陜西省西安市秦漢中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若命題：，，命題：，.則下列命題中是真命題的是（）A． B． C． D．2．設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若240，則展開式中x的系數(shù)為（）A．300 B．150 C．－150 D．－3003．設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．34．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，若，則的值()A．恒為負(fù)值 B．恒等于零C．恒為正值 D．無法確定正負(fù)5．如圖，在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好取自陰影部分內(nèi)的概率為（）A． B．C． D．6．已知復(fù)數(shù)z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個(gè)數(shù)，則P(X2)等于A． B．C． D．18．在極坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長為（）A． B．2 C． D．9．若x∈0,2π，則不等式x+A．0,π B．π4,5π410．已知函數(shù)與的圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，則所得圖象對應(yīng)的函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．12．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，（，為實(shí)數(shù)），若向量，共線，則的值是________．14．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．（用數(shù)字作答）15．函數(shù)為上的奇函數(shù)，若對任意的且，都有，已知，則不等式的解集為______.16．一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）．在杯內(nèi)放入一個(gè)玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的范圍為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某小組共有10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會.（I）設(shè)為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件發(fā)生的概率；（II）設(shè)為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解不等式：；（Ⅱ）若，且當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)，集合.（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的值域.20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.21．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正方形，平面平面，直線與平面所成的角為，.（1）若，分別為，的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個(gè)，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為2、3、4，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為3，某人用左手從甲袋中取球，用右手從乙袋中取球，（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出兩球，如果兩球顏色相同則稱這次取球獲得成功．某人第一次左手先取兩球，第二次右手再取兩球，記兩次取球的獲得成功的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先判斷命題p和q的真假，再判斷選項(xiàng)得解.【題目詳解】對于命題p,,所以命題p是假命題，所以是真命題；對于命題q,，,是真命題.所以是真命題.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)合命題的真假的判斷，考查全稱命題和特稱命題的真假的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、B【解題分析】

分別求得二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和以及二項(xiàng)式系數(shù)之和，代入，解出的值，進(jìn)而求得展開式中的系數(shù).【題目詳解】令，得，故，解得.二項(xiàng)式為，展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故的系數(shù)為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式系數(shù)之和、二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和，考查求指定項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題.3、D【解題分析】D試題分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計(jì)算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=1．故答案選D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．4、A【解題分析】

依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，可以判斷出在上單調(diào)遞減，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性的定義和奇偶性的定義，即可判斷的符號?！绢}目詳解】因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞減，而且是定義在上的奇函數(shù)，所以，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，由減函數(shù)的定義可得，，即有，故選A?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性應(yīng)用。5、B【解題分析】

由定積分的運(yùn)算得：S陰（1）dx＝（x），由幾何概型中的面積型得：P（A），得解．【題目詳解】由圖可知曲線與正方形在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），由定積分的定義可得：S陰（1）dx＝（x），設(shè)“點(diǎn)M恰好取自陰影部分內(nèi)”為事件A，由幾何概型中的面積型可得：P（A），故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分的運(yùn)算及幾何概型中的面積型，考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬基礎(chǔ)題6、C【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，得到答案．詳解：由題意，復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1)，位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．7、C【解題分析】

根據(jù)超幾何分布的概率公式計(jì)算各種可能的概率，得出結(jié)果【題目詳解】由題意，知X取0，1，2，X服從超幾何分布，它取每個(gè)值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了運(yùn)用超幾何分布求概率，分別求出滿足題意的情況，然后相加，屬于中檔題．8、C【解題分析】試題分析：將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)可得和，圓心到直線的距離，故，所以應(yīng)選C.考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)之間的互化．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】極坐標(biāo)和參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)選修內(nèi)容中的核心內(nèi)容，也是高考必考的重要考點(diǎn).解答這類問題時(shí)，一定要扎實(shí)掌握極坐標(biāo)與之交坐標(biāo)之間的關(guān)系，并學(xué)會運(yùn)用這一關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換.本題在解答時(shí)充分利用題設(shè)條件，運(yùn)用將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，最后通過直角坐標(biāo)中的運(yùn)算公式求出弦長，從而使問題巧妙獲解.9、D【解題分析】

由絕對值三角不等式的性質(zhì)得出xsinx<0，由0<x<2π，得出【題目詳解】因?yàn)閤+sinx又x∈(0,2π)，所以sinx<0，x∈(π,2π)，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，再利用絕對值不等式時(shí)，需要注意等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題。10、B【解題分析】

將函數(shù)有三個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)解，再利用換元法設(shè)，整理為，畫出函數(shù)圖形得到答案.【題目詳解】函數(shù)與的圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)即有三個(gè)解整理得：設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.如圖所示：原式整理得到：圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，即二次方程有兩個(gè)解，一個(gè)小于0.一個(gè)在上或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，另一個(gè)零點(diǎn)在上，滿足條件.故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為方程的解，再利用換元法簡化計(jì)算，本題綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.11、D【解題分析】分析：依據(jù)題的條件，根據(jù)函數(shù)的圖像變換規(guī)律，得到相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用誘導(dǎo)公式化簡，可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的函數(shù)圖像對應(yīng)的解析式為，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)圖像對應(yīng)的解析式為，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖像的變換問題，在求解的過程中，需要明確伸縮變換和左右平移對應(yīng)的規(guī)律，影響函數(shù)解析式中哪一個(gè)參數(shù)，最后結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡即可得結(jié)果.12、B【解題分析】由題意得，所以復(fù)數(shù)的虛部為．選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)向量，共線，結(jié)合兩向量的坐標(biāo)，列出方程組求解，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榱浚簿€，所以存在實(shí)數(shù)，使得，則有，解得：，因此.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由空間向量共線求參數(shù)的問題，熟記向量共線的坐標(biāo)表示即可，屬于基礎(chǔ)題型.14、57【解題分析】

