7.2排列1.理解排列及排列數(shù)的概念,掌握排列數(shù)公式.2.掌握幾種有限制條件的排列,能應用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題.

排列一般地,從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素,按照①

一定的順序

排成一列,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列排列數(shù)一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的②

所有排列

的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號

表示排列數(shù)公式

=③

n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

,其中n,m∈N*,且m≤n

排列、排列數(shù)與排列數(shù)公式

全排列、階乘的概念及相關結(jié)論1.全排列:n個不同元素④

全部取出

的一個排列,叫作n個不同元素的一個全排

列.2.n的階乘:在排列數(shù)公式中,當m=n時,即有

=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1,n(n-1)(n-2)×…×3×2×1稱為n的階乘,通常用n!表示,即

=n!.3.階乘的相關結(jié)論:(1)規(guī)定:0!=⑤

1

;(2)排列數(shù)公式的另一種形式:

=⑥

;(3)

=n

(n≥m≥2).

1.若組成兩個排列的元素相同,則這兩個排列是相同的.

(

?)2.同一個排列中,同一元素不能重復出現(xiàn).

(√)3.a,b,c與b,a,c是同一個排列.

(

?)4.將5本不同的課外讀物分給5位同學,每人一本,則不同的分配方法有120種.

(

√)利用排列數(shù)的概念可知不同的分配方法有

=5×4×3×2×1=120(種).×5×6×…×(n-1)×n=

.

(√)因為

=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),所以

=n(n-1)(n-2)…[n-(n-3)+1]=n(n-1)(n-2)×…×6×5×4.6.5個人站成一排,其中甲、乙兩人不相鄰的排法可列式為

-

.

(√)利用插空法可列式為

,利用間接法可列式為

-

.

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.

排列數(shù)及其運算

解有關排列數(shù)的方程或不等式的步驟:

(1)用排列數(shù)表示(55-n)(56-n)×…×(69-n)(n∈N*且n<55);(2)計算:

;(3)化簡:

+

+

+…+

(n≥2且n∈N*);(4)解不等式:

>6

.解析

(1)∵55-n,56-n,…,69-n中最大的數(shù)為69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15個正

整數(shù),∴(55-n)(56-n)×…×(69-n)=

.(2)

=

=

=3.(3)∵

=

-

,∴

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=1-

.(4)易知

∴2<x≤9,x∈N*.原不等式可化為

>

,其中2<x≤9,x∈N*,化簡得(11-x)(10-x)>6,即x2-21x+104>0,∴(x-8)(x-13)>0,解得x<8或x>13.∵2<x≤9,x∈N*,∴2<x<8,x∈N*.∴原不等式的解集為{3,4,5,6,7}.方法總結(jié)

(1)排列數(shù)公式的乘積的形式適用于求值和當m較小時的含排列數(shù)的

方程和不等式問題.(2)排列數(shù)公式的階乘的形式主要用于與排列數(shù)有關的證明、解方程和不等式等問題,具體應用時注意提取公因式,可以簡化計算.

有限制條件的排列問題喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進行談判,通過談判他們握手言和,準

備一起合影(排成一排)以示團結(jié)友好.問題1.若灰太狼、紅太狼必須在兩端,應如何計算排法種數(shù)?提示:可按照特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排的原則,有

=48種排法.2.若安排喜羊羊家族的四位成員必須相鄰,應如何計算排法種數(shù)?提示:可按照“捆綁法”,把喜羊羊家族的四位成員看成一個整體,與灰太狼、紅

太狼全排列,有

種排法,又因為喜羊羊家族的四位成員交換順序會產(chǎn)生不同排列,所以共有

=144種排法.3.若安排灰太狼、紅太狼不相鄰,應如何計算排法種數(shù)?提示:可考慮“插空法”.首先將喜羊羊家族的四位成員排好,有

種排法;然后將灰太狼、紅太狼插入四位成員形成的空(包括兩端)中,有

種排法,共有

=480種排法.

“在”與“不在”的問題解決“在”與“不在”的問題,常用的方法是特殊位置分析法、特殊元素分析

法.若以位置為主,則需先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置,若有兩個及以上

的約束條件,則在考慮一個約束條件的同時要兼顧其他條件;若以元素為主,則需

先滿足特殊元素的要求,再處理其他的元素.當直接求解困難時,可考慮用間接法

解題,即先不考慮限制條件,計算出排列總數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù).

