新課標視角下高中數(shù)學核心概念的教學設計——以“函數(shù)的概念”為例本文系2017年度河南省基礎(chǔ)教育教學研究項目《基本活動經(jīng)驗在高中數(shù)學課堂教學中的實踐與研究》（課題編號：JCJYC17030225）課題推廣研究成果.摘要：在新課標視角下，以“函數(shù)的概念”為例對高中數(shù)學核心概念的教學進行設計分析，試圖從教學內(nèi)容的認識、教學片斷的構(gòu)想、教學設計的反思等方面，闡明學生從具體實例抽象出數(shù)學概念的過程，體會其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法，并在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì).關(guān)鍵詞：課程標準；核心概念；思想方法《普通高中數(shù)學課程標準》明確提出：“通過高中數(shù)學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗；提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.”在數(shù)學教學活動中，讓學生掌握知識與技能的同時理解知識的本質(zhì)，感悟知識所蘊含的數(shù)學基本思想，積累數(shù)學思維和實踐的基本活動經(jīng)驗，在此基礎(chǔ)上促進學生形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).概念是思維的基本形式，數(shù)學概念是數(shù)學思維的核心和邏輯起點，是學生認知的基礎(chǔ).核心概念是一個概念體系中，處于核心位置，其它概念或由它生成，或與它密切聯(lián)系的概念.高中數(shù)學的核心概念本身就有著高度的概括性和抽象性，在教學中要注重體現(xiàn)概念的來龍去脈，引導學生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學概念的過程，體會其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法，并在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì).在2018年河南省高中數(shù)學青年教師觀摩與評比活動中，我市青年教師執(zhí)教《函數(shù)的概念》一課獲得了評委專家的一致好評并有幸參加全國優(yōu)秀課的展示，筆者深度參與了前期的磨課，收獲頗豐，本文借此課例探討新課標視角下高中數(shù)學核心概念的教學設計相關(guān)問題.一、對教學內(nèi)容的認識函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用.函數(shù)是支撐高中數(shù)學知識框架的主干內(nèi)容，函數(shù)的思想和方法貫穿高中數(shù)學課程的始終，也是學生進入高中以后接觸的第一個抽象概念.雖然初中學生已經(jīng)初步學習用變量間的依賴關(guān)系描述函數(shù)，但用集合與對應的語言進一步刻畫函數(shù)的本質(zhì)，理解高度抽象的函數(shù)概念，無論是教師的教還是學生的學，都存在著很大的困難.二、對教學片斷的構(gòu)思在人教A版教材的主編寄語中這樣寫到：為什么要學數(shù)學？數(shù)學是有用的，學數(shù)學能提高能力.如何才能學好數(shù)學？數(shù)學是自然的，數(shù)學是清楚的.這些精髓如何貫穿在日常教學過程中，讓學生更好的體會？我想這節(jié)核心概念課的設計給出了很好的回答.本節(jié)課教學通過層層設問，步步引導，對高中函數(shù)概念引入的必要性和合理性進行了自然的、清楚的深入剖析.1.復習初中函數(shù)概念，通過豐富實例體會變量間的依賴關(guān)系.引入自然.基于學生的學情和原有認知創(chuàng)設合適情境，激發(fā)學生的學習興趣，提供良好的數(shù)學體驗.本設計沒有急于推出集合A、集合B，而是借助三個具有真實背景的典型實例把學生頭腦中已有的、模糊的對函數(shù)的認識清晰化、數(shù)學化、精細化，深度喚醒學生對初中函數(shù)的記憶，同時也讓學生體會到數(shù)學是有用的.師：通過初中的學習我們知道，函數(shù)是描述兩個變量之間依賴關(guān)系的重要模型，那么，初中我們學過哪些函數(shù)呢？生：師：它們分別是什么函數(shù)？為什么稱它們?yōu)楹瘮?shù)？請對照初中函數(shù)概念加以分析.生：如一次函數(shù)y=x+1，在變化過程中，有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值x+1與其對應，我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).師：像這樣的變量間的依賴關(guān)系，即一個變量取定一個確定的值，另一個變量就有唯一確定的值與其對應，在我們生活中大量存在，你能舉個例子嗎？生：學生舉一些生活中的函數(shù)實例，比如：食堂的包子一塊錢一個，我吃幾個包子，付幾塊錢，每一個包子數(shù)x都唯一確定一個我所要付的錢數(shù)y，y是x的函數(shù)，可以表示為y=x；氣溫曲線圖中，每一時刻t都有唯一溫度值與其對應等.引導學生用初中函數(shù)概念判定它們是函數(shù)，然后，我再給出三個實例，請大家?guī)臀曳治觯簩嵗唬涸谝淮螌崗椦萘曋?，一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845m,

