【三維設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)定積分與微積分基本定理課件理匯報(bào)人：AA2024-01-24目錄CATALOGUE定積分基本概念與性質(zhì)微積分基本定理及其應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用定積分在物理中的應(yīng)用定積分的數(shù)值計(jì)算與近似求解高考真題解析與備考策略定積分基本概念與性質(zhì)CATALOGUE01定積分的定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，將區(qū)間$[a,b]$分成$n$個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度記為$Deltax_i$，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$。當(dāng)$n$無(wú)限增大，且$lambda=max{Deltax_i}to0$時(shí)，該和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的定積分，記作$int_{a}^f(x)dx$。定積分的幾何意義定積分$int_{a}^f(x)dx$的幾何意義是曲線$y=f(x)$與直線$x=a,x=b$及$x$軸所圍成的平面圖形的面積。當(dāng)$f(x)geq0$時(shí)，定積分的值等于該平面圖形的面積；當(dāng)$f(x)leq0$時(shí)，定積分的值等于該平面圖形面積的負(fù)值。定積分的定義及幾何意義可加性01對(duì)于區(qū)間$[a,b]$的任意劃分$a=x_0<x_1<cdots<x_n=b$，有$int_{a}^f(x)dx=sum_{i=1}^{n}int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx$。線性性質(zhì)02對(duì)于任意常數(shù)$k_1,k_2$和函數(shù)$f_1(x),f_2(x)$，有$int_{a}^[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1int_{a}^f_1(x)dx+k_2int_{a}^f_2(x)dx$。保號(hào)性03若在區(qū)間$[a,b]$上，$f(x)geq0$，則$int_{a}^f(x)dxgeq0$；若在區(qū)間$[a,b]$上，$f(x)leqg(x)$，則$int_{a}^f(x)dxleqint_{a}^g(x)dx$。定積分的性質(zhì)換元法設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且存在單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)$x=varphi(t)$，使得$varphi(t)$的值域?yàn)?[a,b]$，則$int_{a}^f(x)dx=int_{varphi^{-1}(a)}^{varphi^{-1}(b)}f[varphi(t)]varphi'(t)dt$。分部積分法設(shè)函數(shù)$u=u(x)$和$v=v(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)且可導(dǎo)，則$int_{a}^u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]|_{a}^-int_{a}^u'(x)v(x)dx$。牛頓-萊布尼茲公式若函數(shù)$F(x)$是連續(xù)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的一個(gè)原函數(shù)，則$int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$。定積分的計(jì)算法則微積分基本定理及其應(yīng)用CATALOGUE02微積分基本定理包括兩部分牛頓-萊布尼茲公式和微積分基本定理的逆定理。牛頓-萊布尼茲公式表述為如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則∫f(x)dx=F(b)-F(a)。微積分基本定理的表述0102微積分基本定理的幾何解釋通過(guò)微積分基本定理，我們可以將復(fù)雜的面積計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題。幾何上，微積分基本定理可以理解為曲線y=f(x)與x軸所圍成的面積等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值之差。利用微積分基本定理證明等式或不等式通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用微積分基本定理，可以證明某些等式或不等式成立。利用微積分基本定理解決物理問(wèn)題在物理中，許多問(wèn)題可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用微積分基本定理來(lái)解決，如計(jì)算物體的位移、速度、加速度等。利用微積分基本定理計(jì)算定積分通過(guò)找到被積函數(shù)的原函數(shù)，并應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分的值。微積分基本定理的應(yīng)用舉例定積分在幾何中的應(yīng)用CATALOGUE03123通過(guò)定積分求解矩形、三角形、梯形等規(guī)則圖形的面積。規(guī)則圖形面積計(jì)算利用定積分求解由曲線和直線所圍成的不規(guī)則圖形的面積，如拋物線、橢圓等。不規(guī)則圖形面積計(jì)算將平面圖形用參數(shù)方程表示，通過(guò)定積分求解面積。參數(shù)方程表示的面積計(jì)算平面圖形的面積計(jì)算01通過(guò)定積分求解由平面圖形繞某一直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，如圓柱、圓錐、圓臺(tái)等。旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算02利用定積分求解平行截面面積為已知的立體的體積，如長(zhǎng)方體、正方體等。