屆黃岡市浠水一中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測卷2024.1一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知直線：與直線，且，則的最小值為（

）A．12 B． C．15 D．3．已知是三角形的一個內(nèi)角，滿足，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，且關(guān)于點(diǎn)對稱，則的值可能是（

）A．5 B．9 C．13 D．155．在中，分別是，，的對邊.若，且，則的大小是（

）A． B． C． D．6．魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的兩個相對三角形面間的距離為（

）

A． B．C． D．7．在中，，D為AB的中點(diǎn)，，P為CD上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，且．若是偶函?shù)，，是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9．下列說法中正確的是（

）A．將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變B．回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，且至少過一個樣本點(diǎn)C．用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果時，越接近1，說明模型的擬合效果越好D．在列聯(lián)表中，的值越大，說明兩個分類變量之間的關(guān)系越弱10．若函數(shù)，則（

）A． B．有兩個極值點(diǎn)C．曲線的切線的斜率可以為 D．點(diǎn)是曲線的對稱中心11．用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點(diǎn).用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標(biāo)系中，對稱軸與x軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.若拋物線C：的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)反射，再經(jīng)過C上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則（

）

A．C的準(zhǔn)線方程為B．C．若點(diǎn)，則D．設(shè)直線AO與C的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為N，則點(diǎn)N在直線上12．已知在棱長為1的正方體中，為正方體內(nèi)及表面上一點(diǎn)，且，其中，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，對任意，恒成立B．當(dāng)時，與平面所成的最大角的正弦值為C．當(dāng)時，線段上的點(diǎn)與線段上的點(diǎn)的距離最小值為D．當(dāng)時，存在唯一的點(diǎn)，使得平面平面三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）14．已知直線，圓，則滿足與軸都相切，且與外切的所有圓的半徑之積為.15．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋簦瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．已知橢圓：（），、為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，連接并延長交橢圓于另一點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率為.四、解答題（本題共6小題，共70分.）17．在中，角的對邊分別為，且，．(1)求的長；(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，若線段的長不大于，求的長的最大值．18．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和滿足．(1)令，求的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：．19．如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面．

(1)求證：；(2)若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．20．籃球是一項(xiàng)風(fēng)靡世界的運(yùn)動，是深受大眾喜歡的一項(xiàng)運(yùn)動.喜愛籃球運(yùn)動不喜愛籃球運(yùn)動合計男性6040100女性2080100合計80120200(1)為了解喜愛籃球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到如上列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動與性別有關(guān)；(2)校籃球隊中的甲、乙、丙三名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即.①求（直接寫出結(jié)果即可）；②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第9次與第10次觸球者是甲的概率的大小.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：，.21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，P為平面內(nèi)一動點(diǎn)，記直線的斜率為k，直線的斜率為，且，記動點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N在第四象限），記直線，的斜率為，直線的斜率為，若，求證：直線過定點(diǎn)．22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有兩個零點(diǎn)．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．1．B【分析】根據(jù)函數(shù)式有意義列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定義即得.【詳解】在中，由得，即，又由可得：，解得,即，故.故選:B.2．B【分析】根據(jù)直線的垂直關(guān)系推出，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知直線：與直線，，則，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時等號成立。故的最小值為，故選：B3．B【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,可求的值，進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡，即可計算得解．【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得，即，可得，因?yàn)槭侨切蔚囊粋€內(nèi)角，且，所以，所以，得，又因?yàn)?，，?lián)立解得：，，故有：，從而有．故選：B．4．B【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心求出的表達(dá)式，然后結(jié)合選項(xiàng)判斷.【詳解】函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，且關(guān)于點(diǎn)對稱，則有且，解得且，選項(xiàng)中只有符合條件.故選：B5．A【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋?，故選：A6．C【分析】該魯班鎖玩具可以看成是一個正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，由等體積轉(zhuǎn)化得出截去的三棱錐的高，由體對角線減去該高，計算即可.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，如圖所示，由題意可知：，所以.故該正方體的棱長為，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則該小三棱錐幾何體的體積為，

