金華市2021年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號

條形碼貼在答題卡指定位置。

2.答題時，選擇題答案，用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選

擇題答案，用0.5毫米黑色墨水簽字筆，直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。

答案答在試題卷上無效。

3.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）

1.實數(shù)-工，-娓,2,-3中，為負(fù)整數(shù)的是（）

2

A.-AB.-V5C.2D.-3

2

2.工+2=()

aa

A.3B.c.2D.3

2

2aaa

3.太陽與地球的平均距離大約是150000000千米，其中數(shù)150000000用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A.1.5X108B.15X107C.1.5X107D.0.15X109

4.一個不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式可以是（）

-2-10123

A.x+2>0B.Jt-2<0C.2x^4D.2-x<0

5.某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（）

如圖，已知直線/i,l-i，h，/4.若N1=N2,則N3=N4.

請完成下面的說理過程.

解：已知N1=N2,

根據(jù)（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）,得

再根據(jù)（:※），得N3=N4.

h

h

A.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行,同位角相等

D.兩直線平行,同旁內(nèi)角互補

6.將如圖所示的直棱柱展開，下列各示意圖中不可能是它的表面展開圖的是（）

7.如圖是一架人字梯，已知A8=AC=2米，AC與地面8c的夾角為a,則兩梯腳之間的

距離8c為（）

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.——米

cosa

8.已知點A（xi，yi）,B（X2,y2）在反比例函數(shù)y=-的圖象上.若加<0<》2，則（）

x

A.yi<0<j2B.y2<0<jiC.y\<y2<0D.y2<yi<0

9.某超市出售一商品，有如下四種在原標(biāo)價基礎(chǔ)上調(diào)價的方案，其中調(diào)價后售價最低的是

（）

A.先打九五折，再打九五折

B.先提價50%,再打六折

C.先提價30%,再降價30%

D.先提價25%,再降價25%

10.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正

方形的頂點E,F,G,H,M,N都在同一個圓上.記該圓面積為Si，AABC面積為S2,

則包的值是（）

S2

AA.—5——兀DB.O3Tl廠C.5;nnD.1—1?！?/p>

22

二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）

11.（4分）二次根式J羨中，字母x的取值范圍是.

12.（4分）己知，*=2是方程3X+2>=10的一個解，則小的值是____.

Iy=m

13.（4分）某單位組織抽獎活動，共準(zhǔn)備了150張獎券，設(shè)一等獎5個，二等獎20個，三

等獎80個.已知每張獎券獲獎的可能性相同，則1張獎券中一等獎的概率

是.

14.（4分）如圖，菱形ABCD的邊長為6c加，NBA￡>=60°,將該菱形沿AC方向平移2心機

得到四邊形A'B'CD',A'D'交CO于點E,則點E到AC的距離為cm.

15.（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊3c

及四邊形②的邊CO都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上.若“貓”尾巴尖A的橫坐標(biāo)是

1,則“貓”爪尖尸的坐標(biāo)是.

16.（4分）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置.木條8c上的點尸處安裝

一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點為D,從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在

上形成一個光點E.已知MNLBC,AB=6.5,BP=4,PD=8.

（1）E￡＞的長為.

（2）將木條BC繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到8C'（如圖2）,點P的對應(yīng)點

為P',BC與MN的交點為。'，從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P'反射后，在MN上

圖1圖2

三、解答題（本題有8小題，共66分，各小題都必須寫出解答過程）

17.（6分）計算：（-1）2021+V8-4sin45°+|-2|.

18.（6分）已知》=工，求（3x-1）2+（i+3x）（1-3x）的值.

6

19.（6分）已知：如圖，矩形ABCO的對角線AC,8。相交于點O,N8OC=120°,AB

=2.

（1）求矩形對角線的長.

（2）過。作于點E,連結(jié)BE.記NA8E=a,求tana的值.

