第34講空間點、直線、平面之間的位置關系【學科素養(yǎng)】數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算【課標解讀】1.理解空間直線、平面位置關系的定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關系的簡單命題.【備考策略】從近三年卷情況來看，盡管空間點、線、面的位置關系是立體幾何的理論基礎，但卻很少獨立命題．預測2022年卷會有以下兩種命題方式：①以命題形式考查空間點、線、面的位置關系；②以幾何體為載體考查線、面的位置關系或求異面直線所成的角．題型為客觀題，難度一般不大，屬中檔題型.【核心知識】知識點一平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(注意：三點不一定能確定一個平面)．推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．知識點二空間中兩直線的位置關系(1)空間中兩直線的位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)))(1)兩條異面直線不能確定一個平面．(2)不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線.(2)異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．(4)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么 這兩個角相等或互補．(1)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．(2)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個角互補．(3)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個角相等．知識點三空間中直線與平面、平面與平面的位置關系(1)直線與平面的位置關系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況．【知識必備】1．唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．2．異面直線的兩個結(jié)論(1)平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．(2)分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面．【高頻考點】高頻考點一平面的基本性質(zhì)及應用【例1】(多選題)(2020·全國卷Ⅱ)下列選項正確的是()A．兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B．過空間中任意三點有且僅有一個平面C．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D．若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l【方法技巧】1.證明點或線共面問題的兩種方法：(1)首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.2.證明點共線問題的兩種方法：(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；(2)直接證明這些點都在同一條特定直線(如某兩個平面的交線)上.3.證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.【變式探究】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點.求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點.高頻考點二判斷空間直線的位置關系【例2】（2023·全國卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【變式探究】(2019·全國卷Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【舉一反三】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．異面D．平行【方法技巧】1.異面直線的判定方法：(1)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面.(2)定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線.2.點、線、面位置關系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系。【變式探究】如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線高頻考點三異面直線所成的角【例3】（2023·浙江卷）如圖，三棱臺DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．【變式探究】已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),4)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(5),4)D．eq\f(5,4)【舉一反三】在正四面體A-BCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A．eq\f(1,6)B．eq\f(\r(3),6)C．eq\f(1,3)D．eq\f(\r(3),3)第34講空間點、直線、平面之間的位置關系【學科素養(yǎng)】數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算【課標解讀】1.理解空間直線、平面位置關系的定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關系的簡單命題.【備考策略】從近三年卷情況來看，盡管空間點、線、面的位置關系是立體幾何的理論基礎，但卻很少獨立命題．預測2022年卷會有以下兩種命題方式：①以命題形式考查空間點、線、面的位置關系；②以幾何體為載體考查線、面的位置關系或求異面直線所成的角．題型為客觀題，難度一般不大，屬中檔題型.【核心知識】知識點一平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(注意：三點不一定能確定一個平面)．推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．知識點二空間中兩直線的位置關系(1)空間中兩直線的位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)))(1)兩條異面直線不能確定一個平面．(2)不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線.(2)異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．(4)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么 這兩個角相等或互補．(1)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．(2)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個角互補．(3)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個角相等．知識點三空間中直線與平面、平面與平面的位置關系(1)直線與平面的位置關系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況．【知識必備】1．唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．2．異面直線的兩個結(jié)論(1)平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．(2)分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面．【高頻考點】高頻考點一平面的基本性質(zhì)及應用【例1】(多選題)(2020·全國卷Ⅱ)下列選項正確的是()A．兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B．過空間中任意三點有且僅有一個平面C．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D．若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l【答案】AD【解析】對于選項A，可設l1與l2相交，這兩條直線確定的平面為α；若l3與l1相交，則交點B在平面α內(nèi)，同理，l3與l2的交點A也在平面α內(nèi)，所以，AB?α，即l3?α，選項A正確．對于選項B，若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，選項B錯誤．對于選項C，空間中兩條直線可能相交、平行或異面，選項C錯誤．對于選項D，若直線m⊥平面α，則m垂直于平面α內(nèi)所有直線．因為直線l?平面α，所以直線m⊥直線l，選項D正確．【方法技巧】1.證明點或線共面問題的兩種方法：(1)首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.2.證明點共線問題的兩種方法：(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；(2)直接證明這些點都在同一條特定直線(如某兩個平面的交線)上.3.證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.【變式探究】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點.求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點.【證明】(1)如圖，連接CD1，EF，A1B，因為E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，所以EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又因為A1D1綉B(tài)C，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形.所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF與CD1確定一個平面α.所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面.(2)由(1)知，EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，所以四邊形CD1FE是梯形，所以CE與D1F必相交.設交點為P，則P∈CE?平面ABCD，且P∈D1F?平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又因為平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三線共點.高頻考點二判斷空間直線的位置關系【例2】（2023·全國卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)詳見解析(2)【解析】（1）因為AB=AD,O為BD中點，所以AO⊥BD因為平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因為平面BCD，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,連FM因為AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因為FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME則為二面角E-BC-D的平面角,因為,為正三角形,所以為直角三角形因為,從而EF=FM=平面BCD,所以【變式探究】(2019·全國卷Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【答案】B【解析】取CD的中點O，連接EO，ON.由△ECD是正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，知EO⊥平面ABCD.∴EO⊥CD，EO⊥ON.又N為正方形ABCD的中心，∴ON⊥CD.以O為坐標原點，eq\o(OD,\s\up7(→))方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設AD＝2，則E(0,0，eq\r(3))，N(0,1,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(\r(3),2)))，B(－1,2,0)，∴EN＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，BM＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋4＋\f(3,4))＝eq\r(7)，∴EN≠BM.連接BD，BE，∵點N是正方形ABCD的中心，∴點N在BD上，且BN＝DN，∴BM，EN是△DBE的中線，∴BM，EN必相交．【舉一反三】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．異面D．平行【答案】D【解析】如圖，連接D1E并延長，與AD交于點M，由A1E＝2ED，可得M為AD的中點．連接BF并延長，交AD于點N.因為CF＝2FA，可得N為AD的中點，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且eq\f(ME,ED1)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,BF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(ME,ED1)＝eq\f(MF,BF)，所以EF∥BD1.【方法技巧】1.異面直線的判定方法：(1)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面.(2)定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線.2.點、線、面位置關系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系。【變式探究】如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【答案】B【解析】過點E作EQ⊥CD于點Q，連接BD，QN，BE，易知點N在BD上．因為平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EQ⊥平面ABCD，所以EQ⊥QN.同理，BC⊥CE.設CD＝2，則EN＝eq\r(EQ2＋QN2)＝eq\r(3＋1)＝2，BE＝eq\r(BC2＋CE2)＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2).又在正方形ABCD中，BD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)＝BE，所以△EBD是等腰三角形．又M為DE的中點，所以EM＝1，所以BM＝eq\r(BE2－EM2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7)，所以BM＝eq\r(7)>2＝EN，即BM≠EN.又因為點M、N、B、E均在平面BED內(nèi)，所以BM，EN在平面BED內(nèi)．又BM與EN不平行，所以BM，EN是相交直線．故選B.高頻考點三異面直線所成的角【例3】（2023·浙江卷）如圖，三棱臺DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．【答案】（I）證明見解析；（II）【解析】（Ⅰ）作交于，連接．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，而平面，即有．∵，∴．在中，，即有，∴．由棱臺的定義可知，，所以，，而，∴平面，而平面，∴．（Ⅱ）因為，所以與平面所成角即為與平面所成角．作于，連接，由（1）可知，平面，因為所以平面平面，而