專(zhuān)題14三角形及其全等

知識(shí)點(diǎn)解析

一、三角形的基礎(chǔ)知識(shí)

1.三角形的概念：由三條線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形.

2.三角形的三邊關(guān)系

1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊.

2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線(xiàn)段能否組成三角形；②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍；③

證明線(xiàn)段不等關(guān)系.

3.三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180。.

推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)

內(nèi)角的和；③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

4.三角形中的重要線(xiàn)段

1）三角形的一個(gè)角的平分線(xiàn)與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線(xiàn)段

叫做三角形的角平分線(xiàn).

2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn).

3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫做三角形的高

線(xiàn)（簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的高）.

4）連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)，三角形的中位線(xiàn)平行于第三

邊，且等于第三邊的一半.

二、全等三角形

1.三角形全等的判定定理：

1）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或

“SSS”）；

2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊

角邊”或“SAS”）；

3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角

邊角”或“ASA”）；

4）角角邊定理：有兩角和它們所對(duì)的任意一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)

寫(xiě)成“角角邊”或uAASn）；

5）對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有“L定理（斜邊、直角邊定

理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直

角邊”或“HL”）.

2.全等三角形的性質(zhì)：

1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；

2）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；

3）全等三角形對(duì)應(yīng)的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)、中位線(xiàn)都相等.

重點(diǎn)考向

考向一三角形的三邊關(guān)系

務(wù)典例引領(lǐng)

I.已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是4和9,則此三角形第三邊的長(zhǎng)可以是（）

A.4B.5C.10D.15

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出第三邊的范圍即可選出答案.

【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x,則由三角形三邊關(guān)系定理得9-4<x<4+9,

因此，三角形的第三邊應(yīng)滿(mǎn)足5Vx<13,

只有10符合不等式，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，熟記定理是解題關(guān)鍵.

2.在AABC中，AB=1,BC=g,下列選項(xiàng)中，可以作為AC長(zhǎng)度的是（）

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊，可以

得到AC的長(zhǎng)度可以取得的數(shù)值的取值范圍，從而可以解答本題.

【詳解】?.?在aABC中，AB=1,BC=5

：.y/5-1<AC<V5+1,

Vy/5-1<2<V5+1,4>V5+h5>V5+h6>括+1,

.?.AC的長(zhǎng)度可以是2,

故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D不正確；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及無(wú)理數(shù)的估算，解答本題的關(guān)鍵是明確題

意，利用三角形三邊關(guān)系解答.

3.在AABC中，AB=4,ZC=60°,ZA>ZB,則BC的長(zhǎng)的取值范圍是

【答案】4<BC?|V3

【解析】

［分析】作AABC的外接圓，求出當(dāng)NBAC=90。時(shí),BC是直徑最長(zhǎng)=述；當(dāng)ZBAC

3

=NABC時(shí)，AABC是等邊三角形，BC=AC=AB=4,而NBAONABC,即可

得出答案.

【詳解】解：作AABC的外接圓，如圖所示：

VZBAOZABC,AB=4,

當(dāng)NBAC=90。時(shí)，BC是直徑最長(zhǎng)，

VZC=60°,

/.ZABC=30o,

，BC=2AC,AB=6AC=4,

.?.AC=延，

3

.?.BC=包"

3

當(dāng)NBAC=NABC時(shí)，AABC是等邊三角形，BC=AC=AB=4,

VZBAOZABC,

.?.BC長(zhǎng)的取值范圍是4VBCW迪；

3

故答案為4<BCW?I.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)；

作出AABC的外接圓進(jìn)行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

4.已知a,b,c是團(tuán)ABC的三邊長(zhǎng)，a,b滿(mǎn)足|a-7|+(b-1)2=0,c為奇數(shù)，則

c=.

【答案】7

【解析】

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于

第三邊，兩邊之差小于第三邊求出c的取值范圍，再根據(jù)c是奇數(shù)求出c的值.

【詳解】Va,b滿(mǎn)足|a-7|+(b-1)2=0,

Aa-7=0,b-1=0,

解得a=7,b=l,

?7-1=6,7+1=8,

6<c<8,

又???<：為奇數(shù)，

，c=7,

故答案為7.

【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，解題的關(guān)鍵是明確題意，明確三角

形三邊的關(guān)系.

考向二三角形的內(nèi)角和外角

（3典例引領(lǐng)

5.如圖，AABC中，Z/1=60°,ZB=40°,DE//BC,則NAED的度數(shù)是（）

C.70°D.80°

【答案】D

【解析】

【分析】由三角形的內(nèi)角和定理求出NC的度數(shù)，然后由平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到

答案.