20.（8分）小聰、小明準(zhǔn)備代表班級參加學(xué)校“黨史知識”競賽，班主任對這兩名同學(xué)測

試了6次，獲得如圖測試成績折線統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

(1)要評價每位同學(xué)成績的平均水平，你選擇什么統(tǒng)計量？求這個統(tǒng)計量.

(2)求小聰成績的方差.

(3)現(xiàn)求得小明成績的方差為S小叫2=3(單位：平方分).根據(jù)折線統(tǒng)計圖及上面兩小

題的計算，你認(rèn)為哪位同學(xué)的成績較好？請簡述理由.

小聰、小明6次測試成績統(tǒng)計圖

21.(8分)某游樂場的圓形噴水池中心。有一雕塑0A,從A點向四周噴水，噴出的水柱

為拋物線，且形狀相同.如圖，以水平方向為x軸，點。為原點建立直角坐標(biāo)系，點A

在y軸上，x軸上的點C,。為水柱的落水點，水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)

表達式為y--—(x-5)2+6.

6

(1)求雕塑高。A.

(2)求落水點C,。之間的距離.

(3)若需要在0。上的點E處豎立雕塑EF,OE=10m,EF=1.8/n,EFLOD.問：頂

部/是否會碰到水柱？請通過計算說明.

22.(10分)在扇形A0B中，半徑OA=6,點P在OA上，連結(jié)PB,將△OBP沿PB折疊

得到△O'BP.

(1)如圖1,若/。=75°,且BO'與眾所在的圓相切于點8.

①求N4PO'的度數(shù).

②求AP的長.

(2)如圖2,80'與眾相交于點。，若點。為源的中點，且尸￡>〃OB,求益的長.

圖1圖2

23.（10分）背景：點A在反比例函數(shù)>=區(qū)（k>0）的圖象上，AB±x軸于點B,AC±y

x

軸于點C,分別在射線AC,8。上取點。，E,使得四邊形ABE。為正方形.如圖1,點

A在第一象限內(nèi)，當(dāng)AC=4時，小李測得CD=3.

探究：通過改變點A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點D,A的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系.請幫助小

李解決下列問題.

（1）求人的值.

（2）設(shè)點A,。的橫坐標(biāo)分別為x,z,將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)如圖2,小李

畫出了x>0時“Z函數(shù)”的圖象.

①求這個“Z函數(shù)”的表達式.

②補畫x<0時“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）.

③過點（3,2）作一直線，與這個“Z函數(shù)”圖象僅有一個交點，求該交點的橫坐標(biāo).

24.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-樂，0）,點B在直線/：尸當(dāng)上,

過點B作AB的垂線，過原點。作直線/的垂線，兩垂線相交于點C.

（1）如圖，點B,C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與AO相交于點D

①若BA=8。，求證：CD=CO.

②若NCBO=45°,求四邊形ABOC的面積.

(2)是否存在點B,使得以A,B,C為頂點的三角形與△8CO相似？若存在，求OB

的長；若不存在，請說明理由.

備用圖

參考答案

一、選擇題(本題有10小題，每小題3分，共30分)

1.實數(shù)-1，-旄，2,-3中，為負(fù)整數(shù)的是()

2

A.-AB.-V5C.2D.-3

2

【分析】根據(jù)實數(shù)的分類即可做出判斷.

【解答】解：A選項是負(fù)分?jǐn)?shù)，不符合題意：

B選項是無理數(shù)，不符合題意；

C選項是正整數(shù)，不符合題意；

。選項是負(fù)整數(shù)，符合題意；

故選：D.

2.1+.2=()

aa

A.3B.旦C.2D.旦

2aa2a

【分析】根據(jù)同分母的分式的加減法法則計算即可.

【解答】解：2+2=上￡=3,

aaaa

故選：D.

3.太陽與地球的平均距離大約是150000000千米，其中數(shù)150000000用科學(xué)記數(shù)法表示為

()

A.1.5X108B.15X107C.1.5X107D.0.15X109

【分析】對于大于10的數(shù)，可以寫成4X10"的形式，其中l(wèi)Wa<10,〃為正整數(shù)，〃的

值比原數(shù)的位數(shù)少1.

