專項(xiàng)培優(yōu)④章末復(fù)習(xí)課考點(diǎn)一空間中的平行關(guān)系1．空間中的平行主要有線線平行、線面平行、面面平行，主要考查在空間幾何體中證明線面平行、面面平行以及線線平行．2．通過線線平行、線面平行、面面平行之間相互轉(zhuǎn)化的考查，提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M、N、Q分別為BC、PA、PB的中點(diǎn)．(1)證明：平面MNQ∥平面PCD；(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出PEPD跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)，求證：(1)直線SC∥平面A1BD；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.考點(diǎn)二空間中的垂直關(guān)系1．主要考查空間中線面垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以及線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化．2．通過線線垂直、線面垂直、面面垂直之間相互轉(zhuǎn)化的考查，提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．例2如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，若PA＝PD，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求證：AC⊥平面BCE；(2)求證：AD⊥AE.考點(diǎn)三簡單幾何體的表面積與體積1．主要考查多面體、旋轉(zhuǎn)體的表面積，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖，柱體、錐體、臺體的體積，球的表面積和體積，不規(guī)則幾何體常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解．2．通過對空間幾何體的表面積與體積的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例3如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1，設(shè)M，N分別為PD，AD的中點(diǎn)．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐A-CMN的側(cè)面積．跟蹤訓(xùn)練3如圖，已知三棱錐A-PBC，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝4，PA⊥PC，D為AB的中點(diǎn)，且△PDB為正三角形．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)求三棱錐D-PBC的體積．專項(xiàng)培優(yōu)④章末復(fù)習(xí)課考點(diǎn)聚集·分類突破例1解析：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，M、N、Q分別為BC、PA、PB的中點(diǎn)，∴NQ∥AB∥CD，MQ∥PC，又NQ?平面PCD，CD?平面PCD，MQ?平面PCD，PC?平面PCD，∴NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD，∵NQ∩MQ＝Q且NQ、MQ?平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PCD.(2)存在點(diǎn)E是線段PD的中點(diǎn)，使得MN∥平面ACE，且PEPD＝1取PD中點(diǎn)E，連接NE，CE，∵N、E、M分別是AP，PD，BC的中點(diǎn)，∴NE∥AD，NE＝12AD，且BC∥AD，BC＝AD，即MC∥AD，MC＝12∴NE∥MC，NE＝MC，∴四邊形MCEN是平行四邊形，∴MN∥CE，∵M(jìn)N?平面ACE，CE?平面ACE，∴MN∥平面ACE，且PEPD＝1跟蹤訓(xùn)練1證明：(1)連接AC與BD交于點(diǎn)O，連接A1S，A1O，則A1S∥OC，且A1S＝OC，則四邊形A1SCO為平行四邊形，所以SC∥A1O，∵SC?平面A1BD，A1O?平面A1BD，∴SC∥平面A1BD.(2)連接SB，因?yàn)镚，E分別是SC，BC中點(diǎn)，所以GE∥SB，又因?yàn)镾B?平面BDD1B1，GE?平面BDD1B1，所以GE∥平面BDD1B1，同理EF∥平面BDD1B1，因?yàn)镚E，EF?平面EFG，且GE∩EF＝E所以平面EFG∥平面BDD1B1.例2解析：(1)如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接PO，BO，BD，因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是等邊三角形．又O是AD的中點(diǎn)，所以AD⊥OB.又OB∩OP＝O所以AD⊥平面POB.因?yàn)镻B?平面POB，所以AD⊥PB.(2)當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，平面DEF⊥平面ABCD，連接OE，OC.因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，E為BC的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn)，所以DO∥CE，DO＝CE，所以四邊形DOEC是平行四邊形．設(shè)DE∩OC＝M，所以M是OC連接FM.又因?yàn)镕是棱PC的中點(diǎn)，所以FM∥PO.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，所以FM⊥平面ABCD.又因?yàn)镕M?平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.跟蹤訓(xùn)練2證明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以AC＝BC＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因?yàn)锳F⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC＝B所以AC⊥平面BCE.(2)因?yàn)锳F⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AF⊥AD.又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.又AF?平面ABEF，AB?平面ABEF，AF∩AB＝A所以AD⊥平面ABEF.又AE?平面ABEF，所以AD⊥AE.例3解析：(1)證明：∵M(jìn)，N分別為PD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°，又∠BAC＝60°，∴CN∥AB，∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB，又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB(2)∵PA⊥平面ABCD，AN?平面ABCD，CN?平面ABCD，由(1)可知MN∥PA，∴MN⊥AN，MN⊥CN，∵∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA＝2，AB＝1，∴AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，MN＝12PA由(1)可知CN＝AN＝12AD在Rt△CMN中，AM＝CM＝CN2+MN2＝∴S△ACN＝12AN·CN·sin60°＝12×2×2×32又S△AMN＝12AN·MN＝1在△ACM中，AM＝CM，∴AC邊上的高h(yuǎn)＝AM2-AC∴S△ACM＝12AC·h＝1∴三棱錐A-CMN的側(cè)面積S＝S△ACN＋S△AMN＋S△ACM＝3＋3.跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)∵D為AB的中點(diǎn)且△PDB為正三角形，∴AP⊥PB，又∵PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC∴AP⊥BC，又AC⊥BC，且PA∩AC＝A∴BC