平行截面面積為已知的立體體積計(jì)算03通過(guò)定積分求解其他類型的立體體積，如球體、橢球體等。其他立體體積計(jì)算空間立體的體積計(jì)算03參數(shù)方程表示的曲線弧長(zhǎng)計(jì)算將曲線用參數(shù)方程表示，通過(guò)定積分求解弧長(zhǎng)。01平面曲線弧長(zhǎng)計(jì)算通過(guò)定積分求解平面曲線的弧長(zhǎng)，如直線、圓弧、拋物線等。02空間曲線弧長(zhǎng)計(jì)算利用定積分求解空間曲線的弧長(zhǎng)，如螺旋線、擺線等。曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算定積分在物理中的應(yīng)用CATALOGUE04要點(diǎn)三利用定積分求解變力做功的基本思路將變力做功的過(guò)程劃分為無(wú)數(shù)個(gè)微小的位移段，在每個(gè)位移段上，力可以近似看作是恒力，從而可以利用恒力做功的公式進(jìn)行計(jì)算，最后將所有位移段上的功累加起來(lái)，即可得到變力做功的總功。要點(diǎn)一要點(diǎn)二常見(jiàn)的變力做功問(wèn)題彈簧彈力做功、電場(chǎng)力做功、摩擦力做功等。解題技巧在求解變力做功問(wèn)題時(shí)，需要正確分析物理過(guò)程，確定變力的函數(shù)表達(dá)式，以及選擇合適的積分變量和積分區(qū)間。要點(diǎn)三變力做功問(wèn)題利用定積分求解水壓力的基本思路將水壓力的作用面積劃分為無(wú)數(shù)個(gè)微小的面積段，在每個(gè)面積段上，水壓力可以近似看作是均勻的，從而可以利用壓強(qiáng)的公式進(jìn)行計(jì)算，最后將所有面積段上的壓力累加起來(lái)，即可得到水壓力的總作用力。常見(jiàn)的水壓力問(wèn)題求解水壩、水池、水管等的水壓力。解題技巧在求解水壓力問(wèn)題時(shí)，需要正確分析水壓力的作用面積和壓強(qiáng)分布，以及選擇合適的積分變量和積分區(qū)間。水壓力問(wèn)題其他物理問(wèn)題中的應(yīng)用在求解其他物理問(wèn)題時(shí)，需要正確分析物理問(wèn)題的本質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的建立，以及選擇合適的積分變量和積分區(qū)間。同時(shí)，還需要注意物理量的單位和量綱的匹配。解題技巧將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用定積分的概念和性質(zhì)進(jìn)行求解。利用定積分求解其他物理問(wèn)題的基本思路求解質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等。常見(jiàn)的其他物理問(wèn)題定積分的數(shù)值計(jì)算與近似求解CATALOGUE05矩形法的基本思想將定積分區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間上選擇一個(gè)代表點(diǎn)，以該點(diǎn)的函數(shù)值作為高，小區(qū)間的長(zhǎng)度作為寬，構(gòu)造矩形，所有矩形的面積之和即為定積分的近似值。矩形法的精度矩形法的精度取決于小區(qū)間的劃分方式和代表點(diǎn)的選擇。一般來(lái)說(shuō)，小區(qū)間劃分越細(xì)，代表點(diǎn)選擇越合理，近似值的精度就越高。矩形法的優(yōu)缺點(diǎn)矩形法簡(jiǎn)單易行，計(jì)算量小，但精度相對(duì)較低。適用于對(duì)精度要求不高或函數(shù)形態(tài)較為簡(jiǎn)單的情況。矩形法求定積分的近似值梯形法的基本思想將定積分區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間上與函數(shù)圖像構(gòu)成梯形，所有梯形的面積之和即為定積分的近似值。梯形法的精度梯形法的精度同樣取決于小區(qū)間的劃分方式和梯形的構(gòu)造。與矩形法相比，梯形法能夠更好地逼近曲線下的面積，因此精度相對(duì)較高。梯形法的優(yōu)缺點(diǎn)梯形法比矩形法精度更高，但仍然存在一定的誤差。適用于對(duì)精度要求較高或函數(shù)形態(tài)較為復(fù)雜的情況。梯形法求定積分的近似值辛普森法求定積分的近似值在定積分區(qū)間內(nèi)選擇若干個(gè)點(diǎn)，利用這些點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)造多項(xiàng)式來(lái)逼近被積函數(shù)，然后對(duì)該多項(xiàng)式進(jìn)行積分得到定積分的近似值。辛普森法的精度辛普森法的精度取決于多項(xiàng)式的次數(shù)和選點(diǎn)的合理性。一般來(lái)說(shuō)，多項(xiàng)式次數(shù)越高，選點(diǎn)越合理，近似值的精度就越高。辛普森法的優(yōu)缺點(diǎn)辛普森法具有較高的精度和適應(yīng)性，能夠很好地逼近復(fù)雜函數(shù)形態(tài)下的定積分。但計(jì)算量相對(duì)較大，需要選取合適的參數(shù)和算法進(jìn)行優(yōu)化。辛普森法的基本思想高考真題解析與備考策略CATALOGUE06（2020年全國(guó)卷II）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$，求$f(x)$在區(qū)間$[0,1]$上的最大值。（2021年全國(guó)卷III）求曲線$y=x^3$與直線$y=x$所圍成圖形的面積。（2019年全國(guó)卷I）求函數(shù)$f(x)=x^2-2x$在區(qū)間$[0,2]$上的定積分。歷年高考真題解析備考策略與建議01掌握定積分與微積分基本定理的基礎(chǔ)知識(shí)，包括定積分的定義、性質(zhì)、計(jì)算方法和微積分基本定理的內(nèi)容、證明和應(yīng)用。02熟悉高考中常見(jiàn)的函數(shù)類型，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，以及它們的圖像和性質(zhì)。03加強(qiáng)練習(xí)，通過(guò)大量的習(xí)題來(lái)提高自己的計(jì)算能力和解題技巧，同時(shí)要注重總結(jié)歸納，形成自己的知識(shí)體系。04關(guān)注歷年高考真題和模擬試題，了解考