費馬點與胡不歸最值問題知識點睛費馬問題思考：如何找一點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小？當B、P、Q、E四點共線時取得最小值費馬點的定義：數(shù)學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。它是這樣確定的：1.如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點；2.如果3個內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。費馬點的性質(zhì)：費馬點有如下主要性質(zhì)：1．費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。2．費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。費馬點最小值快速求解：費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換．秘訣：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值精講精練例1：已知：△ABC是銳角三角形，G是三角形內(nèi)一點.∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求證：GA+GB+GC的值最小.練習1:如圖，是邊長為1的等邊內(nèi)的任意一點，求的取值范圍.例2：已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求正方形的邊長．練習2:若P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,求PB的值.例3：如圖，矩形ABCD是一個長為1000米，寬為600米的貨場，A、D是入口，現(xiàn)擬在貨場內(nèi)建一個收費站P，在鐵路線BC段上建一個發(fā)貨站臺H，設(shè)鋪設(shè)公路AP、DP以及PH之長度和為l，求l的最小值．練習3:如圖，某貨運場為一個矩形場地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，頂點A，D為兩個出口，現(xiàn)在想在貨運廣場內(nèi)建一個貨物堆放平臺P，在BC邊上（含B，C兩點）開一個貨物入口M，并修建三條專用車道PA，PD，PM．若修建每米專用車道的費用為10000元，當M，P建在何處時，修建專用車道的費用最少？最少費用為多少？（結(jié)果保留整數(shù)）例4：如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC三個頂點的坐標分別為A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延長AC到點D，使CD＝AC，過點D作DE∥AB交BC的延長線于點E．（1）求D點的坐標；（2）作C點關(guān)于直線DE的對稱點F，分別連接DF、EF，若過B點的直線y＝kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（3）在第二問的條件下，設(shè)G為y軸上一點，點P從直線y＝kx+b與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短．（要求：簡述確定G點位置的方法，不要求證明）鞏固練習1.如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．第1題圖第2題圖第3題圖2.如圖，P為正方形ABCD對角線BD上一動點，若AB＝2，則AP+BP+CP的最小值為（）A．+ B．+ C．4 D．33．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM，則AM+BM+CM的最小值為．4．將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點B、C落在格點上，點A在BC的垂直平分線上，∠ABC＝30°，點P為平面內(nèi)一點．（1）∠ACB＝度；（2）如圖，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（尺規(guī)作圖，保留痕跡）；（3）AP+BP+CP的最小值為．5．如圖，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，AB＝10公里，BC＝15公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個車站E，F(xiàn)，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值為公里．6．已知，在△ABC中，∠ACB＝30°（1）如圖1，當AB＝AC＝2，求BC的值；（2）如圖2，當AB＝AC，點P是△ABC內(nèi)一點，且PA＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度數(shù)；（3）如圖3，當AC＝4，AB＝（CB＞CA），點P是△ABC內(nèi)一動點，則PA+PB+PC的最小值為．7．如圖l，在△ABC中，∠ACB＝90°，點P為△ABC內(nèi)一點．（1）連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B，C，P的對應(yīng)點分別為點D、A、E，連接CE．①依題意，請在圖2中補全圖形；②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的長（2）如圖3，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接PA、PB、PC，當AC＝3，AB＝6時，根據(jù)此圖求PA+PB+PC的最小值．胡不歸最值模型知識點睛在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會遇上形如“PA+kPB”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：胡不歸問題；阿氏圓．【故事介紹】從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”然而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？【模型建立】如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為，在直線MN上運動的速度為，且，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。締栴}分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【模型總結(jié)】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．精講精練例1:如圖，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則的最小值是_______．練習1-1:如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于________．練習1-1:如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝．