歷年高考中三角函數(shù)試題題型分析

一、考綱要求（三角函數(shù)考試要求）

1、了解任意角的概念、弧度的意義。能正確地進行弧度與角度的換算。

2、理解任意角的正弦、余弦、正切的定義。了解余切、正割、余割的定義。掌

握同角三角函數(shù)的基本關系式。掌握正弦、余弦的誘導公式。了解周期函數(shù)與最

小正周期的意義。

3、掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、

正切公式。

4、能正確運用三角公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明。

5、理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦

函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)丫=人5皿3+9）的簡圖，理解A、8、°的物理意義。

6、會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx、arccosx>arctanx表示。

7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形。

二、三角函數(shù)在高考中的地位

三角函數(shù)在高考試題中每年必考、分值一般占15%,對本章知識的考查，一般

在選擇、填空和解答題的17、18題中出現(xiàn)，為中低檔試題。主要考察對概念的

理解水平，靈活運用概念和各種三角公式進行化簡、求值、證明以及解三角形或

結合三角函數(shù)圖像考查等是近幾年的熱點。在復習中，還要特別注意使用單位圓

和輔助角，這也是解決三角問題的重要工具。要訓練學生恒等變形能力，培養(yǎng)思

維能力和運算能力。

三、歷年高考中三角函數(shù)試題題型分析

三角函數(shù)是數(shù)學工具，因此也成為高考的重點。它既可以單純以三角內容命題，

也常常與其它數(shù)學知識（如不等式、平面向量、數(shù)列、解析幾何等）綜合命題，

這是近年來高考命題的趨向。

例1.（全國一17）.（本小題滿分10分）

3

設△ABC的內角4B。所對的邊長分別為a,bc,且acosB—/7cosA=2c.

5

（I）求tanAcotB的值；

（II）求tan（A—B）的最大值.

本題考察三角形中的三角函數(shù)問題，利用正弦定理化邊為角，用均值不等式求最值時要注

意等號成立的條件。

3

解：（I）在△ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA=-c

5

可得sinAcos8—sin8cosA=—sinC=—sin(A+B)=—sinAcosB+—cosAsinB

5555

即sinAcosB=4cosAsinB,則tanAcotB=4；

(II)由tanAcot8=4得tanA=4tan8>0

.n、tanA-tanB3tanB3,3

tan(zA-B)=-----------------=-----------=-----------------W-

1+tanAtanBl+4tan~BcotB+4tanB4

當且僅當4tanB=cotB,tanB=—,tanA=2時，等號成立，

2

13

故當tanA=2,tanB=一時，，tan(A一B)的最大值為一.

24

例2.(安徽卷17).(本小題滿分12分)

777777

已知函數(shù)/(x)=cos(2x——)+2sin(x——)sin(x+—)

344

本題考察三角函數(shù)的二倍角公式，輔助角公式，周期，對稱軸方程及三角函數(shù)的值域。

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程

(II)求函數(shù)/(X)在區(qū)間[-專,5]上的值域

TTTTTT

解：(1)v/(x)=cos(2x--)+2sin(x-—)sin(x+—)

]

=—cos2x+—sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)

22

g°s2x+*sin2x+sin?cos2x

1c百.cc

=—cos2xH-----sin2x-cos2x

22

=sin(2x--)

.??周期T='27r="

2

由2x—工=攵乃+工(A￡Z),得x=—+—(^eZ)

6223

TT

I.函數(shù)圖象的對稱軸方程為X=k7T+^(k&Z)

,、r47C、-7C7C5兀、

(2)XG[---,-2x----G[r----,—]

122636

因為/(x)=sin(2x-a在區(qū)間[-自上單調遞增，在區(qū)間號申上單調遞減,

7T

所以當彳=:時，/(X)取最大值1

又,',（一展）=一＜/（■^'）=；，當X=—專時，/（X）取最小值一^^

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間［一土,］］上的值域為［―

例3.（江蘇卷）在平面直角坐標系xoy中，以。X軸為始邊做兩個銳角a，B，它們的終邊分

別與單位圓相交于A,B兩點，已知A,B的橫坐標分別為也，拽.

105

（I）求tan（a+/?）的值；

（II）求a+2￡的值.

本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式.

由條件的cosa=冬,cos/?=1^,因為e,。為銳角，所以sinc=（%,sin/?=^

因此tana=7,tan夕=；

._tana+tan/?

（zIT）tan（a+/3）=------------=-3o

1-tanatanp

2tanB4./0小tana+tan.

