第三講中考數(shù)學(xué)第24題專練一如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE與AD相交于點(diǎn)O．（1）求證：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面積．如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（，0）與點(diǎn)B（0，﹣），點(diǎn)D在劣弧上，連接BD交x軸于點(diǎn)C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半徑；（2）求證：BD平分∠ABO；（3）在線段BD的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)E，使得直線AE恰好為⊙M的切線，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

如圖，四邊形內(nèi)接于⊙，對(duì)角線為⊙的直徑，過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接,,.（1）求的度數(shù)；（2）求證：是⊙的切線；（3）若，求的值.如圖，與⊙相切于，分別交⊙于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）已知，，求陰影部分的面積．如圖在ABC中，AD是邊BC上的中線DDE//DCE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BC8，D3。（1）求CE的長(zhǎng)；（2）求證：ABC為等腰三角形；（3）求ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離。根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個(gè)角分別相等，四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形叫做相似四邊形．相似四邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．（1）某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時(shí)，得到如下三個(gè)命題，請(qǐng)判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫“真”或“假”）．①條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似；（命題）②三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似；（命題）③兩個(gè)大小不同的正方形相似．（命題）（2）如圖1，在四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，，求證：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．（3）如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥AB分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．記四邊形ABFE的面積為S1，四邊形EFDE的面積為S2，若四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求的值．

如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．（1）求證：DE為⊙O的切線．（2）若BF＝2，tan∠BDF＝，求⊙O的半徑．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線．以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O．（1）求證：AB是⊙O的切線．（2）已知AO交⊙O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，tanD＝，求的值．（3）在（2）的條件下，設(shè)⊙O的半徑為3，求AB的長(zhǎng)．