【解答】解：150000000=1.5X1()8,

故選：A.

4.一個不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式可以是()

-2-10123

A.x+2>0B.x-2<0C.2x24D.2-x<0

【分析】解不等式，可得不等式的解集，根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法，可得

答案.

【解答】解：A、x>-2,故4錯誤;

B、x<2,故B正確；

C、x22,故C錯誤；

D、x>2,故。錯誤.

故選：B.

5.某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（）

如圖，已知直線/”b，13,U.若/1=N2,則/3=N4.

請完成下面的說理過程.

解：已知N1=N2,

根據(jù)（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）,得h〃l2.

再根據(jù)（:※），得/3=N4.

A.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等

D.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

【分析】先證再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：已知/1=/2,根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得

再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得N3=N4.

故選：C.

6.將如圖所示的直棱柱展開，下列各示意圖中不可能是它的表面展開圖的是（）

A.B.

C.D.II

【分析】直三棱柱的表面展開圖的特點，由三個長方形的側(cè)面和上下兩個等邊三角形的

底面組成.

【解答】解：選項A、B、C均可能是該直棱柱展開圖，而選項。中的兩個底面會重疊，

不可能是它的表面展開圖，

故選：D.

7.如圖是一架人字梯，已知A8=AC=2米，AC與地面的夾角為a,則兩梯腳之間的

距離BC為（）

A

■?——

caK

BC

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.——-——米

cosa

【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出8Z）=OC,再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出0c的

長，即可得出答案。

【解答】解：過點A作A￡>_LBC于點。，

\"AB=AC=2米,AO_LBC,

：.BD=DC,

?…DCDC

AC2

；?￡>C=2cosa（米）,

BC=2DC=2,2cosa=4cosa（米）。

故選：A.

A

BDC

8.已知點A（xi，yi）,B（%2?”）在反比例函數(shù)y=-的圖象上.若用<0<%2，則（）

x

A.y\<Q<y2B.y2VoVyiC.yi〈y2VoD."VyiVO

【分析】由ZVO,雙曲線在第二，四象限，根據(jù)XI<0<X2即可判斷點A在第二象限，

點8在第四象限，從而判定

【解答】解：*.次=-12<0,

二雙曲線在第二，四象限，

Vxi<0<JC2>

.?.點A在第二象限，點B在第四象限，

?'-y2<0<yi；

故選：B.

9.某超市出售一商品，有如下四種在原標(biāo)價基礎(chǔ)上調(diào)價的方案，其中調(diào)價后售價最低的是

（）

A.先打九五折,再打九五折

B.先提價50%,再打六折

C.先提價30%,再降價30%

D.先提價25%,再降價25%

【分析】設(shè)商品原標(biāo)價為。，然后分別計算每種調(diào)價方案后的售價，進行比較求解.

【解答】解：設(shè)商品原標(biāo)價為。元,

A.先打九五折,再打九五折的售價為：0.95X0.954=0.9025”；

B.先提價50%,再打六折的售價為：（l+50%）X0&/=0.9a；

C.先提價30%,再降價30%的售價為:(1+30%)(1-30%)a=0.91a；

D先提價25%,再降價25%的售價為:(1+25%)(1-25%)4=0.9375”,

V0.9a<0.9025a<0.9kz<0.9375a,

??.8選項的調(diào)價方案調(diào)價后售價最低,

故選:B.

10.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正

方形的頂點E,F,G,H,M,N都在同一個圓上.記該圓面積為Si,ZV18C面積為S2,

則紅的值是（）

$2

G

A兀廠:兀

A.—5——Br>.3onC.57TnD.—11——

22

【分析】先設(shè)RtZVIBC的三邊長為a,b,c,其中。為斜邊，設(shè)。。的半徑為r,根據(jù)圖

形找出a,6,c,廠的關(guān)系，用含c的式子表示Si和S2,即可求出比值.