所以該三棱錐的頂點(diǎn)D到面ABC的距離.易知魯班鎖兩個相對的三角形面平行，且正方體的體對角線MD垂直于該兩面，故該兩面的距離.故選：C7．D【分析】由中點(diǎn)可知，根據(jù)模長關(guān)系可得，設(shè)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算以及基本定理可得，用表示，結(jié)合模長運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，則，可得，即，解得，又因?yàn)镻為CD上一點(diǎn)，設(shè)，則，可得，解得，即，則，可得，即.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.根據(jù)模長關(guān)系可得；2.設(shè)，根據(jù)平面向量基本定理求得；3.以為基底表示，進(jìn)而運(yùn)算求解.8．C【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，得出的對稱性，然后得出關(guān)于的恒等式，與聯(lián)立得出的周期性，然后求出一個周期內(nèi)的各個值即可.【詳解】由是奇函數(shù)可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，則，將其代入，得，所以.又是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則．由，得，所以．由，得，所以，則，所以，所以的周期為8．由，，得，所以，由，得，，所以，由，得，，，，即，所以．故選：C．9．AC【分析】對A：由方差的性質(zhì)即可判斷；對B：由回歸直線的性質(zhì)即可判斷；對C：利用相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對D：由卡方的意義即可判斷.【詳解】對A：將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動性不變，故方差不變，故A正確；對B：回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心正確，但不一定會過樣本點(diǎn)，故B錯誤；對C：用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果時，越接近1，說明模型的擬合效果越好，故C正確；對D：在列聯(lián)表中，的值越大，說明兩個分類變量之間的關(guān)系越強(qiáng)，故D錯誤.故選：AC.10．BD【分析】A項(xiàng)，求導(dǎo)賦值可得；B項(xiàng)，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性再求極值；C項(xiàng)，研究導(dǎo)函數(shù)值域即可；D項(xiàng)，證明.【詳解】選項(xiàng)A，由題意得，所以，解得，A錯誤；選項(xiàng)B，由，則，，由得，或，則當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，有極大值；當(dāng)時，有極小值.所以有兩個極值點(diǎn)，B正確；選項(xiàng)C，，所以曲線的切線的斜率不可能為，C錯誤；選項(xiàng)D，因?yàn)?所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，D正確.故選：BD.11．AD【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可判定A正確；設(shè)直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判定B錯誤；根據(jù)，求得，可判定C錯誤；由，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合，可判定D正確.【詳解】由題意，拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，所以A正確；由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線經(jīng)過焦點(diǎn)F，且斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，所以B錯誤；若點(diǎn)，則，所以，所以，，所以，所以C錯誤；又由直線，聯(lián)立方程組，解得，由，得，所以，所以點(diǎn)N在直線上，所以D正確.故選：AD.

12．ACD【分析】確定點(diǎn)在平面上（含邊界），結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，判斷A；確定P點(diǎn)位置，設(shè)平面，確定當(dāng)時，與平面所成的角最大，結(jié)合解三角形判斷B；將線段上的點(diǎn)與線段上的點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合等體積法求解，判斷C；確定點(diǎn)在線段上，進(jìn)而作出兩平面所成二面角的平面角，結(jié)合二面角為直角判斷D.【詳解】因?yàn)椋渲?，，則點(diǎn)在平面上（含邊界）．對于A，當(dāng)時，，則點(diǎn)P在連接的中點(diǎn)的線段上運(yùn)動，

則,平面,故平面,平面,故，而,平面，故平面，平面，故，A正確；對于B，當(dāng)時，點(diǎn)在線段上，設(shè)平面，

由于平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故,同理可證，平面，故平面，得在平面上的射影為，當(dāng)時，與平面所成的角最大，由于，即，則，而，故，，則，即與平面所成的最大角的正弦值為，B錯誤；對于C，當(dāng)時，點(diǎn)在線段上，由于，即為平行四邊形，則，平面，平面，故平面，所以線段上的點(diǎn)與線段上的點(diǎn)的距離最小值為點(diǎn)到平面的距離，由等體積法，得（d為點(diǎn)到平面的距離），則，即點(diǎn)到平面的距離為，即線段上的點(diǎn)與線段上的點(diǎn)的距離最小值為，C正確；對于D，設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)時，，故點(diǎn)在線段上，