【詳解】解：在AABC中，ZA=60\ZB=40°,

ZC=180°-60°-40°=80°,

DEHBC,

：.ZAE￡>=NC=80。；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握

所學(xué)的性質(zhì)，正確求出角的度數(shù).

6.如圖，在△ABC中，ZA=30°,48=50。，CO平分ZACB,則/ADC的度數(shù)

是（）

A

A.80°B.90°C.100°D.110°

【答案】C

【解析】

【分析】在AABC中，利用三角形內(nèi)角和為180。求ZACB,再利用CZ）平分Z4CB,

求出NAC。的度數(shù)，再在98利用三角形內(nèi)角和定理即可求出N4DC的度數(shù).

【詳解】???在AABC中，ZA=30°,ZB=50°.

：.ZACB=\80°-ZA-ZB=180°-30°-50°=l00°.

CO平分ZACB.

ZA8=，ZAC8,xl00o=50。.

22

?.^A￡>C=180°--ZACD=180°-30°-50°=100°.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和和角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練應(yīng)用性質(zhì)是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.

7.如圖，在^ABC中，BO、CO分別平分/ABC、ZACB.若/BOC=110。，貝ij

ZA=____.

【答案】40°

【解析】

【分析】先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到NOBC=gZABC,NOCB=gZACB,再根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理得ZBOC+ZOBC+ZOCB=180°,則ZBOC=180°-；

(ZABC+ZACB),由于NABC+/ACB=180。-NA,所以NBOC=9(T+；NA,然

后把NBOC=110。代入計(jì)算可得到NA的度數(shù).

【詳解】解：...BO、CO分別平分NABC、ZACB,

/.ZOBC=-/ABC,ZOCB=-ZACB,

22

而NBOC+NOBC+NOCB=180。，

.,.ZBOC=180o-(ZOBC+ZOCB)=180°--(ZABC+ZACB),

2

：ZA+ZABC+ZACB=180°,

.?.ZABC+ZACB=180°-ZA,

/.ZBOC=180°--(180°-ZA)=90°+-ZA,

22

而NBOC=110°,

.\90o+-ZA=110°

2

，NA=40°.

故答案為400.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.

8.如圖，在AABC中，AB=AD=DC,ZBAD=20°,則NC=

【答案】40°

【解析】

【詳解】試題解析：???AB=AD,NBAD=20。，

.180。-NBA。_180。-20。

??乙——oU,

22

???/ADC是AABD的外角，

，NADC=NB+NBAD=800+20°=100°,

VAD=DC,

.1800-ZADC180°-100°?

ZC=------------------=---------------=40°.

22

9.已知：如圖，AABC是任意一個(gè)三角形，求證：ZA+Z5+ZC=180°.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

【詳解】分析：過(guò)點(diǎn)A作EF〃BC,利用EF〃BC,可得N1=NB,Z2=ZC,而

Zl+Z2+ZBAC=180°,利用等量代換可證NBAC+NB+NC=180°.

詳解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作EF〃BC,

：EF〃BC,

AZ1=ZB,Z2=ZC,

VZ1+Z2+ZBAC=18O°,

.,.ZBAC+ZB+ZC=180°，

即NA+NB+NC=180°.

點(diǎn)睛：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的證明，作輔助線(xiàn)把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化

到一個(gè)平角上是解題的關(guān)鍵.

考向三三角形中的重要線(xiàn)段

?'典例引領(lǐng)

10.如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A,作BC邊上的高，以下作法正確的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊所在的直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，叫做三角形的高，根據(jù)概念即

可得出.

【詳解】根據(jù)定義可得A是作BC邊上的高，C是作AB邊上的高，D是作AC邊上

的高.

故選A.

考點(diǎn)：三角形高線(xiàn)的作法

11.如圖，在AABC中有四條線(xiàn)段DE,BE,EF,FG,其中有一條線(xiàn)段是AABC的

中線(xiàn)，則該線(xiàn)段是（)

A.線(xiàn)段DEB,線(xiàn)段BEC.線(xiàn)段EFD.線(xiàn)段FG

【答案】B

【解析】

【詳解】【分析】根據(jù)三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)叫做三角形的中線(xiàn)逐

一判斷即可得.

【詳解】根據(jù)三角形中線(xiàn)的定義知線(xiàn)段BE是AABC的中線(xiàn)，

其余線(xiàn)段DE、EF、FG都不符合題意，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的中線(xiàn)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形一邊的中

點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)叫做三角形的中線(xiàn).

