5.4二次函數(shù)與一元二次方程第5章二次函數(shù)逐點(diǎn)學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升本節(jié)要點(diǎn)1學(xué)習(xí)流程2二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)圖象與一元二次方程的近似解的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象特征與a，b，c的符號(hào)關(guān)系知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系11.二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與一元二次方程根的關(guān)系一般地，從二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象可知：如果拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根2.二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)二者之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，列表如下：b2－4ac>0b2－4ac=0b2－4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象a>0a<0拋物線與x軸的交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)沒有交點(diǎn)拓寬視野：1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，求當(dāng)y=m

時(shí)自變量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m

可以看成是已知y=ax2+bx+c的函數(shù)值y=m，求自變量x的值.方程ax2+bx+c=m

的解是拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c

與一元二次方程ax2+bx+c=0的關(guān)系密切，二者可以相互轉(zhuǎn)化.已知二次函數(shù)的值為0，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=0;反過來，解一元二次方程ax2+bx+c=0可以看作已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為0，求自變量x

的值.例1若拋物線y＝a(x－1)2+k與x

軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)，則與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(0，0)

B.(2，0)

C.(3，0)

D.(4，0)D解題秘方：緊扣拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線對(duì)稱軸的關(guān)系求解．方法技巧：利用對(duì)稱軸法求一元二次方程的根：根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，當(dāng)已知拋物線與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸時(shí)，可根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出拋物線與x軸的另一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得對(duì)應(yīng)一元二次方程的根.解：根據(jù)題意，可知拋物線y＝a(x－1)2+k的對(duì)稱軸為直線x＝1.∵點(diǎn)(－2，0)關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為(4，0)，∴拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)．知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)圖象與一元二次方程的近似解的關(guān)系2二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，因此可以借助二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的解.1.利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象與x軸的公共點(diǎn)求一元二次方程ax2+bx+c=0的解(1)作出二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象，確定圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是方程ax2+bx+c=0的解的個(gè)數(shù).(2)觀察圖象，函數(shù)圖象與x

軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，當(dāng)函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不是整數(shù)時(shí)，可通過不斷縮小解所在的范圍估計(jì)一元二次方程的解.方法點(diǎn)撥：估計(jì)一元二次方程的解的方法：在難以讀出公共點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，我們可以通過不斷縮小解所在范圍估計(jì)一元二次方程的解，對(duì)于y=ax2+bx+c(a≠0)，如果ax21+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0，那么在x1與x2之間存在一個(gè)解，取x3=，若ax23+bx3+c>0，則取x4=；若ax23+bx3+c<0，則取x4=

.這樣不停地取下去，直到達(dá)到所要求的精確度為止.2.利用二次函數(shù)y=ax2

的圖象與直線y=－bx－c的公共點(diǎn)求方程ax2+bx+c=0的解(1)將一元二次方程ax2+bx+c=0化為ax2=－bx－c

的形式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出拋物線y=ax2

和直線y=－bx－c，并確定拋物線與直線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程ax2+bx+c=0的解.例2根據(jù)下列表格中y＝ax2+bx+c

的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c＝0(a≠0，a，b，c為常數(shù))的一個(gè)解x的范圍是___________．x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c－0.03－0.010.020.066.18＜

x＜6.19解題秘方：緊扣二次函數(shù)的函數(shù)值y由負(fù)變?yōu)檎龝r(shí)，自變量x的取值即可．解：由表格中的數(shù)據(jù)看出函數(shù)值為－0.01和0.02更接近于0，根據(jù)表格可知，當(dāng)y＝－0.01時(shí)，x＝6.18，當(dāng)y＝0.02時(shí)，x＝6.19，故x

應(yīng)取對(duì)應(yīng)的范圍是6.18＜x＜6.19．二次函數(shù)y＝－

x2+mx的圖象如圖5.4-1，對(duì)稱軸為直線x＝2，若關(guān)于x

的一元二次方程－x2+mx

－t＝0(t為實(shí)數(shù))在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是()A.t＞－5

B.－5＜

t＜3C.3＜

t≤4

D.－5＜t≤4D例3解題秘方：利用“關(guān)于x的一元二次方程－x2+mx

－t＝0的解就是拋物線y＝－x2+mx與直線y＝t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)”解決問題．解：∵關(guān)于x

的一元二次方程－x2+mx－t＝0，∴－x2+mx

＝t．∴關(guān)于x的一元二次方程－x2+mx

－

t＝0的解就是拋物線y＝－x2+mx

與直線y＝t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．∵拋物線y＝－x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，∴m

＝4．∴

y＝－

x2+4x.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－x2+4x

＝3．當(dāng)x＝5時(shí)，y＝－

x2+4x

＝－5．如圖5.4-2所示，由圖象可知，若關(guān)于x的一元二次方程－x2+mx

－

t

＝0(t為實(shí)數(shù))在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，則直線y＝t

在直線y＝－5和直線y＝4之間包括直線y＝4．∴－5＜t≤4．拓展：圖象法求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的其他方法：①將方程變形為ax2+bx=－c，再分別作拋物線y=ax2+bx和直線y=－c，則直線y=－c

與拋物線y=ax2+bx的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.②將方程變形為ax2=－bx－c，再分別作拋物線y=ax2和直線y=－bx－c，則直線y=－bx－c與拋物線y=ax2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.③將方程變形為ax+b=－，再分別作直線y=ax+b和雙曲線y=－，則直線y=ax+b和雙曲線y=－的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象特征與a，b，c

的符號(hào)關(guān)系3二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a

的符號(hào)決定拋物線的開口方向，ab的符號(hào)決定拋物線的對(duì)稱軸的大致位置，c

的符號(hào)決定拋物線與y

軸交點(diǎn)的大致位置，b2－4ac

的符號(hào)決定拋物線與x軸的交點(diǎn)情況，具體如下表：字母或式子的符號(hào)圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下b=0對(duì)稱軸為y

軸ab>0(a，b

同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab<0(a，b

異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點(diǎn)c>0圖象與y

軸正半軸相交c<0圖象與y軸負(fù)半軸相交b2-4acb2-4ac=0圖象與x軸有唯一一個(gè)交點(diǎn)b2-4ac>0圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2-4ac<0圖象與x軸沒有交點(diǎn)收藏夾：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c：當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，此時(shí)，若y=0，則a+b+c=0；若y＞0，則a+b+c

＞0；若y

＜0，則a+b+c＜0.當(dāng)x=－1時(shí)，y=a-b+c，此時(shí)，若y=0，則a-b+c=0；若y＞0，則a-b+c

＞0；若y

＜0，則a-b+c

＜0.

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖5.4-3是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為－3和1；④b2－4ac＞0，其中正確的命題有()1個(gè)2個(gè)3個(gè)4個(gè)C例4方法點(diǎn)撥：當(dāng)x＝1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y＝ax2+bx+c

＝a+b+c，觀察圖象可知此時(shí)，拋物線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上，說明此時(shí)的函數(shù)值y＝0，即得a+b+c

＝0．解題秘方：根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征與字母系數(shù)之間的關(guān)系判斷．解：觀察圖象可知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，把點(diǎn)(1，0)的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+c，得a+b+c＝0，故①正確；拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－1，即－＝－1，整理得b＝2a，故②不正確；由