【解答】解：如圖，

設(shè)A8=c,AC=b,BC—a,

則a1+h1=c1,①

取AB的中點為0,

?：/\ABC是直角三角形，

：.OA=OB=OC,

?圓心在MN和HG的垂直平分線上,

二0為圓心，

連接OG,0E,則OG,0E為半徑，

由勾股定理得：

由①②得a=b,

2_Z

a2

r.S1J兀c6

14

,S.2

■"7-=5yKC92^-c-=5^'

4

S24

故選：C.

二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）

11.（4分）二次根式J言中，字母x的取值范圍是x-3.

【分析】由二次根式有意義的條件得出不等式，解不等式即可.

【解答】解：當(dāng)x-320時，二次根式丁古有意義，

貝（J工23；

故答案為：x23.

12.（4分）已知［x-2是方程3x+2y=10的一個解，則的值是2.

Iy=m

【分析】把方程組的解代入到方程中，得到關(guān)于根的一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：把，'=2代入方程得：3X2+2/77=10,

Iy=m

m—2，

故答案為：2.

13.（4分）某單位組織抽獎活動，共準(zhǔn)備了150張獎券，設(shè)一等獎5個，二等獎20個，三

等獎80個.己知每張獎券獲獎的可能性相同，則1張獎券中一等獎的概率是A.

-30-

【分析】直接根據(jù)概率公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：???共有150張獎券，一等獎5個，

二1張獎券中一等獎的概率=_§_=」.

15030

故答案為：

30

14.（4分）如圖，菱形ABCO的邊長為6cm,ZBAD=60°,將該菱形沿4c方向平移2心機

得到四邊形A'B'CD',A'D'交CO于點￡則點E到AC的距離為2cm.

【分析】連接過點E作EFLAC于點尸,根據(jù)菱形的性質(zhì)可以證明三角形A3。是等邊

三角形，根據(jù)平移的性質(zhì)可得AO〃A'E,可得空二,史工=琴，解得*E=

ADAC6673

4(cM,再利用30度角所對直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)論。

【解答】解：如圖，連接過點E作EFL4c于點F,

?.?四邊形A8C3是菱形,

：.AD=AB,BD1AC,

VZBAD=60°,

二三角形A8O是等邊三角形,

,?,菱形ABCD的邊長為6cm,

：.AD=AB=BD=6cm,

：.AG=GC=3-f^cm),

；.AC=6我(cm),

VA4,=2如cm),

.".A'C=4/wcni),

'：AD//A'E,

?及E=CA'

ADAC

?A'E=473

9

.?.A'E=4(cM,

VZEA1尸=/OAC=/NOA8=30°,

J.EF^^A'E=2(cm).

2

故答案為：2.

15.(4分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC

及四邊形②的邊C。都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上.若“貓”尾巴尖A的橫坐標(biāo)是

1,則'‘貓"爪尖F的坐標(biāo)是(-返-工」L+返

4-424

【分析】如圖，作AH±x軸于H,過點F作軸于J交PQ于K,延長PQ交08于T.設(shè)

大正方形的邊長為4”,則0C=a,C￡>=2〃,根據(jù)點A的橫坐標(biāo)為1,構(gòu)建方程求出”,解直角

三角形求出尸J,KT,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，作軸于，，過點F作FJLy軸于J交PQ于K,延長PQ交0B

于T.設(shè)大正方形的邊長為4a,則0C=a,CD=2a,

在中，ZADH=45°,

：.AH=AD^a,

.?.0/7=4a,

???點A的橫坐標(biāo)為1,

/.467=1,

4

在Rt△尸PQ中，PF=FQ=2a=工,

2

：.PQ=y[2PF'=—，

2

■:FK1PQ'

：.PK=KQ,

:.FK=PK=QK=&,

4_

?.?KJ=LPT=\+（返」）=L返，

42222__

:.FJ=^~+1,KT=PT-PK=」+返-返=L返,

4422424

(-返-S+返）.

4424_

故答案為：（-返-1,』+返）.

