吉林省長春市九臺市第四中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，，則有（）A． B． C． D．2．已知直線l、直線m和平面，它們的位置關系同時滿足以下三個條件：①；②；③l與m是互相垂直的異面直線若P是平面上的動點，且到l、m的距離相等，則點P的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線3．已知函數(shù)f(x)在R上可導，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，則函數(shù)f(x)的解析式為()A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8xC．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x4．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度5．從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動，則男女生都有的選法種數(shù)是（）A．18 B．24 C．30 D．366．若復數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．7．已知集合，集合中至少有3個元素，則（）A． B． C． D．8．設a,b,c為三角形ABC三邊長，a≠1,b<c，若logc+ba+logc-bA．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定9．已知函數(shù)在恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則在上的值域為（）A． B． C． D．11．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個大于，反證假設正確的是()A．假設三內(nèi)角都大于 B．假設三內(nèi)角都不大于C．假設三內(nèi)角至多有一個大于 D．假設三內(nèi)角至多有兩個大于12．某公司在年的收入與支出情況如下表所示：收入（億元）支出y（億元）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，依此名計，如果年該公司的收入為億元時，它的支出為（）A．億元 B．億元 C．億元 D．億元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量，若，則__________.14．在的展開式中的系數(shù)與常數(shù)項相等，則正數(shù)______.15．若向量，且，則等于________.16．函數(shù)的定義域為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二項式的展開式中各項的系數(shù)和為.（1）求；（2）求展開式中的常數(shù)項．18．（12分）《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：從年秋季高中入學的新生開始，不分文理科；年開始，高考總成績由語數(shù)外門統(tǒng)考科目成績和物理、化學等六門選考科目成績構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為共個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為．選考科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.某校高一年級共人，為給高一學生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中化學考試原始成績基本服從正態(tài)分布．（Ⅰ）求化學原始分在區(qū)間的人數(shù)；（Ⅱ）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取人，求這人中至少有人成績在的概率；（III）若小明同學選擇物理、化學和地理為選考科目，其中物理、化學成績獲得等的概率都是，地理成績獲得等的概率是，且三個科目考試的成績相互獨立.記表示小明選考的三個科目中成績獲得等的科目數(shù)，求的分布列.（附：若隨機變量，則，，.）19．（12分）已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1，3)兩點，且圓心C在直線x＋y－1＝0上．(1)求圓C的方程；(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線l的方程．20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，記數(shù)列的前項和為，證明：.21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證:.22．（10分）如圖所示，四邊形為菱形，且，，，且，平面.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：先分別求出集合M和N，由此能求出M和N的關系.詳解：，，故.故選：B.點睛：本題考查兩個集合的包含關系的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、一元二次函數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題.2、D【解題分析】

作出直線m在平面α內(nèi)的射影直線n，假設l與n垂直，建立坐標系，求出P點軌跡即可得出答案．【題目詳解】解：設直線m在平面α的射影為直線n，則l與n相交，不妨設l與n垂直，設直線m與平面α的距離為d，在平面α內(nèi)，以l，n為x軸，y軸建立平面坐標系，則P到直線l的距離為|y|，P到直線n的距離為|x|，∴P到直線m的距離為，∴|y|，即y2﹣x2＝d2，∴P點軌跡為雙曲線．故選：D．【題目點撥】本題考查空間線面位置關系、軌跡方程，考查點到直線的距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．3、B【解題分析】

求函數(shù)在處的導數(shù)即可求解.【題目詳解】∵，．令，得，.故.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)定義的運用.求解在處的導數(shù)是解題的關鍵.4、D【解題分析】

將函數(shù)表示為，結(jié)合三角函數(shù)的變換規(guī)律可得出正確選項.【題目詳解】，因此，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，故選：D.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的平移變換，解決三角函數(shù)平移變換需要注意以下兩個問題：（1）變換前后兩個函數(shù)名稱要保持一致；（2）平移變換指的是在自變量上變化了多少.5、C【解題分析】

由于選出的3名學生男女生都有，所以可分成兩類，一類是1男2女，一類是2男1女.【題目詳解】由于選出的3名學生男女生都有，所以可分成兩類：（1）3人中是1男2女，共有；（2）3人中是2男1女，共有；所以男女生都有的選法種數(shù)是.【題目點撥】本題考查分類與分步計算原理，考查分類討論思想及簡單的計算問題.6、A【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算可求得；根據(jù)共軛復數(shù)的定義可得到結(jié)果.【題目詳解】由題意得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查共軛復數(shù)的求解，關鍵是能夠利用復數(shù)的除法運算求得，屬于基礎題.7、C【解題分析】試題分析：因為中到少有個元素，即集合中一定有三個元素，所以，故選C.考點：1.集合的運算；2.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).8、B【解題分析】試題分析：兩邊除以logc+balogc-ba考點：1.解三角形；2.對數(shù)運算.9、B【解題分析】

本題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，然后對求導并判斷單調(diào)性，可確定的圖象特征，即可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意，可知在恰有兩個解，即函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，令，則，當可得，故時，；時，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因為，所以當時，函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，即時，函數(shù)在恰有兩個零點.故選B.【題目點撥】已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.10、B【解題分析】解析：因，故，因，故，則，所以，應選答案B．11、B【解題分析】

