四川省瀘州市瀘縣第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱，其中，若，當(dāng)“陽馬”即四棱錐體積最大時，“塹堵”即三棱柱的表面積為A． B． C． D．2．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以坐標(biāo)原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A，B兩點，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A． B．2C． D．3．若定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）.A．函數(shù)有1個極大值，2個極小值B．函數(shù)有2個極大值，3個極小值C．函數(shù)有3個極大值，2個極小值D．函數(shù)有4個極大值，3個極小值4．設(shè)曲線在點處的切線與直線平行，則（）A．B．C．D．5．已知函數(shù)為內(nèi)的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，記，則間的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．6．大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙丙3個村小學(xué)進行支教，若每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，則小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為（）A． B． C． D．7．外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足，則向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．38．已知回歸方程，則該方程在樣本處的殘差為（）A．5 B．2 C．1 D．-19．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是（）A． B． C． D．10．的展開式中的系數(shù)為A． B． C． D．11．平面上有個圓，其中每兩個都相交于兩點，每三個都無公共點，它們將平面分成塊區(qū)域，有，，，則（）．A． B．C． D．12．（）A． B． C．0 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年）一書中，用如圖所示的三角形，解釋二項和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學(xué)家布萊士?帕斯卡的著作（1655年)介紹了這個三角形，近年來，國外也逐漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”，如圖.17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”，如圖.在楊輝三角中，相鄰兩行滿足關(guān)系式：，其中是行數(shù)，.請類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是__________．14．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，用圖①的三角形形象地表示了二項式系數(shù)規(guī)律，俗稱“楊輝三角形”．現(xiàn)將楊輝三角形中的奇數(shù)換成，偶數(shù)換成，得到圖②所示的由數(shù)字和組成的三角形數(shù)表，由上往下數(shù)，記第行各數(shù)字的和為，如，，，，……，則______15．設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同,且在三次獨立重復(fù)試驗中,若事件A至少發(fā)生一次的概率為6364,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為_____16．函數(shù)的極值點為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步，農(nóng)民年收入也逐年增加.為了制定提升農(nóng)民年收入、實現(xiàn)2020年脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入元（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；（2）由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，利用該正態(tài)分布，求：（i）在扶貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？（ii）為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相獨立，問：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？附參考數(shù)據(jù)：，若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，.18．（12分）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且DE＝，平面ABCD⊥平面ADE，∠ADE＝30°（1）求證：AE⊥平面CDE；（2）求AB與平面BCE所成角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù)在點M(1,1)處的切線方程為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.20．（12分）在一次考試中某班級50名學(xué)生的成績統(tǒng)計如表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀.經(jīng)計算樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差.為評判該份試卷質(zhì)量的好壞，從其中任取一人，記其成績?yōu)?，并根?jù)以下不等式進行評判①；②；③評判規(guī)則：若同時滿足上述三個不等式，則被評為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個不等式，則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷.（1）試判斷該份試卷被評為哪種等級；（2）按分層抽樣的方式從3個層次的學(xué)生中抽出10名學(xué)生，再從抽出的10名學(xué)生中隨機抽出4人進行學(xué)習(xí)方法交流，用隨機變量表示4人中成績優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．（1）證明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．22．（10分）《厲害了，我的國》這部電影記錄：到2017年底，我國高鐵營運里程達2.5萬公里，位居世界第一位，超過第二名至第十名的總和，約占世界高鐵總量的三分之二.如圖是我國2009年至2017年高鐵營運里程（單位：萬公里）的折線圖.根據(jù)這9年的高鐵營運里程，甲、乙兩位同學(xué)分別選擇了與時間變量的兩個回歸模型①：；②.（1）求，（精確到0.01）；（2）乙求得模型②的回歸方程為，你認為哪個模型的擬合效果更好？并說明理由.附：參考公式：，，.參考數(shù)據(jù)：1.3976.942850.220.093.72