例2:等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GC到達C點，已知電子蟲在Y軸上運動的速度是在GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程的時間最短，則點G的坐標為．練習2:如圖，△ABC在直角坐標系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為A→D→C，點P在AD上的運動速度是在CD上的3倍，要使整個運動時間最少，則點D的坐標應(yīng)為（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）例3:直線y＝與拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B兩點（其中點A在點B的左側(cè)），與拋物線的對稱軸交于點C，拋物線的頂點為D（點D在點C的下方），設(shè)點B的橫坐標為t（1）求點C的坐標及線段CD的長（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m與t之間的關(guān)系式（不需寫出t的取值范圍）；（3）若CD＝CB．①求點B的坐標；②在拋物線的對稱軸上找一點F，使BF+CF的值最小，則滿足條件的點F的坐標是．練習3:如圖1，在平面直角坐標系中將y＝2x+1向下平移3個單位長度得到直線l1，直線l1與x軸交于點C；直線l2：y＝x+2與x軸、y軸交于A、B兩點，且與直線l1交于點D．（1）填空：點A的坐標為，點B的坐標為；（2）直線l1的表達式為；（3）在直線l1上是否存在點E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，則求出點E的坐標；若不存在，說明理由．（4）如圖2，點P為線段AD上一點（不含端點），連接CP，一動點H從C出發(fā)，沿線段CP以每秒1個單位的速度運動到點P，再沿線段PD以每秒個單位的速度運動到點D后停止，求點H在整個運動過程中所用時間最少時點P的坐標．例4:已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經(jīng)過點A的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．（1）若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在（1）的條件下，拋物線上存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標；（3）在（1）的條件下，設(shè)點E是線段AD上的一點（不含端點），連接BE．一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒個單位的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？練習4:如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點A（2，0）、B（﹣8，0），交y軸于點C，過點A、B、C三點的⊙M與y軸的另一個交點為D．（1）求此拋物線的表達式及圓心M的坐標；（2）設(shè)P為弧BC上任意一點（不與點B，C重合），連接AP交y軸于點N，請問：AP?AN是否為定值，若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；（3）延長線段BD交拋物線于點E，設(shè)點F是線段BE上的任意一點（不含端點），連接AF．動點Q從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到點F，再沿線段FB以每秒個單位的速度運動到點B后停止，問當點F的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？鞏固練習1.如圖，在平面直角坐標系中，點，點P為x軸上的一個動點，當最小時，點P的坐標為___________.2.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，點M為對角線BD（不含點B）上的一動點，則的最小值為___________.3.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；（2）點M為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內(nèi)存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，求點M的坐標；（3）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB+PD的最小值．4.【問題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路BD距離為AB的長度，C為公路BD上的酒店，從海島A到酒店C，先乘船到登陸點D，船速為a，再乘汽車，車速為船速的n倍，點D選在何處時，所用時間最短？【特例分析】若n＝2，則時間t＝+，當a為定值時，問題轉(zhuǎn)化為：在BC上確定一點D，使得+的值最?。鐖D②，過點C做射線CM，使得∠BCM＝30°．（1）過點D作DE⊥CM，垂足為E，試說明：DE＝；（2）請在圖②中畫出所用時間最短的登陸點D′．【問題解決】（3）請你仿照“特例分析”中的相關(guān)步驟，解決圖①中的問題．（寫出具體方案，如相關(guān)圖形呈現(xiàn)、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等）【綜合運用】（4）如圖③，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸分別交于A，B兩點，與y軸交于點C，E為OB中點，設(shè)F為線段BC上一點（不含端點），連接EF．一動點P從E出發(fā)，沿線段EF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿著線段FC以每秒個單位的速度運動到C后停止．若點P在整個運動過程中用時最少，請求出最少時間和此時點F的坐標．5.如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，AH⊥BC于H，點P從A點出發(fā)，沿高線AH向下移動，以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ，連接BQ．求∠CBQ的度數(shù)；（2）如圖2，若點D為△ABC內(nèi)任意一點，連接DA，DB，DC．證明：以DA，DB，DC為邊一定能組成一個三角形；（3）在（1）的條件下，在P點的移動過程中，設(shè)x＝AP+2PC，點Q的運動路徑長度為y，當x取最小值時，寫出x，y的關(guān)系，并說明理由．6.如圖，已知拋物線y＝（x+2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一交點為D．（1）若點D的橫坐標為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？7.已如二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象和x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，（1）如圖1，P是直線BC上方拋物線上一動點（不與B、C重合）過P作PQ∥x軸交直線BC于Q，求線段PQ的最大值；（2）如圖2，點G為線段OC上一動點，求BG+CG的最小值及此時點G的坐標；（3）如圖3，在（2）