由于，平面，平面，故平面，而P是平面和平面的一個交點(diǎn)，故平面和平面的交線為過點(diǎn)P和BC平行的直線，由于平面，故交線也垂直于平面，設(shè)在平面上的射影為M，則為平面與平面所成二面角的平面角，當(dāng)平面平面時，為直角，此時M點(diǎn)在以AB為直徑的半圓上，又設(shè)N為E點(diǎn)在上的投影，即N為的中點(diǎn)，則M點(diǎn)也在BN上，顯然BN與以AB為直徑的半圓相交，滿足為直角的點(diǎn)M是唯一的，則點(diǎn)是唯一的，故D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合性強(qiáng)，涉及到的知識點(diǎn)多，解答的關(guān)鍵是要發(fā)揮空間想象，明確空間的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，結(jié)合線面以及面面平行或垂直的性質(zhì)進(jìn)行解答.13．【分析】先求解出的展開式中常數(shù)項(xiàng)和含的項(xiàng)的系數(shù)，然后可求的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)為，其中常數(shù)項(xiàng)為，含的項(xiàng)為，又因?yàn)椋栽归_式中含的項(xiàng)的系數(shù)為：，故答案為：.14．【分析】由題意得到關(guān)于的關(guān)系式，解之即可得解.【詳解】假設(shè)滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，而圓的圓心為，半徑為，所以，由，得或，當(dāng)時，得，解得或，則或；當(dāng)時，得，無解；綜上：或，所以滿足條件的所有圓的半徑之積為.故答案為：5.15．【分析】指對同構(gòu)類型，先將不等式變?yōu)椋贅?gòu)造函數(shù)，則不等式變形為；再次構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性；將原不等式變成原題等價于在上是增函數(shù)，再求導(dǎo)，求出最值即可.【詳解】，即，令，則．令，則，則在上遞增，所以，即．所以原題等價于在上是增函數(shù)，所以在上恒成立，即對恒成立，而的值域是，所以．故答案為：16．##【分析】由題意，，結(jié)合橢圓定義可將這些長度以及用同一個參數(shù)表示，然后分別在在、中，對利用余弦定理，結(jié)合離心率公式化為其次方程即可得解.【詳解】如圖所示：由題意，，，所以不妨設(shè)，而由橢圓定義有，所以，所以，在中，由余弦定理有，在中，由余弦定理有，交叉相乘得，即，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題的關(guān)鍵在于表示出以及，然后利用余弦定理即可順利得解.17．(1)(2)2【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角形的內(nèi)角關(guān)系即可求出c的長；（2）因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，兩邊平方，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式求解可得b的范圍，則最大值可求.【詳解】（1）在中，由正弦定理得．又，故，即．又因?yàn)椋?，即，故．在中，由于，所以，所以．?）設(shè)線段的長為，則．因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以．兩邊平方得，即．又因?yàn)?，所以，解得．又，所以．所以的長的最大值為2．18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，即可得解；（2）由（1）知，，求和即可.【詳解】（1）因?yàn)椋援?dāng)時，，解得；當(dāng)時，，兩式相減得，即．所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，，且，所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以．（2）由（1）知，則，所以．因?yàn)椋裕?9．(1)證明見解析；(2)存在，.【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定推理即得.（2）作，建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）在三棱柱中，由平面，平面，得，在平面內(nèi)過作于，由平面平面，平面平面，得平面，而平面，則有，顯然平面，因此平面，又平面，所以.

（2）過點(diǎn)作，由，得，由（1）知平面，平面，則，即直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，，假定在棱上存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為，令，則，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，顯然平面的一個法向量，依題意，，解得，即，所以在棱上存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為，.20．(1)有99.9%的把握認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動與性別有關(guān).(2)①；②證明見解析，第次觸球者是甲的概率大.【分析】（1）直接帶公式即可.（2）①根據(jù)題義寫即可；通過分析與的概率關(guān)系式，再利用數(shù)列知識計算結(jié)果.【詳解】（1）（1）根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得,根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)：即有的把握認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動與性別有關(guān).（2）①由題意得：第二次觸球者為乙，丙中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的二人中的一人，故傳給甲的概率為，故.②第次觸球者是甲的概率記為，則當(dāng)時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則從而，又，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故第次