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：由四棱錐的體積是三棱柱體積的，知只要三棱柱體積最大，則四棱錐體積也最大，求出三棱柱的體積后用基本不等式求得最大值，及取得最大值時的條件，再求表面積．詳解：四棱錐的體積是三棱柱體積的，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．∴．故選C．點睛：本題考查棱柱與棱錐的體積，考查用基本不等式求最值．解題關(guān)鍵是表示出三棱柱的體積．2、D【解題分析】

連接，利用三角形邊之間的關(guān)系得到，，代入離心率公式得到答案.【題目詳解】連接，依題意知：，，所以.【題目點撥】本題考查了雙曲線的離心率，利用三角形邊之間的關(guān)系和雙曲線性質(zhì)得到的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.3、B【解題分析】

利用函數(shù)取得極大值的充分條件即可得出．【題目詳解】解：只有一個極大值點．當(dāng)時，，當(dāng)時，．當(dāng)時，，時，，時，，且，，，，，函數(shù)在，處取得極大值．，，處取得極小值．故選：B．【題目點撥】本題考查極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，熟練掌握函數(shù)取得極大值的充分條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】試題分析：由的導(dǎo)數(shù)為，則在點處的切線斜率為，由切線與直線平行，所以，故選D．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點處的切線方程．5、D【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)解得，設(shè)，求導(dǎo)計算單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)性質(zhì)判斷大小得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，令.則為內(nèi)的偶函數(shù)，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減又，故，選D.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，比較大小，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.6、C【解題分析】

基本事件總數(shù)n36，小明恰好分配到甲村小學(xué)包含的基本事件個數(shù)m12，由此能求出小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率．【題目詳解】解：大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)進行支教，每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，基本事件總數(shù)n36，小明恰好分配到甲村小學(xué)包含的基本事件個數(shù)m12，∴小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為p．故選C．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概率、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由已知條件可知三角形為直角三角形，且，再根據(jù)直角三角形射影定理可求得所求投影的值.詳解：根據(jù)題意畫出圖像如下圖所示，因為，所以為中點，所以是圓的直徑，所以.由于，所以三角形為等邊三角形，所以，根據(jù)直角三角形射影定理得，即.故選C.點睛：本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量加法的幾何意義，考查直角三角形射影定理等知識.屬于中檔題.8、D【解題分析】分析：先求當(dāng)x=3時，的值5，再用4-5=-1即得方程在樣本處的殘差.詳解：當(dāng)x=3時，，4-5=-1，所以方程在樣本處的殘差為-1.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查殘差的計算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)殘差=實際值-預(yù)報值，不要減反了.9、B【解題分析】

由題意，數(shù)表的每一行從右往左都是等差數(shù)列，且第一行公差為1,第二行公差為2,第三行公差為4,…,第2015行公差為，故第1行的從右往左第一個數(shù)為：，第2行的從右往左第一個數(shù)為：，第3行的從右往左第一個數(shù)為：，…第行的從右往左第一個數(shù)為：，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是.10、D【解題分析】分析：先求出二項式展開式的通項，再令x的指數(shù)為4得到r的值，即得的展開式中的系數(shù).詳解：由題得二項展開式的通項為,令10-3r=4,所以r=2,所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查二項式展開式中某項的系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)的展開式中的系數(shù)為,不是,要把二項式系數(shù)和某一項的系數(shù)兩個不同的概念區(qū)分開.11、B【解題分析】

分析可得平面內(nèi)有個圓時,它們將平面分成塊,再添加第個圓時,因為每兩個都相交于兩點,每三個都無公共點,故會增加個圓.再求和即可.【題目詳解】由題,添加第個圓時,因為每兩個都相交于兩點,每三個都無公共點,故會增加個圓.又,故.即.累加可得.故選：B【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求解通項公式的方法,需要畫圖分析進行理解.或直接計算等利用排除法判斷.屬于中檔題.12、D【解題分析】

定積分的幾何意義是圓的個圓的面積，計算可得結(jié)果.【題目詳解】定積分的幾何意義是圓的個圓的面積,∴，故選D.【題目點撥】本題考查定積分，利用定積分的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：這是一個考查類比推理的題目，解題的關(guān)鍵是仔細觀察圖中給出的萊布尼茨三角形，并從三解數(shù)陣中，找出行與行之間數(shù)的關(guān)系，探究規(guī)律并其表示出來．詳解：類比觀察得，將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù)，而相鄰兩項之和是上一行的兩者相拱之?dāng)?shù)，所以類比式子，有．故答案為．點睛：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進行運算，易得最終結(jié)果．14、64.【解題分析】