12.如圖所示，已知△A8C的周長(zhǎng)為1,連接△ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角

形，再連接第二個(gè)三角形三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類(lèi)推，第2021個(gè)三角

1J-

C口■Q202I^2020

20212020

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理求出第二個(gè)三角形的周長(zhǎng)，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解

答即可.

【詳解】解：如圖,

A

D,

BEC

???￡＞、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn),

：.DE.EF、OF分別為aABC的中位線(xiàn)，

：.DE=-AC,DF=-BC,EF=-AB,

222

...△DEF的周長(zhǎng)=DE+EF+。尸CAC+BC+AB)=-,

22

...第二個(gè)三角形的周長(zhǎng)是

同理可得，第三個(gè)三角形是:=5，

...第2021個(gè)三角形的周長(zhǎng)是擊，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線(xiàn)定理，圖形的變化規(guī)律，掌握三角形的中位

線(xiàn)等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在AAbC中，BD是NABC的角平分線(xiàn)，已知NABC=80。，則

ZDBC=.

【答案】40°

【解析】

【詳解】解：是NABC的角平分線(xiàn)，NABC=80。,

ZDBC=ZABD=-ZABC=-x80°=40°.

22

14.如圖，DE是aABC的中位線(xiàn)，若8C的長(zhǎng)是4cm,則DE的長(zhǎng)是_cm.

D,

￥-----------------JC

【答案】2

【解析】

【分析】已知DE是“BC的中位線(xiàn)，BC=4cm,根據(jù)中位線(xiàn)定理即可求得OE的長(zhǎng).

【詳解】解：???￡>￡是△ABC的中位線(xiàn)，8C=4cm,

DE=—BC=—x4=2cm

22

故答案是：2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等

于第三邊的一半.

15.如圖，△A8C的周長(zhǎng)是21cm,AB=AC,中線(xiàn)8。分△A8C為兩個(gè)三角形，且

△A8D的周長(zhǎng)比△的周長(zhǎng)大6cm,求AB,BC.

【答案】AB=9cm,BC—3cm.

【解析】

【分析】由BD是中線(xiàn)，可得AD=CD,又由4ABD的周長(zhǎng)比4BCD的周長(zhǎng)大6cm,

△ABC的周長(zhǎng)是21cm,AB=AC,可得AB-BC=6cm,2AB+BC=21cm,繼而求得答

案.

【詳解】解：力是中線(xiàn)，

：.AD=CD=-AC,

2

?.?△43。的周長(zhǎng)比^BCD的周長(zhǎng)大6cm,

(AB+AD+BD)-(BD+CD+BC)=AB-BC=6cm?,

?..△ABC的周長(zhǎng)是21cm,AB=AC,

：.2AB+BC=2\cm?,

聯(lián)立①②得：AB=9cm,BC=3cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形周長(zhǎng)與三角形的中線(xiàn).注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思

想的應(yīng)用.

考向四全等三角形

?典例引領(lǐng)

?

16.已知NA=/B=30°,則NE的度數(shù)是（）

A.30°B.120°C.60°D.90°

【答案】A

【解析】

【分析】由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NE=N8,由此可得到正確答案.

【詳解】解：'：AABC^ADEF,NA=NB=30。

ZE=ZB=30°

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記相應(yīng)的概念是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，若△ABC^^ADE,則下列結(jié)論中一定成立的是（）

A.AC=DEB.ZBAD=ZCAEC.AB=AED.ZABC=ZAED

【答案】B

【解析】

【詳解】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.'△ABC^AADE,

/.AC=AE,AB=AD,ZABC=ZADE,ZBAC=ZDAE,

ZBAC-NDAC=NDAE-ZDAC,

即NBAD=NCAE.故A,C,D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

18.如圖，Z^ABC盤(pán)△A'B'C',其中NA=36°,NC'=24。，則NB=度.

【解析】

【分析】根基三角形全等的性質(zhì)得到/C=NC=24。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求

出答案.

【詳解】?/^ABC^A'B'C',

，NC=NC=24。，

VZA+ZB+ZC=180°,NA=36°,

/.ZB=120°,

故答案為：120.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的性質(zhì)定理：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，三角形的內(nèi)

角和定理.

19.如圖，RtAMC和RtAEOF中，BC//DF,在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)

你添加一個(gè)條件,使RtAABC和RtAEDF全等.

BD

【答案】AB=ED,答案不唯一

【解析】

【分析】本題是一道開(kāi)放型的題目，答案不唯一，可以是AB=ED或BC=DF或AC

=EF或AE=CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可.

