2024屆廣東省-北京師范大學(xué)東莞石竹附屬學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式存在常數(shù)項，則正整數(shù)的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．142．甲乙丙丁四名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人只報一項，記事件“四名同學(xué)所報比賽各不相同”，事件“甲同學(xué)單獨報一項比賽”，則()A． B． C． D．3．方程的實根所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．4．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．若雙曲線的離心率大于2，則該雙曲線的虛軸長的取值范圍是（）A． B． C． D．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上（）A．增加一項 B．增加項C．增加項 D．增加項7．如圖是計算的值的程序框圖，則圖中①②處應(yīng)填寫的語句分別是（）A．, B．,C．, D．,8．已知曲線：，：，則下面結(jié)論正確的是（）A．把上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C．把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線D．把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線9．已知，，則=（）A．2 B．-2 C． D．310．中，，則的值是（）A． B． C． D．或11．中，邊的高為，若，，，，，則（)A． B． C． D．12．下列結(jié)論錯誤的是（）A．命題“若p，則q”與命題“若￢q，則￢p”互為逆否命題B．命題p：，，命題q：，，則“”為真C．“若，則”的逆命題為真命題D．命題P：“，使得”的否定為￢P：“，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式中的常數(shù)項為__________．14．已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值是______．15．把10個相同的小球全部放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的小球數(shù)不小于盒子的編號數(shù)，則不同的方法共有___________種16．端午節(jié)小長假期間，張洋與幾位同學(xué)從天津乘到大連去旅游，若當(dāng)天從天津到大連的三列火車正點到達(dá)的概率分別為，，，假設(shè)這三列火車之間是否正點到達(dá)互不影響，則這三列火車恰好有兩列正點到達(dá)的概率是____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四邊形中，，．已知，．（1）求的值；（2）若，且，求的長．18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若函數(shù)在上有唯一零點，證明：.19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，證明：．20．（12分）為了解國產(chǎn)奶粉的知名度和消費者的信任度，某調(diào)查小組特別調(diào)查記錄了某大型連鎖超市年與年這兩年銷售量前名的五個奶粉的銷量（單位：罐），繪制出如下的管狀圖：（1）根據(jù)給出的這兩年銷量的管狀圖，對該超市這兩年品牌奶粉銷量的前五強(qiáng)進(jìn)行排名（由高到低，不用說明理由）；（2）已知該超市年奶粉的銷量為（單位：罐），以，，這年銷量得出銷量關(guān)于年份的線性回歸方程為（，，年對應(yīng)的年份分別?。蟠司€性回歸方程并據(jù)此預(yù)測年該超市奶粉的銷量.相關(guān)公式：.21．（12分）已知曲線y=x3+x－2在點P0處的切線平行于直線4x－y－1=0，且點P0在第三象限,⑴求P0的坐標(biāo);⑵若直線,且l也過切點P0,求直線l的方程.22．（10分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

化簡二項式展開式的通項公式，令的指數(shù)為零，根據(jù)為正整數(shù)，求得的最小值.【題目詳解】，令，則，當(dāng)時，有最小值為7.故選C.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查與正整數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

求出，根據(jù)條件概率公式即可得解.【題目詳解】由題：，.故選：D【題目點撥】此題考查求條件概率，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出AB的概率和B的概率，根據(jù)條件概率公式計算求解.3、B【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，考查該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理得出答案．【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，由零點存在定理可知，方程的實根所在區(qū)間為，故選B.【題目點撥】本題考查零點所在區(qū)間，考查零點存在定理的應(yīng)用，注意零點存在定理所適用的情形，必要時結(jié)合單調(diào)性來考查，這是解函數(shù)零點問題的常用方法，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

分別將兩個不等式解出來即可【題目詳解】由得由得所以“”是“”的必要不充分條件故選：B【題目點撥】設(shè)命題p對應(yīng)的集合為A，命題q對應(yīng)的集合為B，若AB,則p是q的充分不必要條件，若AB，則p是q的必要不充分條件，若A=B，則p是q的充要條件.5、C【解題分析】

根據(jù)離心率大于2得到不等式：計算得到虛軸長的范圍.【題目詳解】，，，故答案選C【題目點撥】本題考查了雙曲線的離心率，虛軸長，意在考查學(xué)生的計算能力.6、D【解題分析】

明確從變?yōu)闀r，等式左端的變化，利用末尾數(shù)字作差即可得到增加的項數(shù).【題目詳解】當(dāng)時，等式左端為：當(dāng)時，等式左端為：需增加項本題正確選項：【題目點撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)知識，關(guān)鍵是明確等式左端的數(shù)字變化規(guī)律.7、A【解題分析】該程序是求數(shù)列的前16項和，①處變量每次增加2，②處是循環(huán)控制條件，循環(huán)體共執(zhí)行了16次，故時，退出循環(huán)，選A.8、C【解題分析】

由題意利用誘導(dǎo)公式得，根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【題目詳解】已知曲線，，∴把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線的圖象，故選C．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，求得，之后根據(jù)，從而求得，得到結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題意，可知，所以，所以，故選C.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)分段函數(shù)根據(jù)函數(shù)值求參數(shù)的問題，在解題的過程中，首先求得，利用內(nèi)層函數(shù)的函數(shù)值等于外層函數(shù)的自變量，代入函數(shù)解析式求得結(jié)果.10、B【解題分析】

根據(jù)正弦定理求解.【題目詳解】由正弦定理得，選B.【題目點撥】本題考查正弦定理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】

