云南省保山市第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知空間向量，且，則（）A． B． C． D．2．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．3．設(shè)，則“，且”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若α是第一象限角，則sinα+cosα的值與1的大小關(guān)系是（）A．sinα+cosα＞1 B．sinα+cosα=1 C．sinα+cosα＜1 D．不能確定5．長(zhǎng)方體中，，，則直線與平面ABCD所成角的大?。ǎ〢． B． C． D．6．已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則8．牡丹花會(huì)期間，記者在王城公園隨機(jī)采訪6名外國(guó)游客，其中有2名游客來過洛陽，從這6人中任選2人進(jìn)行采訪，則這2人中至少有1人來過洛陽的概率是（）A． B． C． D．9．學(xué)生會(huì)為了調(diào)查學(xué)生對(duì)年俄羅斯世界杯的關(guān)注是否與性別有關(guān)，抽樣調(diào)查人，得到如下數(shù)據(jù)：不關(guān)注關(guān)注總計(jì)男生301545女生451055總計(jì)7525100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，并參考以下臨界數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.828若由此認(rèn)為“學(xué)生對(duì)2018年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯(cuò)的概率不超過（）A． B． C． D．10．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．11．已知點(diǎn)，則它的極坐標(biāo)是（）A． B．C． D．12．一個(gè)三棱錐的正視圖和側(cè)視圖如圖所示(均為真角三角形),則該三棱錐的體積為（）A．4 B．8 C．16 D．24二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝lnx－ax()，當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，f(x)的最小值是1，則a＝__________.14．如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為，記線段以及的圖象圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）為，若向矩形內(nèi)任意投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域的概率為__________．15．在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為，外接圓周長(zhǎng)為，則.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體的內(nèi)切球表面積為，外接球表面積為，則__________．16．設(shè)隨機(jī)變量，且，則實(shí)數(shù)的值為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，單位圓上存在兩點(diǎn)，滿足均與軸垂直，設(shè)與的面積之和記為．若，求的值；若對(duì)任意的，存在，使得成立，且實(shí)數(shù)使得數(shù)列為遞增數(shù)列，其中求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)，，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：，恒成立.19．（12分）2016年10月16日，在印度果阿出席金磚國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人第八次會(huì)議時(shí)，發(fā)表了題為《堅(jiān)定信心，共謀發(fā)展》的重要講話，引起世界各國(guó)的關(guān)注，為了了解關(guān)注程度，某機(jī)構(gòu)選取“70后”和“80后”兩個(gè)年齡段作為調(diào)查對(duì)象，進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了120名“80后”，80名“70后”，其中調(diào)查的“80后”有40名不關(guān)注，其余的全部關(guān)注；調(diào)查的“70”后有10人不關(guān)注，其余的全部關(guān)注.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)“80后”“70后”合計(jì)（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“關(guān)注與年齡段有關(guān)”？請(qǐng)說明理由。參考公式：K2=（n=a+b+c+d）附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．21．（12分）設(shè)正整數(shù),集合，是集合P的3個(gè)非空子集,記為所有滿足：的有序集合對(duì)（A,B,C）的個(gè)數(shù).（1）求；（2）求.22．（10分）已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線過點(diǎn)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)空間向量的數(shù)量積等于0，列出方程，即可求解.【題目詳解】由空間向量，又由，即，解得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間向量中垂直關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)，利用向量的數(shù)量積等于0，列出方程即可求解，著重考查了推理與運(yùn)算能力.2、B【解題分析】

根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可計(jì)算出的值.【題目詳解】由題意可得，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，意在考查對(duì)數(shù)學(xué)期望公式的理解和應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】分析：由題意逐一考查充分性和必要性即可.詳解：若“，且”，有不等式的性質(zhì)可知“”，則充分性成立；若“”，可能，不滿足“，且”，即必要性不成立；綜上可得：“，且”是“”的充分不必要條件.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查充分不必要條件的判定及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4、A【解題分析】試題分析：設(shè)角α的終邊為OP，P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數(shù)的定義，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，得出結(jié)論．解：如圖所示：設(shè)角α的終邊為OP，P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數(shù)的定義，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，故選A．考點(diǎn)：三角函數(shù)線．5、B【解題分析】

連接，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)和線面角的定義可知：是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用銳角三角函數(shù)知識(shí)可以求出的大小.【題目詳解】連接，在長(zhǎng)方體中，顯然有平面ABCD，所以是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面角的求法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、D【解題分析】