反證法的第一步是假設命題的結(jié)論不成立，根據(jù)這個原則，選出正確的答案.【題目詳解】假設命題的結(jié)論不成立，即假設三角形的內(nèi)角中至少有一個大于不成立，即假設三內(nèi)角都不大于，故本題選B.【題目點撥】本題考查了反證法的第一步的假設過程，理解至少有一個大于的否定是都不大于是解題的關鍵.12、B【解題分析】，，代入回歸直線方程，，解得：，所以回歸直線方程為：，當時，支出為億元，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】

由向量平行關系求出，利用向量模的公式即可得到答案．【題目詳解】因為，所以，解得，則，故．【題目點撥】本題考查向量平行以及向量模的計算公式，屬于基礎題．14、【解題分析】

根據(jù)二項展開式的通項公式，求出展開式中的系數(shù)、展開式中的常數(shù)項，再根據(jù)它們相等，求出的值.【題目詳解】解：因為的展開式的通項公式為，令，求得，故展開式中的系數(shù)為.令，求得，故展開式中的系數(shù)為，所以，因為為正數(shù)，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.15、1【解題分析】

根據(jù)題目，可知，根據(jù)空間向量的直角坐標運算律，即可求解出的值．【題目詳解】由題意知，向量，即解得，故答案為1．【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)向量的垂直關系，結(jié)合數(shù)量積運算求參數(shù)．16、【解題分析】分析：令即可求出定義域詳解：令，，解得綜上所述，函數(shù)的定義域為點睛：在求定義域時找出題目中的限制條件，有分母的令分母不等于零，有根號的令根號里面大于或者等于零，對數(shù)有自身的限制條件，然后列出不等式求出定義域。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）8；（2）.【解題分析】

⑴觀察可知，展開式中各項系數(shù)的和為，即，解出得到的值⑵利用二次展開式中的第項，即通項公式，將第一問的代入，并整理，令的次數(shù)為，解出，得到答案【題目詳解】（1）由題意，得，即＝256，解得n＝8.（2）該二項展開式中的第項為Tr＋1＝，令＝0，得r＝2，此時，常數(shù)項為＝28.【題目點撥】本題主要考的是利用賦值法解決展開式的系數(shù)和問題，考查了利用二次展開式的通項公式解決二次展開式的特定項問題。18、（Ⅰ）1227人（Ⅱ）（III）見解析【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)正態(tài)分布的區(qū)間及對稱性質(zhì)，利用原則及數(shù)據(jù)即可得化學原始分在區(qū)間的概率，進而求得改區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（Ⅱ）先求得再區(qū)間內(nèi)學生所占比例，即可得隨機抽取1人成績在該區(qū)間的概率，由獨立重復試驗的概率公式，即可求得人中至少有人成績在改區(qū)間的概率；（III）根據(jù)題意可知隨機變量的可能取值為.根據(jù)所給各科目獲得等的概率，由獨立事件的乘法公式可得各可能取值對應的概率，即可得分布列.【題目詳解】（Ⅰ）因為化學考試原始分基本服從正態(tài)分布，即，所以，所以化學原始分在區(qū)間的人數(shù)為人.（Ⅱ）由題意得，位于區(qū)間內(nèi)所占比例為，所以隨機抽取人，其成績在內(nèi)的概率為，所以隨機抽取人，相當于進行次獨立重復試驗.設這人中至少有人成績在為事件，則.（III）隨機變量的可能取值為.則，，，.所以的分布列為【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的性質(zhì)及綜合應用，獨立重復試驗概率的求法，獨立事件概率乘法公式的應用，離散型隨機變量分布列的求法，屬于中檔題.19、（1）（2）y＝－x＋4或y＝－x－3【解題分析】

（1）由圓的性質(zhì)知圓心在線段的垂直平分線上，因此可求得線段的垂直平分線的方程，與方程聯(lián)立，可求得圓心坐標，再求得半徑后可得圓標準方程；（2）設的方程為．代入圓方程，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－1．而以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則有，即，由此可求得，得直線方程．【題目詳解】(1)∵P(4，－2)，Q(－1，3)，∴線段PQ的中點M，斜率kPQ＝－1，則PQ的垂直平分線方程為，即．解方程組得∴圓心C(1，2)，半徑．故圓C的方程為．(2)由l∥PQ，設l的方程為．代入圓C的方程，得．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－1．故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)，依題意知OA⊥OB，則．∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝2，于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝2，即m2－m－12＝2．∴m＝4或m＝－3，經(jīng)檢驗，滿足Δ>2．故直線l的方程為y＝－x＋4或y＝－x－3．【題目點撥】本題考查求圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系．求圓的方程，可先確定圓心坐標，求得圓的半徑，然后寫出標準方程．本題直線與圓相交問題中采用設而不求法，即設交點坐標為，由直線方程與圓方程聯(lián)立方程組消元后可得（不直接求出交點坐標），代入A，B滿足的其他條件（本題中就是）求得參數(shù)值．20、(1).(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：（I）當時，，整理得，當n=1時，有.數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即可求數(shù)列的通項公式．（II）由（I）有，則,用裂項相消法可求其前n項和.試題解析：（I）當時，有，解得.當時，有，則整理得：數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即數(shù)列的通項公式為：．（II）由（I）有，則故得證.21、（1）在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析.【解題分析】

(1)先對求導，通過導函數(shù)與0的大小比較即可得到單調(diào)區(qū)間.(2),從而利用（1）中相關結(jié)論求出的極值點證明不等式.【題目詳解】（1），．，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：．由（1）知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，，且時，，在時取得最小值，即，故.【題目點撥