天津市河西區(qū)實驗中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線的左，右焦點，點在雙曲線上，且，則等于（）．A． B． C．或 D．或2．已知隨機變量X的分布列：02若，，則（）A． B． C． D．3．設(shè)A，B，C是三個事件，給出下列四個事件：（Ⅰ）A，B，C中至少有一個發(fā)生；（Ⅱ）A，B，C中最多有一個發(fā)生；（Ⅲ）A，B，C中至少有兩個發(fā)生；（Ⅳ）A，B，C最多有兩個發(fā)生；其中相互為對立事件的是（）A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ4．已知變量，之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為，若，，則的值為()A． B． C． D．15．若某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積等于（）A．10 B．20 C．30 D．606．已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的解析式不可能是()A． B． C． D．7．給出下列三個命題:命題1：存在奇函數(shù)和偶函數(shù),使得函數(shù)是偶函數(shù)；命題2：存在函數(shù)、及區(qū)間，使得、在上均是增函數(shù),但在上是減函數(shù)；命題3：存在函數(shù)、（定義域均為），使得、在處均取到最大值，但在處取到最小值.那么真命題的個數(shù)是()．A． B． C． D．8．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．有10名學(xué)生和2名老師共12人,從這12人選出3人參加一項實踐活動則恰有1名老師被選中的概率為（）A．922 B．716 C．910．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對、兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)與殘差平方和如表：甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103則哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)、兩變量有更強的線性相關(guān)性（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．某巨型摩天輪．其旋轉(zhuǎn)半徑50米，最高點距地面110米，運行一周大約21分鐘．某人在最低點的位置坐上摩天輪，則第35分鐘時他距地面大約為（）米．A．75 B．85 C．100 D．110二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知AB是球O的直徑，C，D為球面上兩動點，AB⊥CD，若四面體ABCD體積的最大值為9，則球O的表面積為__．14．在xOy平面上，將雙曲線的一支及其漸近線和直線、圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分，記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為，過作的水平截面，計算截面面積，利用祖暅原理得出體積為________15．已知函數(shù)，則__________．16．若過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是奇函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的值18．（12分）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為，過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線與曲線交于、兩點，求的值，并求定點到，兩點的距離之積.20．（12分）如圖，已知正三棱柱的高為3，底面邊長為，點分別為棱和的中點．（1）求證：直線平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）如圖①，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內(nèi)有20cm深的溶液．現(xiàn)將此容器傾斜一定角度（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．（1）要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會溢出，角的最大值是多少？（2）現(xiàn)需要倒出不少于的溶液，當(dāng)時，能實現(xiàn)要求嗎？請說明理由．22．（10分）已知是正實數(shù))的展開式的二項式系數(shù)之和為128,展開式中含項的系數(shù)為84.(1)求的值；(2)求的展開式中有理項的系數(shù)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】由，可得，又由題意得雙曲線的漸近線方程為，∴∴，根據(jù)雙曲線的定義可得，∴或．經(jīng)檢驗知或都滿足題意．選．點睛：此類問題的特點是已知雙曲線上一點到一個焦點的距離，求該點到另一個焦點的距離，實質(zhì)上是考查雙曲線定義的應(yīng)用．解題時比較容易忽視對求得的結(jié)果進行驗證，實際上，雙曲線右支上的點到左焦點的最小距離為，到右焦點的最小距離為．同樣雙曲線左支上的點到右焦點的最小距離是，到左焦點的最小距離是．2、B【解題分析】

由，可得，由隨機變量分布列的期望、方差公式，聯(lián)立即得解.【題目詳解】由題意，且，又聯(lián)立可得：故選：B【題目點撥】本題考查了隨機變量分布列的期望和方差，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.3、B【解題分析】

利用互斥事件、對立事件的定義直接求解．【題目詳解】解：，，是三個事件，給出下列四個事件：（Ⅰ），，中至少有一個發(fā)生；（Ⅱ），，中最多有一個發(fā)生；（Ⅲ），，中至少有兩個發(fā)生（Ⅳ），，最多有兩個發(fā)生；在中，Ⅰ和Ⅱ能同時發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個事件不能相互為對立事件；在中，Ⅱ和Ⅲ既不能同時發(fā)生，也不能同時不發(fā)生，故中的兩個事件相互為對立事件；在中，Ⅲ和Ⅳ能同時發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個事件不能相互為對立事件；在中，Ⅳ和Ⅰ能同時發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個事件不能相互為對立事件．故選：．【題目點撥】本題考查相互為對立事件的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

根據(jù)題意，可知，，，代入即可求這組樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程，即可求解出答案。【題目詳解】依題意知，，而直線一定經(jīng)過點，所以，解得．故答案選A?！绢}目點撥】本題主要考查了根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)求回歸直線，線性回歸直線過點，這個點稱為樣本點的中心，回歸直線一定過此點。5、B【解題分析】

分析：根據(jù)三視圖得到原圖，再由椎體的體積公式得到結(jié)果.詳解：由三視圖得到原圖是，底面為直角三角形，高為5的直棱柱，沿面對角線切去一個三棱錐后剩下的部分．體積為：故答案為B.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.6、D【解題分析】

根據(jù)奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱求得的值.在根據(jù)單調(diào)性判斷出正確選項.【題目詳解】由于函數(shù)為偶函數(shù)，故其定義域關(guān)于原點對稱，即，故函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在上遞增，故在上遞減.對于A選項，，符合題意.對于B選項，符合題意.對于C選項，符合題意.對于D選項，，在上遞減，不符合題意，故本小題選D.【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查含有絕對值函數(shù)的理解，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】對于命題1，取，，滿足題意；對于命題2，取，，滿足題意；對于命題3，取，，滿足題意；即題中所給的三個命題均為真命題，真命題的個數(shù)是.本題選擇D選項.8、D【解題分析】