4424

16.（4分）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置.木條BC上的點P處安裝

一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點為O,從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在

MN上形成一個光點E.已知AB_LBC,MNA,BC,AB=6.5,BP=4,尸￡）=8.

（1）ED的長為13.

（2）將木條BC繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到BC'（如圖2）,點P的對應(yīng)點

為尸’，BC與MN的交點為￡>',從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在例N上

圖1圖2

【分析】（1）由題意可得，XABPs^EDP,則旭=坨，進而可得出OE的長；

DEPD

（2）過點￡作/E'FG=ZE'D'F,過點E'作E'GLBC'于點G,易得△ABP'

s/\E'FP',由此可得/=巨妙_,在Rt/XBDD'中，由勾股定理可求出BD'的

E'FP'F

長，可求出。的正切值，設(shè)P尸的長，分別表示E'尸和E'D'及FG和G。'

的長，再根據(jù)=13,可建立等式，可得結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖，由題意可得，NAPB=NEPD,NB=NEDP=90°,

二IXABPsXEDP,

?AB=BP

"DEPD'

VAB=6.5,BP=4,PO=8,

.??-6---.--5—-—4f

DE8

/.DE=13；

故答案為：13.

(2)如圖2,過點E'作NE'FG=ZE'D'F,過點E'作E'GA.BC'于點G,

M

圖2

：.E'F=E'D',FG=GD',

?:AB"MN,

；.NABD'+NE'D'8=180°,

AAABD'+Z￡zFG=180°,

VZ￡zFB+ZE'FG=180°,

/.ZABP'=NE'FP',

又/AP'B=NE'P'F,

：./\ABP'FP',

.AB=BP，即6.5=4

FP'F'E'FP7~F，

設(shè)尸'F=4m,則E'F=6.5m,

：.E'D'=6.5%,

在中，NBDD'=90°,DD'=5,BD=BP+PD=12,

由勾股定理可得，BD'=13,

：.cosZBD'D=旦,

13

在RtZsE'GD'中，cosZBD1￡)=--GD--=_L,

E'D’13

：.GD'=2.5m,

：.FG=GD'=2.5，〃，

'：BP'+P'F+FG+GD'=13,

/.4+4m+2.5m+2.5in=13,解得m=\,

：.E'D'=6.5,

：.EE'=DE+DD'-D'E'=13+5-6.5=11.5.

故答案為：11.5.

三、解答題（本題有8小題，共66分，各小題都必須寫出解答過程）

17.(6分)計算：(-1)2021+V8-4sin45°+|-2|.

【分析】先分別計算有理數(shù)的乘方，二次根式的化簡，代入特殊角三角函數(shù)值，絕對值

的化簡，然后再計算.

【解答】解：原式=7+2加-4X返+2

2

=7+2缶2揚2

=1.

18.(6分)已知彳=工，求(3x-1)2+(l+3x)(1-3x)的值.

6

【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化

簡后的式子即可解答本題.

【解答】解：(3x-1)2+(1+3%)(1-3%)

=9/-6x+l+l-9JT

=-6x+2,

當(dāng)x=2時，原式=-6XJL+2=-1+2=1.

66

19.(6分)已知：如圖，矩形ABCZ)的對角線AC,8。相交于點O,ZB0C=120°,AB

=2.

(I)求矩形對角線的長.

(2)過。作。EJ_A￡＞于點E,連結(jié)BE.記NABE=a,求tana的值.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AC=2A。，根據(jù)等邊三角形的判定得出aAOB是等邊

三角形，求出AB=AO=2,求出8￡＞；

(2)根據(jù)勾股定理求出AO,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得AE,然后解直角三角形求得

tana的值.

【解答】解：(1)：NBOC=120°,

AZAOB=60Q,

?.?四邊形488是矩形，

AZBAD=90°,AC=BD,AO=OC,BO=DO,

：.AO=BO,

???△A03是等邊三角形,

：.AB=AO=BO,

,.?A8=2,

:?B0=2,

???80=280=4,

???矩形對角線的長為4；

（2）由勾股定理得：AD=-AB2=442-22=,

t：OA=OD.OElAD于點E,

：.AE=DE=1AD=^

2

tana=—=2^2..

