專題4：圓錐曲線的面積問題（原卷版）

一、單選題

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1.已知月,鳥是橢圓卷+看=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且|。耳|：忸閭=4:3,

則△Pf；鳥的面積等于（）

A.24B.26C.22夜D.2472

2.已知拋物線Y=8y的焦點為點P在拋物線上，且歸可=6,點。為拋物線準

線與其對稱軸的交點，則AP產。的面積為（）

A.2072B.1672C.12亞D.8正

二、解答題

3.已知動點P與平面上兩定點入卜夜,0）、8（夜,0）連線的斜率的積為定值

（1）求動點。的軌跡。的方程；

（2）若耳（—1,0）,乙（1,0）過耳的直線/交軌跡C于M、N兩點，且直線/傾斜角為

45°,求卬明N的面積.

4.已知橢圓C:二+馬=l（a>b>0）,點尸（后,一1）是橢圓C上一點，離心率為也.

a-b-2

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）直線/：y=與橢圓C相交于A,B兩點，且在y軸上有一點M（0,2機），當

□面積最大時，求，"的值.

Yy2

5.已知橢圓E；—+=1（?！?>0）的左焦點為尸（一6,0卜過產的直線交E于A、

a~b1

r2G甲

C兩點，AC的中點坐標為

（1）求橢圓E的方程；

（2）過原點O的直線BO和AC相交且交E于B、。兩點，求四邊形ABCZ）面積的最

大值.

6.已知橢圓后：5+力=1（。＞8＞0）的左，右焦點分別為耳，F(xiàn)2,離心率為正，

a~b2

且忸閭=2.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設橢圓的下頂點為8,過右焦點寫作與直線8工關于x軸對稱的直線/,且直線/

與橢圓分別交于點M,N,。為坐標原點，求口OMN的面積.

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7.已知橢圓C：?+匕=1左，右焦點分別為耳，F(xiàn)2,5為橢圓上任意一點，過工的

直線/與橢圓。交于A,B兩點.

（1）當用=［豆時，求N?兗的最大值；

（2）點M在線段AB上，且麗'=2麗，點B關于原點對稱的點為點P,求△5PM

面積的取值范圍.

8.己知橢圓C：《+2=l（a＞0/〉0）的左、右焦點分別為耳、用，離心率為彳,

過點鳥且斜率不為。的直線/交橢圓C于A,3兩點，當點耳到直線/的距離取最大

值時，|Ag|=等.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若甌=2可，求口6AB的面積.

2=1（。＞。＞0）,其長軸為4,離心率為也，過橢圓上一點尸作

9.已知橢圓。x+

a2

圓。:/+丁2=。2的兩條切線，切點分別為48,直線A3與x，y軸的交點分別為

E,Q.

（1）求橢圓的方程;

試卷第2頁，總5頁

(2)求△E。。面積的最小值.

10.已知定點M(—1,0),圓N:(x—l『+y2=i6,點。為圓N上動點，線段的

垂直平分線交NQ于點尸，記P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的方程；

(2)過點M與N作平行直線4和"，分別交曲線C于點A、3和點￡>、E,求四邊

形A3DE面積的最大值.

11.已知拋物線「：產=辦(4>0)的焦點為尸，若過F且傾斜角為:的直線交「于

M,N兩點，滿足|MN|=4.

(1)求拋物線「的方程；

(2)若p為「上動點，B，。在》軸上，圓(%—1)2+;/=1內切于口尸3。，求[]PBC

面積的最小值.

12.己知離心率為日的橢圓C:§+/■=1(〃>6>0)過點〃(72,1).

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點(1,0)作斜率為2直線/與橢圓相交于A,8兩點，求|A8|的長；

(3)過點(1,0)的直線/與橢圓相交于A,8兩點，求口。46的面積的最大值.

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13.在平面直角坐標系宜8中，橢圓E：二+1=1(。>Z,〉0)的左焦點為耳(-1,0),

ab

左頂點為A，上、下頂點分別為B,C.

(1)若直線6耳經過AC中點求橢圓E的標準方程；

(2)若直線8月的斜率為1,8月與橢圓的另一交點為。，橢圓的右焦點為乙，求三

角形瓦媽的面積.

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14.已知耳，鳥是橢圓。:亍+]=1的左、右焦點.

(1)求橢圓C的焦點坐標和離心率；

(2)過橢圓C的左頂點A作斜率為1的直線I,/與橢圓的另一個交點為8,求△4工8

的面積.

15.已知拋物線。：產=2%.

（I）寫出拋物線C的準線方程，并求拋物線C的焦點到準線的距離；

（II）過點（2,0）且斜率存在的直線/與拋物線C交于不同的兩點A,B,且點B關于x

軸的對稱點為。，直線A。與x軸交于點M.

（i）求點M的坐標；

（ii）求△QAM與口面積之和的最小值.

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16.已知橢圓C：3+2=l（a>〃>0）的左、右焦點分別為耳、F2,橢圓的離心率

為日，若M是橢圓上的一個點，且4|+|M8|=4夜.

（1）求橢圓。的標準方程；

（2）已知點尸（2,%）是橢圓C上位于第一象限內一點，直線/平行于OP（0為原點）

交橢圓。于A、B兩點,點。是線段上（異于端點）的一點，延長至點Q,

使得3兩=可，求四邊形PAQB面積的最大值.

17.已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在％軸上，離心率為立，兩個焦點分別為耳

2

和耳,橢圓G上一點到耳和瑪?shù)木嚯x之和為12.圓G：

x2+'+2Ax—4y-21=0（左wH）的圓心為點4.

（1）求橢圓G的方程.

（2）求口4耳鳥的面積

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18.己知橢圓。：鼻+2=1（。>匕〉0）的左右兩個焦點分別為￡,F2,以坐標原點

為圓心，過耳，鳥的圓的內接正三角形的面積為3百，以巴為焦點的拋物線

M:y2=2px（p>0）的準線與橢圓C的一個公共點為P,且|P段=30.

（1）求橢圓C和拋物線M的方程；

（2）過招作相互垂直的兩條直線，其中一條交橢圓C于A,8兩點，另一條交拋物線

M于G,〃兩點，求四邊形AG6H面積的最小值.

試卷第4頁，總5頁

19.已知橢圓5+,=1（。＞匕＞0）的長軸長為4,且經過點PV2,

（1）求橢圓的方程；

（2）直線/的斜率為;，且與橢圓相交于A,8兩點（異于點P）,過P作NAPB的

角平分線交橢圓于另一點Q.

（/）證明：直線PQ與坐標軸平行;

（?）當A