(II)tan2/7=-----^-=一，所以tan(a+2/7)=------------=-1

1-tan2/?3')1-tanatan2/7

37r

?:a,/?為銳角，?'?0<a+2/?<,；?a+2/?=-^-

例4.(湖北卷16).已知函數(shù)

于⑴=J=，g(x)=cosx?/(sinx)+sinx?/(cosx),xe(%,?).

V1+f12

（I）將函數(shù)g（x）化簡成Asin（@x+e）+B（A＞0,。＞0,9e［0,2萬））的形式;

（II）求函數(shù)g（x）的值域.

本小題主要考查函數(shù)的定義域、值域和三角函數(shù)的性質等基本知識，考查三角恒等變換、

代數(shù)式的化簡變形和運算能力.（滿分12分）

1-sinx,1-cosx

解：(I)g(x)=COSX-------Fsinx

l+sinx1+cosx

…、上4+sinx心*

Vcosxvsinx

1-sinx.1-cosx

=cosx-j------p+sinx------j-

|cosx\卜inx|

?.?xw(兀,|cosx\=-cosx,|sinx\=-sinx,

/、1-sinx.1-cosx

/.g(%)=cosx----------+sinx-----；-----

-cosx-sinx

=sinx+cosx-2

.717K后5兀)TC57i

(zITTI)x由7UV4K-----得—VxH—<—.

12443

???sinf在(空，紅］上為減函數(shù)，在(九,2］上為增函數(shù),

(42J(23J

?.5n5;t.3n兀、.5n(17兀、

又sin—<sfii—sin一<sin(x+—)sm—(axeit,),

34244I2_

即-1Wsin(x+')<L幺1.-夜-2K亞sin(x+')-2-3

424

故g(x)的值域為［一行一2,—3).

例5(福建卷17)(本小題滿分12分)

已知向量"?=(sio4,cos4),"=(61),加?”=1,且A為銳角.

(I)求角A的大??；(II)求函數(shù)/(x)=cos2x+4cosAsinx(xwR)的值域.

本小題主要考查平面向量的數(shù)量積計算、三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、一元二次

函數(shù)的最值等基本知識，考查運算能力.滿分12分.

解：(I)由題意得"？〃=GsinA-cosA=1,

2sin(A一*=l,sin(A一*=

由A為銳角得A-二JT=巴JT,A=ItT.

663

(II)由(I)知cosA--,

2

i13

所以/(x)=cos2x+2sinA,=1-2sin2x+2sin5=-2(sinx--)2+：.

i3

因為xWR,所以sinx￡[—l,l],因此，當sinx=一時，"r)有最大值一.

L」22

~3-

當sinx=-l時，/)有最小值-3,所以所求函數(shù)/U)的值域是-3二

_2_

例6(廣東卷16).(本小題滿分13分)

已知函數(shù)/'(X)=Asin(*+eXA>0，。<夕<，XER的最大值是1,其圖像經(jīng)過點

⑴求小)的解析式;⑵由a,對嗚，且.)=”(所存求以的

的值.

本題考察三角函數(shù)中利用圖像求其解析式，平方公式，余弦的和差公式。

【解析】(1)依題意有A=l,則/(x)=sin(x+°),將點代入得

JI1兀5兀71

sin(一+°)=—,而0<0<)，，一+0=一%，:.(p=一,故/(x)=sin(x+—)=cosx；

323622

a10

(2)依題意有cos?=-,cos^=—,而a,/?w(0,g,

??.sina=Qpq,sin左口17=3

/(a—/?)=cos(a一夕)=cosacos^+sin6zsin/?=-x—+—x—=—

51351365o

例7.(陜西卷17).(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=2sin—cos--2V3sin2—+V3.

444

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期及最值;

(H)令g(x)=/x+2，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并說明理由.

<3)

本題考察三角函數(shù)的二倍角公式，三角函數(shù)的周期、最值及奇偶性，關鍵在三角函數(shù)的化

簡。

2X71

解：(I)vf(x)=sin—+V3(1-2sin—)=sin—+V3cos—=2sin----1----

242223

/(x)的最小正周期T=7=4兀.

2

XK

當sin'=-1時,/(x)取得最小值-2；當sin—+—=1時，/(x)取得最大值2.

(23)23

X71?又g(x)=/(x+方J.

(H)由(I)知/(x)=2sin—+—

23

函數(shù)g(x)是偶函數(shù).