【詳解】：RtAABC和RtAEO9中，

ABAC=ZDEF=90°,

■:BC//DF,

ZDFE=NBCA,

工添力=

在RtAABC和RtAEDF中

ZDFE=NBCA

<NDEF=ABAC,

AB=ED

：.RtAABC^RtAEDF(AAS),

故答案為：AB=￡D答案不唯一.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理的內(nèi)容

是解此題的關(guān)鍵，注意：兩直角三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,

SSS,HL等.

20.如圖，在△4BC中，A8=AC,點(diǎn)。，E分別是4c和AB的中點(diǎn).求證：BD=

CE.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】由“SAS”可證△ABDg^ACE,可得BD=CE.

【詳解】證明：???A8=AC,。、E分別為AC、AB的中點(diǎn),

：.AD=AE,

在△43。和△ACE中，

AB=AC

<NA=NA,

AD^AE

.?.△4300△ACECSAS),

：.BD=CE.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是本題的

關(guān)鍵.

21.如圖，點(diǎn)A,F,C,。在同一直線(xiàn)上，AB//DE,BC=EF,/B=/E.求證：

(1)4ABC//XDEF.

(2)AF=DC.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)由“A4S”可證△ABCgZXOEF；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得AC=￡>F,即可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)證明：?..AB〃DE,

，NA=ND,

在△ABC和△￡>￡/中，

ZA=2D

<NB=NE,

BC=EF

：.(AAS)；

(2)?:△AB8XDEF,

：.AC=DF,

：.AC-FC^DF-FC

：.AF=CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題

的關(guān)鍵.

22.ZVIBC中，D、E分別為A3、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC的中點(diǎn)，BC、O尸的延長(zhǎng)線(xiàn)

交于點(diǎn)G.

(1)求證：△DEF之△GCF；

(2)求證：BC=2CG.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）由。、E分別是AB、AC的中點(diǎn),，可知OE是△ABC的中位線(xiàn)，從而

有DE〃BC,故有NEOF=NG,余下易得△。瓦食△GCF；

（2）由（1）得DE=CG,再由￡>E是中位線(xiàn)，則有8c=2?！?所以有結(jié)論成立.

【詳解】證明：（1）;D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，尸為EC的中點(diǎn)，

：.BC=2DE,DE〃BC,EF=FC,

:.NEDF=/G,

在^DE尸和△GC尸中，

'ZEDF=ZG

<ZDFE=NGFC,

EF=FC

:./\DEF義AGCF（A4S）；

（2）,:MDEF9XGCF,

：.DE=CG,

：.BC=2CG.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理等知識(shí)，中位線(xiàn)

定理的應(yīng)用是關(guān)鍵.

口直通中考

23.三角形的兩邊分別為5,10,則第三邊的長(zhǎng)可能等于（）

A.3B.5C.9D.15

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)第三邊的長(zhǎng)為x,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于

第三邊列出不等式并求解即可.

【詳解】解：設(shè)第三邊的長(zhǎng)為X,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：

10-5<x<10+5,

即5<x<15.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系和解不等式,根據(jù)三角形兩邊之和大于第

三邊、三角形的兩邊差小于第三邊列出不等式是解答本題的關(guān)鍵.

24.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為1,2,x,則x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）

A.B.,

-2-10123

C—，QD,

,-2-10123-Al0123

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊可得:

l<x<3,然后在數(shù)軸上表示出來(lái)即可.

【詳解】???三角形的三邊長(zhǎng)分別是1,2,X,

??.X的取值范圍是l<x<3.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握三角形三邊關(guān)系

25.已知AABC的周長(zhǎng)為16,點(diǎn)。，E,尸分別為AABC三條邊的中點(diǎn)，則

ADE戶(hù)的周長(zhǎng)為（）

A.8B.2&C.16D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由。，E,F分別為AABC三條邊的中點(diǎn)，可知DE、EF、DF為八鉆C的

中位線(xiàn)，即可得到ADEE的周長(zhǎng).

【詳解】解：如圖,

D

,：D,E,尸分別為AABC三條邊的中點(diǎn),

/.DF=-BC,DE=-AC,EF=-AB,

222

,?BC+AC+AB=16,

DF+DE+EF=^(BC+AC+AB')=^xl6=8,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線(xiàn)，熟練掌握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且是

第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

26.AABC中，點(diǎn)D,E分別是A4BC的邊AB,AC的中點(diǎn)，連接OE,若

ZC=68°,則NAEZ)=()

A.22°B.68°C.96°D.112°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)。,E分別是AABC的邊AB,AC的中點(diǎn)，得到DE是八鉆C的中位

線(xiàn)，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)解答.

【詳解】如圖，

?.?點(diǎn)分別是AABC的邊AB,AC的中點(diǎn)，

.?.DE是AABC的中位線(xiàn)，

，DE〃BC,

NA￡D=NC=68。，

故選：B.