畫出函數(shù)的圖像，將的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)交點(diǎn)問題來解決，畫出圖像，根據(jù)圖像確定的取值范圍.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.令，易知，所以，將函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像，與直線有個(gè)交點(diǎn)來求解.畫出的圖像如下圖所示，由圖可知，而，故.故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分段函數(shù)圖像與性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.7、C【解題分析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【題目詳解】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；在B中，若，，則或，故B錯(cuò)誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯(cuò)誤．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題．8、C【解題分析】分析：從名外國(guó)游客中選取人進(jìn)行采訪，共有種不同的選法，其中這人中至少有人來過洛陽的共有種不同選法，由古典概型的概率計(jì)算公式即可求解．詳解：由題意，從名外國(guó)游客中選取人進(jìn)行采訪，共有種不同的選法，其中這人中至少有人來過洛陽的共有種不同選法，由古典概型的概率計(jì)算公式可得，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)排列、組合的相關(guān)知識(shí)得到基本事件的個(gè)數(shù)和所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力．9、A【解題分析】因?yàn)?所以若由此認(rèn)為“學(xué)生對(duì)2018年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯(cuò)的概率不超過，故選A.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計(jì)算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷.（注意：在實(shí)際問題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯(cuò)誤.）10、A【解題分析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，先求出，再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【題目詳解】，即，所以，，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵．11、C【解題分析】

由計(jì)算即可?！绢}目詳解】在相應(yīng)的極坐標(biāo)系下，由于點(diǎn)位于第四象限，且極角滿足，所以.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬于簡(jiǎn)單題。12、B【解題分析】

根據(jù)三視圖知，三棱錐的一條長(zhǎng)為6的側(cè)棱與底面垂直，底面是直角邊為2、4的直角三角形，利用棱錐的體積公式計(jì)算即可.【題目詳解】由三視圖知三棱錐的側(cè)棱與底垂直，其直觀圖如圖，可得其俯視圖是直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2，4，，棱錐的體積，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于中檔題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】由題意，得x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝lnx－ax(a＞)有最大值－1，f′(x)＝－a，由f′(x)＝0得x＝∈(0,2)，且x∈(0，)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，x∈(，2)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，則f(x)max＝f()＝ln－1＝－1，解得a＝1.14、【解題分析】因空白處的面積，故陰影部分的面積為，故由幾何概型的計(jì)算公式可得所求概率，應(yīng)填答案．15、【解題分析】分析：平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.詳解：平面幾何中，圓的周長(zhǎng)與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因?yàn)檎拿骟w的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.16、【解題分析】

隨機(jī)變量的正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，即0與關(guān)于對(duì)稱，解出即可。【題目詳解】根據(jù)題意有故填9【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解題分析】

（1）運(yùn)用三角形的面積公式和三角函數(shù)的和差公式，以及特殊角的函數(shù)值，可得所求角；（2）由正弦函數(shù)的值域可得的最大值，再由基本不等式可得的最大值，可得的范圍，再由數(shù)列的單調(diào)性，討論的范圍，即可得到的取值范圍．【題目詳解】依題意，可得，由，得，又，所以．由得因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）又因?yàn)閷?duì)任意，存在，使得成立，所以，即，解得，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且，所以，從而，又，所以，從而，又，①當(dāng)時(shí)，，從而，此時(shí)與同號(hào)，又，即，②當(dāng)時(shí)，由于趨向于正無窮大時(shí)，與趨向于相等，從而與趨向于相等，即存在正整數(shù)，使，從而，此時(shí)與異號(hào)，與數(shù)列為遞增數(shù)列矛盾，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的恒等變換，以及不等式恒成立，存在性問題解法和數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，試題綜合性強(qiáng)，屬于難題，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及分析問題和解答問題的能力．18、（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【解題分析】

（1）可求得，分別在、、、四種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為：，令，，利用導(dǎo)數(shù)求得和，可證得，從而證得結(jié)論.【題目詳解】（1），①當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減②當(dāng)時(shí)，和時(shí)，；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減③當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上單調(diào)遞增④當(dāng)時(shí)，和時(shí)，；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）對(duì)，恒成立即為：，等價(jià)于：令，則時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增令，則時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上可得：，即在上恒成立對(duì)，恒成立【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的求解.解決本題中的恒成立問題的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺C不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)之間最值的比較，通過最小值與最大值的大小關(guān)系得到結(jié)論.19、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)，即可填寫的列聯(lián)表；（2）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式，計(jì)算的值，即可作出預(yù)測(cè)．試題解析：（1)2X2列聯(lián)表：（2）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算K2=≈11.11>10.828對(duì)照觀測(cè)值得:能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“關(guān)注”與“不關(guān)注”與年齡段有關(guān).20、（1）8（2）[－2,0].【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)f（x）最小值是f（﹣1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（2）+F（﹣2）的值；（2）由于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且a=1，c=0，所以f（x）=x2+bx，進(jìn)而在滿足|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]恒成立時(shí)，求出即可．【題目詳解】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2