如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，且AD＝DC，過A，B，D三點(diǎn)作⊙O，AE是⊙O的直徑，連結(jié)DE．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若sinC＝，AC＝6，求⊙O的直徑．如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，∠DAC＝∠B．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半徑是4，求EC的長(zhǎng)．如圖，?ABCD的兩條對(duì)角線相交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作OE⊥AB，垂足為E，已知∠DBA＝∠DBC，AB＝5．（1）求證：四邊形ABCD為菱形；（2）若sin∠ADB＝，求線段OE的長(zhǎng)．如圖，在矩形ABCD中，P為邊CD上一點(diǎn)，把△BCP沿直線BP折疊，頂點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，連接BC′與AD交于點(diǎn)E，連接CE與BP交于點(diǎn)Q，若CE⊥BE．（1）若E為AD的中點(diǎn)，求證：△ABE≌△DEC；（2）連接C′Q，求證：四邊形C′QCP是菱形；（3）若AB＝12，AD＝25，且DE＜AE，求菱形的邊長(zhǎng)．答案如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE與AD相交于點(diǎn)O．（1）求證：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面積．解如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（，0）與點(diǎn)B（0，﹣），點(diǎn)D在劣弧上，連接BD交x軸于點(diǎn)C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半徑；（2）求證：BD平分∠ABO；（3）在線段BD的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)E，使得直線AE恰好為⊙M的切線，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．解：（1）∵點(diǎn)A（，0）與點(diǎn)B（0，﹣），∴OA=，OB=，∴AB==2，∵∠AOB=90°，∴AB是直徑∴⊙M的半徑為：；（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥AB，垂足為A，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥OA于點(diǎn)F，即AE是切線，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB?tan30°=×=，∴AC=OA﹣OC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，∴△ACE是等邊三角形，∴AE=AC=，∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA﹣AF=，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（，）．如圖，四邊形內(nèi)接于⊙，對(duì)角線為⊙的直徑，過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接,,.（1）求的度數(shù)；（2）求證：是⊙的切線；（3）若，求的值.解（1）對(duì)角線為⊙的直徑…（2分）（2）（方法一）連接，在中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)在和中≌是⊙的切線……………（5分）（方法二）證明：連接，為⊙的直徑，,又在中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)又是⊙的切線…（5分）（方法三）證明：連接，,為⊙的直徑又又在中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)是⊙的切線…（5分） （3）（方法一）由圓周角定理可得由題中條件可得,∽………………（6分）由于所以可令則有在中,由勾股定理可得上式兩邊同時(shí)除以并整理后得到解之可得或（舍去）…（8分）…（9分）（方法二）設(shè)，，易證∽∴即解得或（舍去）∴∴（方法三）設(shè)，，則，，∴，在中∴∴∴∴∴或（舍去）∴如圖，與⊙相切于，分別交⊙于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）已知，，求陰影部分的面積．如圖在ABC中，AD是邊BC上的中線DDE//DCE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BC8，D3。（1）求CE的長(zhǎng)；（2）求證：ABC為等腰三角形；（3）求ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離。根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個(gè)角分別相等，四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形叫做相似四邊形．相似四邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．（1）某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時(shí)，得到如下三個(gè)命題，請(qǐng)判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫“真”或“假”）．①條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似；（命題）②三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似；（命題）③兩個(gè)大小不同的正方形相似．（命題）（2）如圖1，在四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，，求證：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．（3）如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥AB分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．記四邊形ABFE的面積為S1，四邊形EFDE的面積為S2，若四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求的值．如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．（1）求證：DE為⊙O的切線．（2）若BF＝2，tan∠BDF＝，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連AD，OD，如圖所示：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E是AC的中點(diǎn)，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠EDO＝∠EAO，∵AB⊥AC，∴∠EAO＝90°，∴∠EDO＝90°，∴DE為⊙O的切線；（2）解：∵DE為⊙O的切線，∴∠ODF＝∠FDB+∠ODB＝∠FAD+∠OBD＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠FDB＝∠FAD，∵tan∠BDF＝，∴＝又∵∠F為公共角，∴△FDB∽△FAD，∴＝，∵BF＝2∴＝∴DF＝4，AF＝8∴AB＝8﹣2＝6∴⊙O的半徑是3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線．以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O．（1）求證：AB是⊙O的切線．（2）已知AO交⊙O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，tanD＝，求的值．（3）在（2）的條件下，設(shè)⊙O的半徑為3，求AB的長(zhǎng)．【解答】（1）如圖，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切線；（2）如圖，連接CE，∵ED是⊙O的直徑，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴＝，∴＝；（3）由（2）可知：＝，∴設(shè)AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE?AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合題意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，由（1）可知：AC＝AF＝4，∠OFB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△OFB∽△ACB，∴＝，設(shè)BF＝a，∴BC＝，∴BO＝BC﹣OC＝﹣3，在Rt△BOF中，BO2＝OF2+BF2，∴（﹣3）2＝32+a2，∴解得：a＝或a＝0（不合題意，舍去），∴AB＝AF+BF＝如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，且AD＝DC，過A，B，D三點(diǎn)作⊙O，AE是⊙O的直徑，連結(jié)DE．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若sinC＝，AC＝6，求⊙O的直徑．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD＝DC，∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，∴∠1＝∠B，又∵∠E＝∠B，∴∠1＝∠E，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE＝90°，∴∠E+∠EAD＝90°，∴∠1+∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，∵DA＝DC，∴CF＝AC＝3，在Rt△CDF中，∵sinC＝＝，設(shè)DF＝4x，DC＝5x，∴CF＝＝3x，∴3x＝3，解得x＝1，∴DC＝5，∴AD＝5，∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，∴△ADE∽△DFC，∴＝，即＝，解得AE＝，即⊙O的直徑為．如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，∠DAC＝∠B．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半徑是4，求EC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切線．（2）解：∵∠BCE＝∠B，∴EC＝EB，設(shè)EC＝EB＝x，在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，AB＝8，∴AC＝4，在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2+AC2，∴x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴CE＝5．如圖，?ABCD的兩條對(duì)角線相交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作OE⊥AB，垂足為E，已知∠DBA＝∠DBC，AB＝5．（1）求證：四邊形ABCD為菱形；（2）若sin∠ADB＝，求線段OE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠DBA＝∠DBC，∴∠ADB＝∠DBA，∴AD＝AB，∴四邊形ABCD為菱形；（2）解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AD＝AB＝5，OB＝OD，∵sin∠ADB＝＝，∴OA＝4，∴OB＝OD＝＝3，∵OE⊥AB，△OAB的面積＝AB×OE＝OA×OB，∴OE＝＝＝．如圖，在矩形ABCD中，P為邊CD上一點(diǎn)，把△BCP沿直線BP折疊，頂點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，連接BC′與AD交于點(diǎn)E，連接CE與BP交于點(diǎn)Q，若CE⊥BE．（1）若E為AD的中點(diǎn)，求證：△ABE≌△DEC；（2）連接C′Q，求證：四邊形C′QCP是菱形；（3）若AB＝12，AD＝25，且DE＜AE，求菱形的邊長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠CDE＝90°，AB＝DC，在△ABE和△DEC中，，∴△ABE≌△DEC（SAS）；（2）證明：由折疊的性質(zhì)得：CP＝C'P，CQ＝C'Q，∠C'PQ＝∠CPQ，∠BC'P＝∠BCP＝90°，BC'＝BC＝25，∵CE⊥BC'，∠BC'P＝90°，∴CE∥C'P，∴∠C'PQ＝∠CQP，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CQ＝CP，∴CQ