AB2

20.（8分）小聰、小明準(zhǔn)備代表班級參加學(xué)?！包h史知識”競賽，班主任對這兩名同學(xué)測

試了6次，獲得如圖測試成績折線統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）要評價每位同學(xué)成績的平均水平，你選擇什么統(tǒng)計量？求這個統(tǒng)計量.

（2）求小聰成績的方差.

（3）現(xiàn)求得小明成績的方差為S小時2=3（單位：平方分）.根據(jù)折線統(tǒng)計圖及上面兩小

題的計算，你認(rèn)為哪位同學(xué)的成績較好？請簡述理由.

小聰、小明6次測試成績統(tǒng)計圖

【分析】（1）要評價每位同學(xué)成績的平均水平，選擇平均數(shù)即可，根據(jù)平均數(shù)的定義計

算出兩人的平均數(shù)即可；

（2）根據(jù)方差的計算方法計算即可；

（3）由（1）可知兩人的平均數(shù)相同，由方差可知小林的成績波動較小，所以方差較小,

成績相對穩(wěn)定.

【解答】解：（1）要評價每位同學(xué)成績的平均水平，選擇平均數(shù)即可，

小聰成績的平均數(shù)：-1(7+8+7+10+7+9)=8,

6

小明成績的平均數(shù)：—(7+6+6+9+10+10)=8,

6

答：應(yīng)選擇平均數(shù)，小聰、小明的平均數(shù)分別是8,8；

(2)小聰成績的方差為：A[(7-8)2+(8-8)2+(7-8)2+(10-8)2+(7-8)2+

6

(9-8)2]=生

3

(3)小聰同學(xué)的成績較好，

理由：由(1)可知兩人的平均數(shù)相同，因為小聰成績的方差方差小于小明成績的方差，

成績相對穩(wěn)定.故小聰同學(xué)的成績較好.

21.(8分)某游樂場的圓形噴水池中心。有一雕塑OA,從A點向四周噴水，噴出的水柱

為拋物線，且形狀相同.如圖，以水平方向為x軸，點。為原點建立直角坐標(biāo)系，點A

在y軸上，x軸上的點C,。為水柱的落水點，水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)

2

表達式為y=-A(JC-5)+6.

6

(1)求雕塑高OA.

(2)求落水點C,。之間的距離.

(3)若需要在。。上的點E處豎立雕塑EF,OE=\Om,EF=1.8m,EF，。。.問：頂

部F是否會碰到水柱？請通過計算說明.

【分析】(1)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點A的坐標(biāo)，進而可得出雕塑高

OA的值；

(2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點。的坐標(biāo)，進而可得出。。的長度，由

噴出的水柱為拋物線且形狀相同，可得出OC的長，結(jié)合CD=OC+OD即可求出落水點C,

。之間的距離；

(3)代入x=10求出y值，進而可得出點(10,衛(wèi))在拋物線＞=(x-5)2+6上,

66

將旦與1.8比較后即可得出頂部尸不會碰到水柱.

6

【解答】解：(1)當(dāng)x—0時，y=-—(0-5)2+6=」A,

66

.?.點A的坐標(biāo)為(0,11),

6

.??雕塑高工

6

(2)當(dāng)>=0時，-2(x-5)2+6=0,

6

解得：JC1=-1(舍去)，X2=ll>

.?.點。的坐標(biāo)為(11,0),

：.OD=\\m.

?.?從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同，

：.OC=OD=\\m,

***CD=OC+OD=22m.

(3)當(dāng)x=10時，y=-A(10-5)2+6=H,

66

.?.點(10,11)在拋物線產(chǎn)-工(jc-5)2+6上.

66

又,旦F.83>1.8,

6

...頂部F不會碰到水柱.

22.(10分)在扇形AO8中，半徑。4=6,點P在。4上，連結(jié)P8,將△OB尸沿PB折疊

得到△O'HP.