且炮彈距地面的高度h(單位:m)隨時間t(單位:

s

)變化的規(guī)律是h=130t-5t2.師:按照給定的解析式h=130t-5t2你能算出炮彈飛行1s，5s，10s時距地面多高嗎？炮彈距地面的高度h是時間t的函數(shù)嗎？你判斷的依據(jù)是什么？生：在這個變化過程中，有兩個變量h，t，并且對t的每一個確定的值，h都有唯一確定的值與其對應，所以h是t的函數(shù).實例二：近幾十年來，大氣層中的的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題.下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979—2001年的變化情況.師：你能從圖中看出哪一年的臭氧空洞面積最大嗎？哪些年的臭氧空洞面積大約為2000萬平方千米？臭氧層空洞面積S是時間t的函數(shù)嗎?你判斷的依據(jù)是什么？實例三：如果老師要了解班級學號前5的同學周考成績，建立下表，填入得分.學號x12345分數(shù)y7692849290師：分數(shù)y是學號x的函數(shù)嗎？你判斷的依據(jù)是什么？師：用初中函數(shù)概念判斷一下y=-1是函數(shù)嗎？【設計意圖】考慮到直接讓學生回憶并準確表述初中函數(shù)概念存在一定的困難，設計通過豐富具體實例的直觀感知讓學生體會變量間的依賴關(guān)系，進一步加深對初中函數(shù)概念的理解，達到全面喚醒學生對于初中函數(shù)概念的準確認知.之后趁熱打鐵，提出問題，y=-1是否可以作為函數(shù)的解析式？利用初中函數(shù)概念很難判斷，讓學生切身感受初中函數(shù)概念的局限，引起認知沖突，導出進一步深入探究函數(shù)概念的必要性.2.實例探究，嘗試集合與對應的語言刻畫函數(shù).發(fā)展自然.數(shù)學概念的起源與發(fā)展都是自然的，學生學習的過程中，應該感覺數(shù)學是自然的，那么，如何實現(xiàn)由初中的函數(shù)概念出發(fā)，自然的過渡到用集合語言刻畫函數(shù)概念呢？本設計充分利用學生已有的認知基礎(chǔ)，找準“變量說”與“對應說”之間的觀點差異，為學生設計適當?shù)恼J知過程，讓學生體驗數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的過程.通過知識遷移，順利實現(xiàn)從“變量說”到“對應說”的螺旋上升.實例一探究：師：t的值能取-1嗎？能取100嗎？為什么？師：炮彈飛行時間t的變化范圍是0～26s，可以用我們前幾節(jié)課學過的哪個數(shù)學概念來表示這個范圍？生：集合，時間t的變化范圍可以表示為數(shù)集，高度h的變化范圍可以表示為數(shù)集.師：這樣一來，這個函數(shù)關(guān)系就可以用集合與對應的語言精確描述為：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)t，按照解析式h=130t-5t2，在集合B中都有唯一確定的數(shù)h或者說130t-5t2和它對應.用符號表示為：(任意一個)t

→

h(唯一確定)

