據(jù)手機(jī)產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：手機(jī)產(chǎn)量部手機(jī)產(chǎn)量部改造前138改造后3466由于，故有的把握認(rèn)為手機(jī)產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級(jí)改造有關(guān)．（3）因?yàn)楦脑旌笫謾C(jī)產(chǎn)量的頻率分布直方圖中，手機(jī)產(chǎn)量低于5000部的直方圖面積為，手機(jī)產(chǎn)量低于5500部的直方圖面積為，所以中位數(shù)在之間，設(shè)改造后手機(jī)產(chǎn)量的中位數(shù)為，則故改造后手機(jī)產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為（百部）．【題目點(diǎn)撥】本題考查由頻率分布直方圖計(jì)算概率與中位數(shù)，獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于簡(jiǎn)單題．20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2條，證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，設(shè)l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分別求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，即可得證；（Ⅱ）先確定曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并求出兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，先化簡(jiǎn)方程得lnm﹣1．分別作出y＝lnx﹣1和y的函數(shù)圖象，通過圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷方程的解的個(gè)數(shù)，即可得到所求結(jié)論．【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，h′（x）1，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減；0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；可得h（x）在x＝1處取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；設(shè)l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，l′（x）＝ex﹣1，當(dāng)x＞0時(shí)，l′（x）＞0，l（x）遞增；可得l（x）＞l（0）＝1＞0，綜上可得當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜x＜f（x）；（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2，證明如下：設(shè)公切線與g（x）＝lnx，f（x）＝ex