“3＋1”保分大題強化練四前3個大題和1個選考題不容有失1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b＝2(acosBcosC＋ccosBcosA)．(1)求B的大??；(2)若a＋c＝5，且S△ABC＝eq\r(3)，求邊長b的值．解：(1)由已知條件及正弦定理得sinB＝2(sinAcosB·cosC＋sinCcosBcosA)＝2cosB(sinAcosC＋sinCcosA)＝2cosBsin(A＋C)，可得cosB＝eq\f(1,2).又0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).(2)由(1)及余弦定理得，b2＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.∵a＋c＝5，∴b2＝25－3ac，∵S△ABC＝eq\r(3)，∴eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3)，即ac＝4，∴b2＝13，∴b＝eq\r(13).2．某工廠有甲、乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，甲車間有工人200人，乙車間有工人400人，為比較兩個車間工人的生產(chǎn)效率，采用分層抽樣的方法抽取工人．甲車間抽取的工人記作第一組，乙車間抽取的工人記作第二組，并對他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時間(單位：min)進行統(tǒng)計，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]進行分組，得到下列統(tǒng)計圖．(1)分別估算兩個車間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75min的人數(shù)．(2)分別估計兩個車間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間的平均值，并推測哪個車間工人的生產(chǎn)效率更高？(3)從第一組生產(chǎn)時間少于75min的工人中隨機抽取3人，記抽取的生產(chǎn)時間少于65min的工人人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望．解：(1)由題意得，第一組工人20人，其中在75min內(nèi)(不含75min)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有6人，∴甲車間工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75min的人數(shù)約為6×10＝60.第二組工人40人，其中在75min內(nèi)(不含75min)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，∴乙車間工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75min的人數(shù)約為30×10＝300.(2)第一組工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均時間為eq\x\to(x)甲＝eq\f(60×2＋70×4＋80×10＋90×4,20)＝78(min)，第二組工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均時間為eq\x\to(x)乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，∴eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，∴乙車間工人的生產(chǎn)效率更高．(3)由題意得，第一組生產(chǎn)時間少于75min的工人有6人，其中生產(chǎn)時間少于65min的有2人，從中抽取3人，則X的可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).所以X的分布列為X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)數(shù)學期望E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1.3．如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD的中點，將△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)證明：AE⊥PB；(2)當四棱錐P-ABCE的體積最大時，求二面角A-PE-C的余弦值．解：(1)證明：在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點O，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE為等邊三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝60°，BD⊥BC，∴BD⊥AE.如圖，翻折后可得OP⊥AE，OB⊥AE，又OP∩OB＝O，OP?平面POB，OB?平面POB，∴AE⊥平面POB，∵PB?平面POB，∴AE⊥PB.(2)當四棱錐P-ABCE的體積最大時，平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO?平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.以O(shè)為坐標原點，OE所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OP所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(3),2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)，0))，∴Peq\o(E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(\r(3),2)))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，設(shè)平面PCE的法向量為n1＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(P\o(E,\s\up6(→))·n1＝0，,E\o(C,\s\up6(→))·n1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(\r(3),2)z＝0，,\f(1,2)x＋\f(\r(3),2)y＝0，))設(shè)x＝eq\r(3)，則y＝－1，z＝1，∴n1＝(eq\r(3)，－1,1)為平面PCE的一個法向量，易知平面PAE的一個法向量為n2＝(0,1,0)，∴cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq\f(－1,1×\r(5))＝－eq\f(\r(5),5).由圖知所求二面角A-PE-C為鈍角，∴二面角A-PE-C的余弦值為－eq\f(\r(5),5).4．選考系列(請在下面的兩題中任選一題作答)[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線M的極坐標方程為ρ＝2cosθ，若極坐標系內(nèi)異于O的三點A(ρ1，φ)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，φ＋\f(π,6)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ3，φ－\f(π,6)))(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲線M上．(1)求證：eq\r(3)ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若過B，C兩點的直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))，求四邊形OBAC的面積．解：(1)證明：由題意得ρ1＝2cosφ，ρ2＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,6)))，ρ3＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ－\f(π,6)))，所以ρ2＋ρ3＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,6)))＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ－\f(π,6)))＝2eq\r(3)cosφ＝eq\r(3)ρ1.(2)由曲線M的極坐標方程得曲線M的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，將直線BC的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標方程得t2－eq\r(3)t＝0，解得t1＝0，t2＝eq\r(3)，∴在平面直角坐標中，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(2,0)，則ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝eq\f(π,6)，∴ρ1＝eq\r(3).∴四邊形OBAC的面積S＝S△AOB＋S△AOC＝eq\f(1,2)ρ1ρ2·sineq\f(π,6)＋eq\f(1,2)ρ1ρ3sineq\f(π,6)＝eq\f(3\r(3),4).[選修4－5：不等式選講]已知不等式|ax－1|≤|x＋3|的解集為{x|x≥－1}．(1)求實數(shù)a的值；(2)求eq\r(12－at)＋eq\r(4＋t)的最大值．解：(1)|ax－1|≤|x＋3|的解集為{x|x≥－1}，即(1－a2)x2＋(2a＋6)x＋8≥0的解集為{x|x≥－1}．當1－a2≠0時，不符合題意，舍去．當1－a2＝0，即a＝±1時，x＝－1為方程(2a＋6)x＋8＝0的一解，經(jīng)檢驗a＝－1不符合題意