限制條件解題策略元素相鄰通常采用“捆綁法”,即把相鄰元素

看作一個整體并與其他元素進行排

列元素不相鄰通常采用“插空法”,即先考慮不受

限制的元素的排列,再將不相鄰元素

插在前面元素形成的空中“相鄰”與“不相鄰”問題

“定序”問題在排列問題中,某些元素在題意中已排定了順序,對這些元素進行排列時,不再考

慮其順序.在具體的計算過程中,可采用“除階乘法”解決,即n個元素的全排列中

有m(m<n)個元素的順序固定,則滿足題意的排法有

種.

元宵節(jié)燈展后,如圖懸掛的6盞不同的花燈需要取下,每次取1盞,共有

種

不同取法.(用數(shù)字作答)

思路點撥將問題轉(zhuǎn)化為六個元素進行排列,而每一串的2盞花燈都有順序,自下而上,所以是

排列中的“定序”問題.解析

先將6盞花燈全排列共有

種排法,因為取花燈時每次只能取1盞,且每串花燈必須先取下面的花燈,即每串2盞花燈取下的順序確定,所以取下6盞不同的

花燈,每次取1盞,共有

=

=90種不同取法.答案

90

7名師生站成一排照相留念,其中老師1人,男學生4人,女學生2人.分別求滿足下列

情況的不同站法的種數(shù).(1)老師必須站在正中間或兩端;(2)2名女學生必須相鄰而站;(3)4名男學生互不相鄰;(4)若4名男學生身高都不等,按從高到低的順序站.解析

(1)先考慮老師有

種站法,再考慮其余6人全排列,故不同站法的種數(shù)為

=2160.(2)2名女學生相鄰而站有

種站法,視為一個整體并與其余5人全排列,有

種站法,所以不同站法的種數(shù)為

=1440.(3)先站老師和女學生,有

種站法,再在老師和女學生站位的空(含兩端)中插入男學生,每空一人,則插入方法有

種,所以不同站法的種數(shù)為

=144.(4)在7人全排列的所有站法中,4名男學生不考慮身高順序的站法有

種,而從高到低順序站有從左到右和從右到左的不同,所以不同站法的種數(shù)為2×

=420.

數(shù)字排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題,有限制條件的排列問題的限制

條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上或某個位子不排某些元素,解決該類排

列問題的主要方法是按照“優(yōu)先”原則,即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位

子,若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時,應分類討論.含有數(shù)字“0”的排列問題中,有些隱含了數(shù)字“0”不能在首位的條件,應將其

視為有限制條件的元素優(yōu)先進行排列.若在一個題目中,除了數(shù)字“0”以外還有

其他受限制的數(shù)字,則應考慮受限制的數(shù)字對位置的選擇會不會影響數(shù)字“0”

對位置的選擇,若有影響,則應分類討論.

與數(shù)字有關的排列問題(1)無重復數(shù)字且個位數(shù)字不是5的六位數(shù)?(2)無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)?(3)無重復數(shù)字且比1325大的四位數(shù)?(4)無重復數(shù)字的六位數(shù)?若這些六位數(shù)按從小到大的順序排成一列數(shù),則240135

是該列數(shù)的第幾項?用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個:解析

(1)解法一(間接法):0在十萬位或5在個位時都有

種情況,0在十萬位且5在個位時有

種情況.故符合題意的六位數(shù)共有

-2

+

=504(個).解法二(直接法):十萬位數(shù)字的排法因個位數(shù)字為0與不為0而有所不同,因此需分兩類:第一類:當個位數(shù)字為0時,符合題意的六位數(shù)有

個;第二類:當個位數(shù)字不為0時,符合題意的六位數(shù)有

個.故符合題意的六位數(shù)共有

+

=504(個).(2)符合要求的五位數(shù)可分為兩類:第一類,個位數(shù)字是0的五位數(shù),有

個;第二類,個位數(shù)字是5的五位數(shù),有

個.故滿足條件的五位數(shù)的個數(shù)為

+

=216.(3)符合題意的四位數(shù)可分為三類:第一類:形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共4

個;第二類:形如14□□,15□□,