(1)如圖1,若NO=75°,且8。'與會所在的圓相切于點B.

①求/APO，的度數(shù).

②求AP的長.

(2)如圖2,BO'與會相交于點。，若點。為心的中點，且PD〃OB,求定的長.

OB

圖2

【分析】(1)①利用三角形內(nèi)角和定理求解即可。

②如圖1中，過點B作BH1.0A于”，在BH上取一點F,使得?！?所，連接OF.想辦法

求出可得結(jié)論。

(2)如圖2中，連接ADOD.證明NAO3=72°可得結(jié)論。

【解答】解：(1)①如圖1中，???8。'是。。的切線，

：.ZOBOr=90°,

由翻折的性質(zhì)可知，ZOBP=ZPBOf=45°,ZOPB=ZBPO,,

VZAOB=15°,

：?NOPB=NBPO'=180°-75°-45°=60°,

:?NOPO'=120°,

AAAPO'=180°-NOPO'=180°-120°=60°.

②如圖1中，過點B作BHLOA于H,在BH上取一點F,使得。尸=尸及連接OF.

VZBHO=90°,

：.NOBH=900-N30H=15°,

■:FO=FB,

:?/FOB=NFBO=150,

：?NOFH=NFOB+/FBO=30°,

設(shè)OH=機，則HF=6nQF=FB=2m,

t：OB2=OH2+BH2,

/.62=渥+（2M2,

.?.機=色層述或_（舍棄），

22

...OH=3Vlz3返,8'=、亞+3恒

22__

在RtZsPB”中，PH=—理—=后受巨

tan6002_

：.PA=OA-OH-PH=6-3娓T&一娓+&n=6-2遍.

22

(2)如圖2中，連接A。,。。.

VAD=BD,

：.AD=BD,ZAOD^NBOD,

由翻折的旋轉(zhuǎn)可知，NOBP=/PBD,

?：PD〃OB,

：./DPB=/OBP,

???NDPB=NPBD,

：?DP=DB=AD,

：.ZDAP=ZAPD=/AOB,

9：AO=OD=OB,AD=DB,

：.△kODQXBOD、

：.ZOBD=/OAD=NA0B=2/B0D,

*：OB=OD,

：.ZOBD=N0DB=2/D0B,

：.ZDOB=36Q,

AZAOB=12°,

圖2

圖1

23.(10分)背景：點A在反比例函數(shù)y=K(%>0)的圖象上，ABJ_元軸于點B,ACly

X

軸于點C,分別在射線AC,8。上取點D,E,使得四邊形ABED為正方形.如圖1,點

A在第一象限內(nèi)，當(dāng)AC=4時，小李測得CD=3.

探究：通過改變點A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點D,A的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系.請幫助小

李解決下列問題.

(1)求上的值.

(2)設(shè)點4,。的橫坐標(biāo)分別為x,z,將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”.如圖2,小李

畫出了x>0時“Z函數(shù)”的圖象.

①求這個“Z函數(shù)”的表達式.

②補畫xVO時“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個函數(shù)的性質(zhì)(兩條即可).

③過點(3,2)作一直線，與這個“Z函數(shù)”圖象僅有一個交點，求該交點的橫坐標(biāo).

十

乎

-_bs

I_

*a

二_

I

T_*

I_

一T

產(chǎn)

±_

-I_4

一

圖1圖2

【分析】)求出點4的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出k即可.

(2)①求出點A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式即可.

②描點法在車上的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象可得結(jié)論(答案不唯一).

③由題意可知直線的解析式為y=fcc+2-3匕構(gòu)建方程組，利用△=(),求出人可得結(jié)論.

【解答】解：(1),：AC=4,CD=3,

：.AD=AC-CD=\,

?.,四邊形AB瓦)是正方形，

軸，軸，

：.ZACO^ZCOB=ZOBA=90°,

四邊形A8OC是矩形，

：.OH=AC=4,

：.k=4.