將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，可得第1次全行的數(shù)都為1的是第2行，第2次全行的數(shù)都為1的是第4行，…，由此可知全奇數(shù)的行出現(xiàn)在2n的行數(shù)，即第n次全行的數(shù)都為1的是第2n行．126＝27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，問題得以解決．【題目詳解】解：由題意，將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，可得第1次全行的數(shù)都為1的是第2行，第2次全行的數(shù)都為1的是第4行，…，由此可知全奇數(shù)的行出現(xiàn)在2n的行數(shù)，即第n次全行的數(shù)都為1的是第2n行．126＝27﹣2，故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11又126÷4＝31+2，∴S126＝2×31+2＝64，故答案為：64點睛：本題考查歸納推理，屬中檔題.15、9【解題分析】分析：假設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生說明試驗成功，設(shè)每次試驗成功的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B（3，p），由此能求出事件A恰好發(fā)生一次的概率．詳解：假設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生說明試驗成功，設(shè)每次試驗成功的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B（3，p），則有1﹣（1﹣p）3=6364，得p=3則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C3故答案為：964點睛：（1）本題主要考查獨立重復(fù)性試驗的概率，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生K次的概率是:Pn(ξ=k)=Cnkpk(1-p)n-k，（k=0,1,2,3,...n）．正好是二項式[(1-p)+p]16、【解題分析】

求出的導(dǎo)數(shù)，令，根據(jù)單調(diào)區(qū)間，可得所求極值點；【題目詳解】令，得則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在處取得極小值，是其極小值點.即答案為3.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值點，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）17.40千元；（2）（i）14.77千元.（ii）978人.【解題分析】

（1）求解每一組數(shù)據(jù)的組中值與頻率的乘積，將結(jié)果相加即可得到對應(yīng)的；（2）（i）根據(jù)的數(shù)值判斷出年收入的取值范圍，從而可計算出最低年收入；（ii）根據(jù)的數(shù)值判斷出每個農(nóng)民年收入不少于千元的概率，然后根據(jù)二項分布的概率計算公式計算出“恰有個農(nóng)民年收入不少于”中的最大值即可.【題目詳解】解：（1）千元故估計50位農(nóng)民的年平均收入為17.40千元；（2）由題意知（i），所以時，滿足題意，即最低年收入大約為14.77千元.（ii）由，每個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件的概率為0.9773，記1000個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的人數(shù)為，則，其中，于是恰好有k個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件概率為，從而由得，而，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由此可知，在所走訪的1000位農(nóng)民中，年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是978人.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖、正態(tài)分布、二項分布概率計算，屬于綜合題型，對于分析和數(shù)字計算的能力要求較高，難度較難.判斷獨立重復(fù)試驗中概率的最值，可通過作商的方法進行判斷.18、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，可直接得出結(jié)論成立；（2）以為原點，直線，分別為軸，過點作與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線的方向向量與平面的法向量，根據(jù)向量夾角的余弦值，即可求出結(jié)果.【題目詳解】解：（1）證明：平面平面，交線為，且平面，從而，又，由余弦定理得，即又，平面.（2）以為原點，直線，分別為軸，過點作與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，設(shè)，,,所以平面BCE的法向量與平面所成角的正弦弦值【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定，以及空間向量的方法求線面角，熟記線面垂直的判定定理，以及空間向量的方法求解，即可得出結(jié)果.19、（1）f(x)=x2-4lnx（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.極小值為，無極大值【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程得到關(guān)于的方程組，解出即可。（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可?！绢}目詳解】（1），?因為點M(1,1)處的切線方程為2x+y-3=0，所以,所以，則f(x)=x2-4lnx;（2）定義域為(0,+∞),,令，得（舍負）.列表如下：xf'(x)-0+f(x)遞減極小值遞增故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單