A

【點(diǎn)睛】此題考查三角形中位線(xiàn)的判定及性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟記三角形的中位

線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，點(diǎn)C,F,B,E在同一直線(xiàn)上，ZC=ZDFE=9Q°,添加下列條件，

仍不能判定△ACB與△OFE全等的是（）

A.ZA=ZD,AB=DEB.AC=DF,CF=BE

C.AB=DE,BC=EFD.ZA=ZD,NABC=/E

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可.

【詳解】解：A.VZA=Z￡>,AB=DE,ZC=ZDFE=9Q°,根據(jù)A4S判定△ACB

與△。尸E全等，不符合題意；

B、'：CF=BE,可得，BC=EF,AC=DF,BC=EF,/C=NDFE=90°,根據(jù)

SAS判定△4CB與△OPE全等，不符合題意；

C、,:AB=DE,BC=EF,ZC=ZDFE=9Q°,根據(jù)aL判斷與

n△DFE全等，不符合題意；

D、VZA=ZD,ZABC=ZE,ZC=ZDFE=9Q°,由A4A不能判定△AC3與

△OFE全等，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法

有：SSS、SAS、ASA、AAS,HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，

判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩

邊的夾角.

28.如圖，4ABe經(jīng)4EBD,ZE=50°,ZD=62°,則N4BC的度數(shù)是（）

A.68°B.62°C.60°D.50°

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NEBD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答.

【詳解】VZE=50°,ZD=62°,

ZEBD=1800-50o-62o=68°,

VAABC^AEBD,

.?.ZABC=ZEBD=68°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的

關(guān)鍵.

29.如圖，點(diǎn)。在線(xiàn)段上，ACLBC,AB=8cm,AD=6cm,AC=4cm,則在

△A5O中，BO邊上的高是—cm.

【答案】4cm

【解析】

【分析】從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它對(duì)邊所作的垂線(xiàn)段（頂點(diǎn)至對(duì)邊垂足間的線(xiàn)段），

叫做三角形的高.這條邊叫做底.

【詳解】因?yàn)锳CLBC,

所以三角形ABD中，BD邊上的高是：AC=4cm

故答案為：4cm

【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：三角形的高.理解三角形的高的定義是關(guān)鍵.

30.如圖，已知△ABCgZ^ADE,若AB=7,AC=3,則BE的值為

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)△ABCgZkADE,得至IJAE=AC,由AB=7,AC=3,根據(jù)BE=AB-AE

即可解答.

【詳解】解：?.?△ABCgz^ADE,

；.AE=AC,

VAB=7,AC=3,

BE=AB-AE=AB-AC=7-3=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記全等三角形的對(duì)應(yīng)邊

相等.

31.如圖，在A4BC中，方3與NC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P.若/BPC=130。，則乙4=

【答案】800

【解析】

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和可以求得NPBC+NPCB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義,

求出NABC+NACB,最后利用三角形內(nèi)角和定理解答即可.

【詳解】解：在aPBC中，NBPC=130°,

...NPBC+NPCB=180°-130°=50°.

?.?PB、PC分別是NABC和NACB的角平分線(xiàn)，

，NABC+NACB=2(ZPBC+ZPCB)=2X50°=100°,

在AABC中，ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-100°=80°.

故答案為80°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的定義，掌握三角形的內(nèi)

角和定理和角平分線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵.

32.如圖，在△ABC中，ZC=90°,A8=13,AC=5,D,E分別是AC,AB的中

點(diǎn)，則。E的長(zhǎng)為.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理求出BC,根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理求出OE.

【詳解】解：在△ABC中，ZC=90°,AB=13,AC=5,

則BC=A/AB2-AC2=V132-52=12.，

?；D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，

DE=-BC=6,

2

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線(xiàn)定理、勾股定理，掌握三角形的中位線(xiàn)平行于

第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

33.如圖，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2),點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，

BC=1,點(diǎn)M為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，連接OM,則OM的最小值為.

【解析】

【分析】先證點(diǎn)C在半徑為1的上，可知，C在8。與圓8的交點(diǎn)時(shí)，0M最

小，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理可得結(jié)論.

【詳解】解：:A(2,0),B(0,2),

：.OA=OB=2,

?.?點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=\,

...C在。8上，且半徑為1,

如圖，在x軸上取0慶。4=2,連接。，

為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，。。=。4,

.?.OM是△ACO的中位線(xiàn)，

：.OM=-CD,

2

當(dāng)OM最小時(shí)，即CQ最小，而D,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),

當(dāng)C在線(xiàn)段D