直接把給出的復(fù)數(shù)寫出代數(shù)形式，得到對應(yīng)的點的坐標(biāo)，則答案可求．【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為位于第一象限，故選A．【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，以及復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

先求出從12人中選3人的方法數(shù)，再計算3人中有1人是老師的方法數(shù)，最后根據(jù)概率公式計算．【題目詳解】從12人中選3人的方法數(shù)為n=C123=220，3人中愉有∴所求概率為P=m故選A．【題目點撥】本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是求出完成事件的方法數(shù)．10、C【解題分析】試題分析：，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴，又∵，，不等式只有兩個整數(shù)解，∴，即實數(shù)的取值范圍是故選C．【考點】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運用．11、D【解題分析】試題分析：由題表格；相關(guān)系數(shù)越大，則相關(guān)性越強．而殘差越大，則相關(guān)性越?。傻眉住⒁?、丙、丁四位同學(xué)，中丁的線性相關(guān)性最強．考點：線性相關(guān)關(guān)系的判斷．12、B【解題分析】分析：設(shè)出P與地面高度與時間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由題意求出三角函數(shù)中的參數(shù)A，B，及周期T，利用三角函數(shù)的周期公式求出ω，通過初始位置求出φ，求出f（35）的值即可．詳解：設(shè)P與地面高度與時間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由題意可知：A=50，B=110﹣50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又因為f（0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（35）=50sin（×35+）+60=1．故選B．點睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求，一般用最高點或最低點求．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、36π【解題分析】

由題意，為等腰直角三角形，高為球O的半徑時，四面體ABCD的體積最大，利用四面體ABCD體積的最大值為9，求出R，即可求出球O的表面積.【題目詳解】由題意，為等腰直角三角形，高為球O的半徑時，四面體ABCD的體積最大，最大值為，，球O的表面積為.故答案為：36π.【題目點撥】本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵.14、.【解題分析】分析：由已知中過（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，計算截面面積，利用祖暅原理得出Ω的體積．詳解：在xOy平面上，將雙曲線的一支及其漸近線和直線y=0，y=4圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．則直線y=a與漸近線交于一點A（，a）點，與雙曲線的一支交于B（，a）點，記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為Ω．過（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，則截面面積S=，利用祖暅原理得Ω的體積相當(dāng)于底面面積為9π高為4的圓柱的體積，∴Ω的體積V=9π×4=36π，故答案為36π點睛：本題考查的知識點是類比推理，其中利用祖暅原理將不規(guī)則幾何體的體積轉(zhuǎn)化為底面面積為9π高為4的圓柱的體積，是解答的關(guān)鍵．祖暅原理也可以成為中國的積分，將圖形的橫截面的面積在體高上積分，得到幾何體的體積.15、26【解題分析】

由題意結(jié)合函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可.【題目詳解】由函數(shù)的解析式可得：，，則.【題目點撥】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．16、【解題分析】

先求直線AB的方程，再利用弦長公式求.【題目詳解】由題得拋物線的焦點為，所以直線AB的方程為，即.把代入得，所以=.故答案為：【題目點撥】本題主要考查拋物線的弦長的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4【解題分析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，代入化簡得，進而可得的值；（2）設(shè)，可得，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得，進而可得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）因為是奇函數(shù)，所以，即，整理得，又，所以（2）設(shè)，因為，所以因為是奇函數(shù)，所以所以【題目點撥】本題主要考查了已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值，屬于中檔題.18、單調(diào)遞減區(qū)間是，.【解題分析】

將函數(shù)解析式化為，解不等式，，可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【題目詳解】.由，，得，.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，.【題目點撥】本題考查正切型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，解題時要利用正切函數(shù)的奇偶性將自變量的系數(shù)化為正數(shù)，然后利用代換進行求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）直線的普通方程，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由可得曲線的直角坐標(biāo)方程為；用消參法消去參數(shù)，得直線的普通方程.（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程中，由直線的參數(shù)方程中的參數(shù)幾何意義求解.【題目詳解】（Ⅰ）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，得直線的普通方程.由，得曲線的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得.則，.∴，.所以，的值為，定點到，兩點的距離之積為.【題目點撥】本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，直線的參數(shù)方程.20、（1）詳見解析；（2）．【解題分析】

取BC中點F，連接FE，F(xiàn)D，可證平面AFDE，則，求解三角形證明，再由線面垂直的判定可得直線平面BCE；

以F為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BED與平面BCD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．【題目詳解】（1）取的中點，連結(jié)，如圖，由題意知，四邊形為矩形，且．因為為棱的中點，所以，因為，所以，因為，所以平面，所以．又,所以平面．（2）以F為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則0，，0，，，

，，

設(shè)平面BED的一個法向量為，

由，取，得．

取平面BCD的一個法向量為，

．

且二面角為銳角，

二面角的余弦值為．【題目點撥】本題考查線面垂直的判定，利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．21、（1）要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會溢出，的最大值是45°（2）不能實現(xiàn)要求，詳見解析【解題分析】

（1）當(dāng)傾斜至上液面經(jīng)過點B時，容器內(nèi)溶液恰好不會溢出，此時最大．（2）當(dāng)時，設(shè)剩余的液面為，比較與6