先求出的展開式中的常數(shù)項(xiàng)和的系數(shù)，再求的常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】由題得的通項(xiàng)為，令r=0得的常數(shù)項(xiàng)為,令-r=-2，即r=2,得的的系數(shù)為.所以的常數(shù)項(xiàng)為1+2×28=57.故答案為：57【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式展開式指定項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和計(jì)算能力.15、【解題分析】

根據(jù)題意，可得函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合可得在上的符號，利用函數(shù)的奇偶性可得在上，，則上，，即可分析的解，可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，若對任意的，且，都有，

則在上為增函數(shù)，

又由，則在上，，則在上，，

又由為奇函數(shù)，則在上，，則上，，

或，即或或或

解得：，

即不等式的解集為；

故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于中檔題．16、0＜r≤1【解題分析】

設(shè)小球圓心（0，y0）拋物線上點(diǎn)（x，y）點(diǎn)到圓心距離平方r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02若r2最小值在（0，0）時(shí)取到，則小球觸及杯底,此二次函數(shù)對稱軸在縱軸左邊，所以1﹣y0≥0所以0＜y0≤1所以0＜r≤1故答案為0＜r≤1點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生利用拋物線的基本知識解決實(shí)際問題的能力．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（II）.【解題分析】

（I）和為4次有兩種情況，一個(gè)是1次一個(gè)是3次與兩個(gè)都是2次；（II）隨機(jī)變量的所有可能取值有三種，為0,1,2，分別求出其概率即可求解.【題目詳解】（I）由已知得：，所以，事件發(fā)生的概率為.（II）隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2；計(jì)算，，；所以，隨機(jī)變量的分布列為：012隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)事件的概率、分布列及其期望.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（I）當(dāng)=-2時(shí)，不等式＜化為，設(shè)函數(shù)=，=，其圖像如圖所示，從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，＜0，∴原不等式解集是.（Ⅱ）當(dāng)∈[，)時(shí)，=，不等式≤化為，∴對∈[，)都成立，故，即≤，∴的取值范圍為（-1，].考點(diǎn)：絕對值不等式解法，不等式恒成立問題．點(diǎn)評：中檔題，絕對值不等式解法，通常以“去絕對值符號”為出發(fā)點(diǎn)．有“平方法”，“分類討論法”，“幾何意義法”，不等式性質(zhì)法等等．不等式恒成立問題，通常利用“分離參數(shù)法”，建立不等式，確定參數(shù)的范圍．19、（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋窘忸}分析】分析：（1）先根據(jù)一元二次方程解得ex＞3，再解對數(shù)不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根據(jù)，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用變量分離法得a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值得結(jié)果,（3）先轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)，再根據(jù)拐點(diǎn)與定義區(qū)間位置關(guān)系，分類討論，結(jié)合單調(diào)性確定函數(shù)值域.詳解：（1）當(dāng)a＝－3時(shí)，由f(x)＞1得ex－3e-x－1＞1，所以e2x－2ex－3＞0，即(ex－3)(ex＋1)＞0，所以ex＞3，故x＞ln3，所以不等式的解集為(ln3，+∞).（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.因?yàn)锳∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，即f(x)≥2在0≤x≤1上有解，即ex＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，所以a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.由0≤x≤1得1≤ex≤e，所以3ex－e2x＝－(ex－)2＋∈[3e－e2，]，所以a≥3e－e2.（3）設(shè)t＝ex，由（2）知1≤t≤e，記g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，則，t(1，)(，＋∞)g′(t)－0＋g(t)↘極小值↗①當(dāng)≥e時(shí)，即a≥e2時(shí)，g(t)在1≤t≤e上遞減，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．所以f(x)的值域?yàn)?②當(dāng)1＜＜e時(shí)，即1＜a＜e2時(shí)，g(t)min=g()＝2－1，g(t)max=max{g(1)，g(e)}=max{a，}．1°若a，即e＜a＜e2時(shí)，g(t)max=g(1)=a；所以f(x)的值域?yàn)椋?°若a，即1＜a≤e時(shí)，g(t)max=g(e)=，所以f(x)的值域?yàn)椋C上所述，當(dāng)1＜a≤e時(shí)，f(x)的值域?yàn)?；?dāng)e＜a＜e2時(shí)，f(x)的值域?yàn)椋划?dāng)a≥e2時(shí)，f(x)的值域?yàn)椋c(diǎn)睛：不等式有解是含參數(shù)的不等式存在性問題時(shí)，只要求存在滿足條件的即可；不等式的解集為R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的對立面（如的解集是空集，則恒成立）)也是不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即恒成立?，恒成立?.20、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】試題分析：(1)由時(shí)，利用，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，化簡整理，然后利用放縮法可證明.試題解析：(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+2n-=2n+1.當(dāng)n=1時(shí),也符合上式,故an=2n+1.(2)因?yàn)?=,故Tn==【方法點(diǎn)晴】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.21、（1）證