例8(山東卷17)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(.x)=73sin(tur+(p)~cos((ux+^)(0<(p<7r,a)>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)yq/(x)

圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

2

(I)求/(三)的值；

8

(II)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移三個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標舒暢長

6

到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù).丫=8(外的圖象，求g(x)的單調遞減區(qū)間

本題考察輔助角公式，三角函數(shù)的對稱性，三角函數(shù)圖像變換和單調區(qū)間以及運算能力。

解：(I)/(x)=6sin(6ix+°)-cos(m+9)

g6?/\1/X

=2——sin(6^+夕)——cos(a)x+9)

=2sin(3t+e?一)

6

因為/U)為偶函數(shù)，

所以對x￡R<-x)4x)恒成立,

因此sin(-亞+9■巴)=sin(a)x+(p--

66

Tt7TTt7T

uw|J-sinCOXcos((p--)+cosG)xsin((p—)=sinCOXcos((p—)+cosCDXsin((p?一),

6666

ITTF

整理得sin5cos(。--)=0.因為co>0,且所以cos()=0.

66

兀

又因為OV^VJI,故夕-°=°.所以f(x)=2sin(6zzr+—)=2coscox.

62

所以0=2.

由題意得

故f(x)=2cos2x.

因為/(*)=2cos￡=V^.

TTTT

(II)將大無)的圖象向右平移個二個單位后，得到/(X-2)的圖象，再將所得圖象橫坐標

66

伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到/(工-王)的圖象.

46

所以g(x)=/(^-^)=2cos[2(^-=2cos/(|^-y).

當2k“W-----W2k〃+rt(kGZ),

23

27r87r

即4k"+(k^Z)時，g(x)單調遞減.

27r9i7T~

因此g(x)的單調遞減區(qū)間為4k7T+—Ak7r+—(%ez)

例9(安徽文)(本小題滿分14分)

設函數(shù)/(x)=-cos2x-4rsin-|cos^+4r3+r-3t+4,xeR,

其中卜|<1，將/(x)的最小值記為g(f).

(I)求g?)的表達式;

(ID討論g(t)在區(qū)間(—14內的單調性并求極值.

本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，多項式函

數(shù)的導數(shù)，函數(shù)的單調性，考查應用導數(shù)分析解決多項式函數(shù)的單調區(qū)間，極值與最值等

問題的綜合能力.本小題滿分14分.

解(D我們有

f(x)=-cos2x-4rsin-cos-+4r3+t2-3f+4

22

——sin-x—1—2tsin+4廠+/一3f+4

=sin2x-2rsinx+r2+4/一3f+3

—(sinx-f>+4/一3f+3*

由于(sinx—，)220,故當sinx=f時，/(x)達到其最小值gQ),即

g(f)=4「_3f+3.

(ID我們有g'(t)=12產(chǎn)—3=3(2?+l)(2r-l),-l<r<l.

列表如下:

22

g'。)0+

極小值g出

gQ)極大值

由此可見，g(t)在區(qū)間(-1,—耳[和]單調增加，在區(qū)間—耳”)單調減小，極小值為

g[g]=2,極大值為g[-；]=4.

例10。(江西)本小題滿分12分

函數(shù)y=2cos(①x+8)(xeR,0WW號的圖象與丫軸交于點0，垂＞)，且在該點處切線

的斜率為-2.

(1)求。和①的值;

(2)已知點,點P是該函數(shù)圖象上一點，點。(如為)是厚的中點，當先=*，

JT

x0e—,兀時，求與的值.

本題把三角函數(shù)和導數(shù)知識綜合起來，主要考察已知函數(shù)值求角和已知角求函數(shù)值。

解:(1)將x=D,y=乖＞代入函數(shù)y=2cos(cox+ff)得co&e=￡~,

7TJr

因為00短所以6=

26

r

J?^^y'=-269sin(s+0),y|x=0=-2,3=—,所以8二2,

6

因此y=2cos2x+".

Q(x(),%)是PA的中點，%=#，

(2)因為點,

所以點P的坐標為

又因為點尸在y=2cos+的圖象上，所以cos

因為'w爵71,所以Fw《o—2也，

2666

5兀11兀_/5K13兀

從而得4%----=——或4/----二——.

6666

即x0=如或尤0=型.

例11.（全國I）（本小題滿分10分）

設銳角三角形A8C的內角A,BC的對邊分別為a,bc,a=2bsinA.

（I）求8的大??；

（11）求cosA+sinC的取值范圍.

本題考察正弦定理，銳角三角形中角的范圍，及根據(jù)角的范圍求值。

解（I）由a=2/?sinA,根據(jù)正弦定理得sinA=2sin6sinA,所以sin8=」,

2

7F

由△ABC為銳角三角形得B=-.

6

（II）cosA+sinC=cosA+sinn---A

I6J

.71.

=cosAA+sin—+A=cosA+—cos