(2)①由題意，A(x,x-z),

-z)=4,

.4

??Z=X-—.

X

性質(zhì)1：元＞0時、y隨X的增大而增大.

性質(zhì)2：xVO時，y隨X的增大而增大.

③設(shè)直線的解析式為y=kx+b,

把(3,2)代入得到，2=3k+b,

:.b=2-3k,

?,?直線的解析式為y=fcc+2-3k,

V=kx+2-3k

由|4，消去y得到，(&-1)/+(2-3k)x+4=0,

y=x—

x

當(dāng)△=()時，(2-3?2-4(k-1)義4=0,

解得上=改或2,

9

當(dāng)&=獨時，方程為工？_&+4,解得x=6.

993

當(dāng)&=2時，方程為/-4x+4=0,解得x=2.

綜上所述，滿足條件的交點的橫坐標(biāo)為2或6.

24.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(-0),點8在直線/：上,

8

過點8作A8的垂線，過原點。作直線/的垂線，兩垂線相交于點C.

（1）如圖，點B,C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與A。相交于點/）.

①若BA=BO,求證：CD=CO.

②若NC8O=45°,求四邊形A80C的面積.

（2）是否存在點B,使得以A,B,C為頂點的三角形與△SCO相似？若存在，求OB

的長；若不存在，請說明理由.

根據(jù)已知有故/458=/（7。2從而可得/（70。=/。。。,。。=（?。；

②過A作于M,過M作MNl-y軸于N,設(shè)M（九旦⑼河得tanZOMN=tanZ

8

，即迎=烏，設(shè)AM=3〃,則aW=8〃,RtZ\AOM中，AM2+OM2=OA2,可求出AM

80M8

=3,OM=8,由/C8O=45°可知△8OC是等腰直角三角形，△A8M是等腰直角三角

形，從而有AM=BM=3,BO=CO=OM-BM=5,AB=4^M=3?,BC=y[^BO=

5勺年，即可求出S四邊形ABOC=SN4BC+SABOC=團：

2

（2）過A作AMYOB于M,設(shè)OB=x，則BM=8-xABfg+d）2,由△AMBS/YBOC,

對應(yīng)邊成比例可得OC=W（8_x）,R￡BOC中，BC=,B,C為頂點

3

位回。2_^9+(8-X)2

的三角形與△BCO相似，分兩種情況：①若迪=區(qū)■，則

OB0C■y(8-x)

o

可得08=4；②若膽二區(qū)■，則也十（8飛）2=39+（8-x）

.，解得。8=4+行或08=4

℃OB〃⑶x）x

0

【解答】（1）①證明：：BC，AB,C0,8。,

AZABC=ZBCO=90°,

?,.ZBAD+ZADB=ZCOD+ZDOB=90°,

???BA=BO,

???NBAD=NDOB,

：.4ADB=/C0D,

*.?NADB=NCDO,

：.ZCOD=ZCDO,

：.CD=CO；

②解：過A作AM_L08于"，過M作MNJ_y軸于M如圖:

YM在直線/：y=—x±,設(shè)M(m?—m),

88

*.MN=\m\=-m,ON=\—tn\=-斗2,

88

為△MON中，tanN0MN=Ul=2,

OM8

而OA〃MN,

???ZAOM=/OMN,

/.tanZAOM=—,

8OM8

設(shè)AM=3〃,貝ijOM=8〃，

RtZXAOM中，AM2+OM2=OA2,

又A的坐標(biāo)為(忌0),

???OA=阮，

???(3〃)2+(8〃)2=(場2,

解得n=\Cn=-1舍去)，

?"M=3,OM=8,

VZCBO=45°,COA.BO,

:?△BOC是等腰直角三角形,

???5C_L4氏NCBO=45°,

???N48M=45°,

?.?AM_L08,

???AABM是等腰直角三角形,

：.AM=BM=3,BO=CO=OM-BM=5,

???等腰直角三角形中，AB=QM=3讓,

等腰直角三角形△BOC中，BC