試題分析：由，，可知12、C【解題分析】

由逆否命題的定義即可判斷A；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的值域求法，可判斷B；由命題的逆命題，可得m＝0不成立，可判斷C；運用命題的否定形式可判斷D．【題目詳解】解：命題“若p則q”與命題“若￢q則￢p”互為逆否命題，故A正確；命題，，由，可得p真；命題，，由于，則q假，則“”為真，故B正確；“若，則”的逆命題為“若，則”錯誤，如果，不成立，故C不正確；命題P：“，使得”的否定為￢P：“，”，故D正確．故選：C．【題目點撥】本題考查四種命題和命題的否定，考查判斷能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解題分析】分析：由題意，求得二項式的展開式的通項為，即可求解答案.詳解：由題意，二項式的展開式的通項為，令，則.點睛：本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中熟記二項展開式的通項公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.14、【解題分析】

由韋達(dá)定理求出與，帶入計算即可?！绢}目詳解】由一元二次不等式與一元二次等式的關(guān)系，知道的解為，由韋達(dá)定理知，，所以當(dāng)且僅當(dāng)取等號?！绢}目點撥】本題考查韋達(dá)定理與基本不等式，屬于基礎(chǔ)題。15、15【解題分析】

將編號為的三個盒子中分別放入個小球，從而將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉细舭宸ǖ男问剑酶舭宸ㄇ蠼獾玫浇Y(jié)果.【題目詳解】編號為的三個盒子中分別放入個小球，則還剩個小球則問題可變?yōu)榍髠€相同的小球放入三個盒子中，每個盒子至少放一個球的不同方法的種數(shù)由隔板法可知共有：種方法本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查隔板法求解組合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠首先將問題轉(zhuǎn)化為符合隔板法的形式，隔板法主要用來處理相同元素的組合問題.16、【解題分析】設(shè)當(dāng)天從天津到大連的三列火車正點到達(dá)的事件分別為A，B，C，則，事件A，B，C相互獨立，∴這三列火車恰好有兩列正點到達(dá)的概率：，故答案為：0.398.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）在中，由正弦定理可得答案;（Ⅱ）由結(jié)合（Ⅰ）可得，在中，由余弦定理得BC值.【題目詳解】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得．因為，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，因為，所以．在中，由余弦定理，得．因為所以，即，解得或．又，則．【題目點撥】本題主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值（2）見解析【解題分析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并由單調(diào)性得出函數(shù)的極值；（2）利用參變量分離法得出關(guān)于的方程在上有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，得出，構(gòu)造函數(shù)，求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化即可?！绢}目詳解】（1）的定義域為，∵，當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)，∴有極小值，無極大值，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（2）函數(shù)在上有唯一零點，即當(dāng)時，方程有唯一解，∴有唯一解，令，則令，則，當(dāng)時，，故函數(shù)為增函數(shù)，又，，∴在上存在唯一零點，則，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上有最小值.ly，∴.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，構(gòu)造新函數(shù)是難點，也是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，屬于難題.19、（1）；（2）見解析【解題分析】

(1)根據(jù)前n項和與通項間的關(guān)系得到，，，兩式做差即可得到數(shù)列，數(shù)列為常數(shù)列，，即；（2）根據(jù)第一問得到，裂項求和即可.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，即，當(dāng)時，①，②，得，即，所以，且，所以數(shù)列為常數(shù)列，，即．（2）由（1）得，所以，所以，．【題目點撥】這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等．20、（1）前五強(qiáng)排名為：，，，，；（2）回歸直線為：；預(yù)測年該超市奶粉的銷量為罐.【解題分析】

（1）根據(jù)管狀圖，可求得五種奶粉兩年的銷量和，從而按照從多到少進(jìn)行排列即可；（2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得回歸直線；代入，即可求得預(yù)測值.【題目詳解】（1）兩年銷量：；兩年銷量：；兩年銷量：；兩年銷量：；兩年銷量：前五強(qiáng)排名為：，，，，（2）由題意得：，；；，回歸直線為：當(dāng)時，預(yù)測年該超市奶粉的銷量為：罐【題目點撥】本題考查統(tǒng)計圖表的讀取、最小二乘法求解回歸直線、根據(jù)回歸直線求解預(yù)估值的問題，考查運算和求解能力.21、（1）（2）【解題分析】

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩條直線的位置關(guān)系，平行和垂直的運用．以及直線方程的求解的綜合運用．首先根據(jù)已知條件，利用導(dǎo)數(shù)定義，得到點P3的坐標(biāo)，然后利用，設(shè)出方程為x+2y+c=3,根據(jù)直線過點P3得到結(jié)論．解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=2，解之得x=±1．當(dāng)x=1時，y=3；當(dāng)x=-1時，y=-2．又∵點P3在第三象限，∴切點P3的坐標(biāo)為（-1，-2）；（2）∵直線l⊥l1，l1的斜率為2，∴直線l的斜率為-1/2，∵l過切點P3，點P3的坐標(biāo)為（-1，-2）∴直線l的方程為y+2=（x+1）即x+2y+17=3．22、(1)見解析；(2)的最大值為1.【解題分析】

（1）根據(jù)的不同范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到的單調(diào)性；（2）方法一：構(gòu)造新函數(shù)，通過討論的范圍，判斷單調(diào)性，從而確定結(jié)果；方法二：利用分離變量法，把問題變?yōu)椋蠼夂瘮?shù)最小值得到結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，令，解得：在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，