實例二與實例三的探究與實例一類似，在此不再一一陳述.【設計意圖】與一般設計中直接給出兩個數(shù)集不同，本設計引導學生發(fā)現(xiàn)三個函數(shù)實例中自變量和函數(shù)值取值的限制，需要明確變量的取值范圍，聯(lián)系學生已有認知中的數(shù)學概念——集合，自然想到用數(shù)集來表示變量的取值范圍.三個函數(shù)實例分別用解析式、圖象和表格來呈現(xiàn)，代表了三種常見的函數(shù)表示法，讓學生明晰解析式、圖象和表格都是對應關(guān)系.在老師的合理引導下，讓學生嘗試用集合與對應的語言描述函數(shù)，并保持統(tǒng)一的數(shù)學符號表示，使函數(shù)實例的共性更加明顯，為下一步發(fā)現(xiàn)三個實例的共同特征，歸納函數(shù)的一般概念做準備.根據(jù)建構(gòu)主義同化與順應的理論，遵從學生的認知規(guī)律，第一個實例，老師引導學生來表述，第二個實例讓全班學生一起表述，第三個實例找單個學生回答，收效明顯.3.分析三個實例的共同特征，歸納函數(shù)的一般概念.生成自然.在學生已有認知的基礎(chǔ)上，給學生思考、探索的空間，不是直接把概念“拋”給學生，而是讓學生在感受自然的歸納概括的過程中，經(jīng)歷從具體到抽象，感性到理性的認識；從體會函數(shù)的本質(zhì)和數(shù)學研究問題的一般思想方法的過程中，更好的提高學生分析問題的能力，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).師：以上三個函數(shù)實例都可以用集合與對應的語言來表述，其它函數(shù)是否都可以這樣表述呢？這三個函數(shù)實例的共同特征是什么？生：引導學生回答，都涉及兩個非空數(shù)集A，B，兩個數(shù)集間都有一種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應.師：學生回答完上述幾個關(guān)鍵點后，引導學生用集合與對應的語言，采用統(tǒng)一的符號，精確刻畫函數(shù)的一般概念.規(guī)范板書，辨析函數(shù)符號的含義，并指出定義域，值域，對應關(guān)系是函數(shù)三要素，是一個整體.【設計意圖】把三個實例用統(tǒng)一的形式展示在一張表格里，通過對關(guān)鍵詞的強調(diào)和引導，使學生觀察發(fā)現(xiàn)、歸納概括出它們的共同特征，在此基礎(chǔ)上用集合與對應的語言精確刻畫函數(shù)的一般概念.通過從實際問題中抽象概括函數(shù)概念的教學活動，培養(yǎng)學生的抽象概括能力，提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).4.概念辨析，深化理解，突破難點.深化自然.概念生成后摒棄常態(tài)教學中的“一個概念，三項注意”.而是像教材主編寄語中所說的：我們既要從一般概念中看到它的具體背景，不使概念“空洞”，又要在具體例子中想到它蘊含的一般概念，以使事物有“靈魂”.“實例三”一個小小的表格，看起來背景很簡單，但它可以變得很有意思.本設計借助這個表格巧妙的設計不同情境，有效突破了教學難點.實際上，在后續(xù)的課堂教學中，比如判斷兩個函數(shù)是否相等、函數(shù)的三種表示法等知識點，我們通過適當?shù)脑O計，還可以讓這個表格繼續(xù)發(fā)揮它的作用.情境一：如果3號學生恰好因病缺考，那么分數(shù)y還是學號x的函數(shù)嗎？為什么？學號x12345分數(shù)y7692缺考9290情境二：如果把3號學生的缺考成績記為-1分，那么分數(shù)y還是學號x的函數(shù)嗎？學號x12345分數(shù)y7692-19290情境三：如果5號學生因緊張忘寫學號了，那么分數(shù)y還是學號x的函數(shù)嗎？此時定義域，值域分別是什么，明確值域與集合B的關(guān)系.學號x1234分數(shù)y7692849290情境四：如果5名同學都缺考，分數(shù)都記為-1，分數(shù)y還是學號x的函數(shù)嗎？此時f(1),

f(2),

f(3)的值分別是什么？這時函數(shù)對應關(guān)系可以不用表格而用其它形式表達嗎？學號x12345分數(shù)y-1-1-1-1-1【設計意圖】本節(jié)課難點是函數(shù)概念和符號f(x)的準確理解，用具體實例創(chuàng)設情境，對集合A中元素的任意性，B中元素的唯一性進行辨析，加深對函數(shù)概念的理解；5號學生忘寫學號時，值域為{76,92,84}，明確對應關(guān)系多對一，值域是集合B的子集；5名學生都缺考時，任一個學號對應的成績都是-1，這時對應關(guān)系除了可以用表格表示外，還可以用解析式表示為f(x)=-1，一方面前后呼應，對y=-1是否表示函數(shù)做了回答，另一方面引導學生說出f(1),

f(2),

f(3)的值，用具體實例突破對抽象符號f(x)理解困難這一難點.三、對教學設計的反思從本節(jié)核心概念教學的過程來看，學生對函數(shù)概念的認識是一個從具體到抽象，再從抽象到具體的過程.從具體到抽象是為了幫助學生建立概念，從抽象到具體是為了讓學生對概念加深理