1.6.1余弦定理新知初探·課前預習題型探究·課堂解透新知初探·課前預習教材要點要點一解三角形從已知三角形的某些元素出發(fā)求這個三角形其他元素的過程叫作解三角形．要點二余弦定理文字語言三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍符號語言a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________．推論cosA＝__________，cosB＝___________，cosC＝__________．b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC

狀元隨筆對余弦定理的理解(1)余弦定理對任意的三角形都成立．(2)在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量．(3)余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題．用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角．

基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．(

)(2)余弦定理只適用于銳角三角形．(

)(3)已知三角形的三邊求三個內(nèi)角時，解是唯一的．(

)(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形．(

)√×√√

答案：D

答案：B

題型探究·課堂解透

答案：D

答案：C方法歸納(1)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法用余弦定理列出關于第三邊的等量關系建立方程，運用解方程的方法求出此邊長．(2)已知兩邊及其夾角解三角形的方法首先用余弦定理求出第三邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角．

2

1解析：根據(jù)余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC所以13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1(負值舍去)．

答案：B(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，求此三角形的最大邊長．解析：已知a－b＝4，則a>b，且a＝b＋4.又a＋c＝2b，則b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，則b>c，從而a>b>c.因此a為最大邊，∠A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大邊長為14.方法歸納(1)余弦定理及其推論在結(jié)構(gòu)上有所不同，因此在應用它們解三角形時要根據(jù)條件靈活選擇；(2)由于余弦函數(shù)在區(qū)間(0，π)內(nèi)是單調(diào)的，因此由余弦定理的推論可知，由任意一個內(nèi)角的余弦值確定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形內(nèi)角時不必進行分類討論．

答案：D(2)△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，則其最大內(nèi)角等于________．

題型3判斷三角形的形狀例3在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sinA＝2sinBcosC．試判斷△ABC的形狀．

方法歸納利用三角形的邊角關系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”入手，即用轉(zhuǎn)化的思想解決問題，一般有兩個思路：(1)化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三個角之間的關系；(2)化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關系．一般地，若遇到的式子含角的余弦或邊的二次式，則要考慮用余弦定理．跟蹤訓練3

在△ABC中，若滿足acosA＝bcosB，則△ABC一定為(

)A．等腰三角形

B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案：D

易錯辨析忽略構(gòu)成三角形的條件出錯例4已知2a＋1，a，2a－1是鈍角三角形的三邊，則實數(shù)a的取值范圍為________．(2，8)

易錯警示易錯原因糾錯心得由于余弦定理的變形較多，且涉及平方和開方等運算，易因不細心而導致錯誤．在利用余弦定理求三角形的三邊時，除了要保證三邊長均為正數(shù)，還要判斷一下三邊能否構(gòu)成三角形．

答案：C解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋25－2×3×5cos120°＝49∴b＝7.

答案：B

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若∠B＝60°，b2＝ac，則△AB